基于旋轉變換的二值形態算子的研究

段 汕，樊金東，賴國琴，賈夢真，黃 珍

(中南民族大學數學與統計學學院，武漢430074)

數學形態學是一門圖像處理與分析的學科，其基本思想是利用一個稱之為結構元素的“探針”在圖像內部移動，探測收集圖像的信息.在二值形態學中，將圖像視為集合，結構元素以平移變換的方式在圖像內部移動，對于圖像內部信息的收集則是通過集合的包含關系(序關系)和集合的交、并、余等運算為主要工具建立的二值形態算子實現的［1-4］.這樣意義的二值形態算子也稱為平移形態算子.

本文在文獻［5］的基礎上，將結構元素移動的方式通過平面旋轉變換來實現，建立稱之為旋轉形態算子的相關理論，引入了基于旋轉變換的二值形態腐蝕、膨脹、開、閉算子，并對其性質進行了較為詳盡地研究.

1 預備知識

考慮E2=R2{0}，其上的點用極坐標(r，θ)表示，其中r＞0是極徑，θ是以2π為模的角度(0≤θ＜ 2π)，在 E2上定義點乘運算(r，θ)·(r'，θ')=(rr'，θ+θ')，顯然該運算滿足交換律.對于集合A?E2進行(r，θ)的旋轉變換及其逆變換，分別表示為:

旋轉變換的全體 T={τr，θ|r ＞ 0，0≤ θ＜ 2π}構成一個Abel群.在文獻［5］中，給出了基于T的腐蝕和膨脹:

其中A，B?E2.對于集合A進行關于b=(r，θ)的旋轉變換 τr，θ(A)及其逆變換 τ－1r，θ(A)也可以用點乘運算表示:

2 基于旋轉變換的二值腐蝕、膨脹算子的表示及性質

基于旋轉的腐蝕、膨脹定義(1)是通過集合的交并運算來描述的，可以證明這種定義方式具有如下的等價代數表示形式.

性質1

性質2

對二值數學形態學而言，腐蝕與膨脹是其基本運算，利用(2)、(3)式可以推導出與平移形態算子類似的性質.

利用平面點乘運算的可交換性，可得出基于旋轉變換的二值膨脹滿足交換律.

性質3 A⊕B=B⊕A.

性質4 ①A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C，②AΘ(B⊕C)=(AΘB)ΘC.

證明 只證②:對?x∈(AΘB)ΘC，有?c∈C，x·c∈AΘB，對?b∈B，有(x·c)·b∈ A，所以x·(b·c)∈ A，x∈ AΘ(B ⊕ C)，故(AΘB)ΘC ?AΘ(B⊕C);

對 ?x1∈AΘ(B ⊕ C)，有 ?b1∈ B，c1∈ C，x1·(b1·c1)∈ A.所以(x1·c1)·b1∈ A，x∈(AΘB)ΘC，故 AΘ(B ⊕ C)? (AΘB)ΘC，② 式成立.

由性質4可以看出基于旋轉變換的二值膨脹滿足結合律.

性質5 ①(AΘB)c=Ac⊕，②(A⊕ B)c=AcΘ，其中={|b∈ B}.

證明 ①(AΘB)c={x|x·b∈A，?b∈B}c={x|B·x?A}c={(B·x)∩Ac=?}c={x|B·x∩Ac≠?}.A⊕B={x|x=a·b，a∈A，b∈ B}={x|x·∈A，b∈B}={x|x·∩A≠?，b∈B}={x|(·x)∩A≠?}.所以Ac⊕={x|(B·x)∩Ac≠ ?}，即(AΘB)c=Ac⊕.

②(A⊕B)c={x|(·x)∩A≠?}c={x|(·x)∩A=?}={x|(·x)?Ac}，又AΘB={x|B·x? A}，故{x|(·x)? Ac}=AcΘ，即(A ⊕ B)c=AcΘ.

該性質表明基于旋轉變換的二值腐蝕與膨脹滿足對偶性.

性質6 ①(A·x)⊕B=(A⊕B)·x，②(A·x)ΘB=(AΘB)·x.

證明 ①(A·x)⊕B=(A⊕{x})⊕B=(A⊕B)⊕{x}=(A⊕B)·x.

② ?y∈(A·x)ΘB，對?b∈B，有y·b∈A·x，則 ?a ∈ A，使得 y·b=a·x，即 y=(a·)·x，所以 y=(a·)·x∈ (AΘB)·x，故(A·x)ΘB ?(AΘB)·x;?y1∈(AΘB)·x，?b1∈ B，有(y1·)·b1∈A，所以(y1·b1)·∈A，y1∈ (A·x)ΘB，故(AΘB)·x? (A·x)ΘB，即(A·x)ΘB=(AΘB)·x.

此性質說明了基于旋轉變換的二值腐蝕、膨脹關于目標對象滿足旋轉不變性，也可以說，關于目標對象，基于旋轉變換的二值腐蝕、膨脹運算與點乘運算是可以交換的.

性質7 ① A⊕ (B·x)=(A⊕ B)·x，②AΘ(B·x)=(AΘB)·.

證明 ①A⊕(B·x)=(B·x)⊕A=(A⊕B)·x.

② AΘ(B·x)=AΘ(B ⊕ {x})=AΘBΘ{x}=∩ {AΘB·|x∈ {x}}=(AΘB)·.

該性質表明基于旋轉變換的二值膨脹關于結構元素也滿足旋轉不變性.

·x)Θ(B·x)=AΘB，其中 x∈ E2.

基于旋轉變換的二值膨脹運算，目標對象與結構元素相反方向的旋轉不會改變膨脹運算的結果，而基于旋轉變換的二值腐蝕運算的結果不會因目標對象與結構元素的同向旋轉而改變.

性質9 若單位元(1，0)∈B?E2，則 ①AΘB?A，②A?A⊕B.

證明 ①對?x∈AΘB，有?b∈B，x·b∈A，又因為(1，0)∈B，所以 x·(1，0)∈ A，即x∈A，故AΘB?A.

② 對?a∈A，b∈B，有a·b∈A⊕B，又因為(1，0)∈B，所以a·(1，0)∈A⊕B，即a∈A⊕B，故A?A⊕B.

從該性質看出當單位元屬于結構元素時，基于旋轉變換的二值腐蝕是非擴展的，即目標對象經過腐蝕運算后變小，而基于旋轉變換的二值腐蝕是滿足擴展性的，即膨脹運算會使目標對象變大，這與基于旋轉變換的腐蝕、膨脹的定義相對應.

性質10 如果A?B，則 ①A⊕C?B⊕C，② AΘC?BΘC.

證明 ①對?x∈A⊕C，則?a∈A，c∈C，使得x=a·c，又A?B，所以有a∈B，x∈B⊕C，故A⊕C?B⊕C.

② 對?x∈AΘC，?c∈C，有x·c∈A，又A?B，所以有 x·c∈ B，x∈ BΘC .故 AΘC ?BΘC.

此性質說明了基于旋轉變換的二值腐蝕、膨脹關于目標對象滿足遞增性.

性質11 如果B?C，則①A⊕B?A⊕C，②AΘC?AΘB.

證明 ①A⊕B=B⊕A?C⊕A=A⊕C.

②對?x∈AΘC，?c∈C，有x·c∈A，故對?b∈B，因為B?C，所以b∈C，故x·b∈A.又因為b∈B，所以 x∈ AΘB.故 AΘC? AΘB.

此性質說明基于旋轉變換的二值腐蝕與膨脹關于結構元素也滿足遞增性.

性質12 ① (B∩C)ΘA=(BΘA)∩(CΘA)，②AΘ(B∪C)=(AΘB)∩(AΘC)，③A⊕(B∪C)=(A⊕B)∪(A⊕C).

證明 ① 對 ?x∈ (B∩ C)ΘA，?a∈ A，有x·a∈B∩C，即x·a∈B且x·a∈C，所以x∈BΘA且x∈CΘA，即x∈(BΘA)∩(CΘA)，所以(B∩C)ΘA?(BΘA)∩(CΘA).

對?x∈(BΘA)∩(CΘA)，有a1∈A，x∈BΘA且x∈CΘA，使得x·a1∈B∩C即x∈(B∩C)ΘA，所以(BΘA)∩ (CΘA)? (B∩ C)ΘA，即(B∩C)ΘA=(BΘA)∩(CΘA).

②對?x∈AΘ(B∪C)，對?y∈B∪C有x·y∈A，y∈B或y∈C.對?y∈B，x·y∈A，可知x∈AΘB.對?y∈C，x·y∈A，可知x∈AΘC.故x∈(AΘB) ∩ (AΘC)，AΘ(B ∪ C) ? (AΘB)∩(AΘC).

對 ?x∈(AΘB)∩(AΘC)，有x∈AΘB且x∈AΘC.對 ?b∈ B，c∈ C，有x·b∈A，x·c∈A，所以{x·b}∪{x·c}=x·{b∪c}∈A，因為b∪c∈B∪ C，所以 x∈ AΘ(B∪ C)，得(AΘB)∩(AΘC)?AΘ(B∪C)，即AΘ(B∪C)=(AΘB)∩(AΘC).

③ A⊕(B∪C)=∪{A·x|x∈B∪C}=［∪{A·x|x∈B］∪［∪{A·x|x∈C}］=(A⊕B)∪(A⊕C).

此性質說明對基于旋轉變換的二值腐蝕運算，目標對象求交集運算滿足可分解性，對于基于旋轉的二值腐蝕、膨脹，結構元素關于求并運算是可分解的.對目標對象或結構元素進行分解，能簡化運算對象，提高運算效率［6］.

性質13 ①(AΘC)∪(BΘC)?(A∪B)ΘC，② (AΘB)∪(AΘC)?AΘ(B∩C).

證明① 對?x∈(AΘC)∪(BΘC)有x∈AΘC或x∈BΘC.由x∈AΘC和A?A∪B有x∈(A∪B)ΘC，所以(AΘC)∪(BΘC)?(A∪B)ΘC.

② 對?x∈(AΘB)∪(AΘC)，有x∈AΘB或x∈AΘC.由x∈AΘB知:對?b∈B，有x·b∈A，由x∈AΘC知:對?c∈C，有x·c∈A.即對?y∈B∩C，有x·y∈A，所以x∈AΘ(B∩C)，故(AΘB)∪(AΘC)?AΘ(B∩C).

性質14A⊕(BΘC)?(A⊕B)ΘC.

證明 對?x∈ A⊕ (BΘC)，有 a∈ A，y∈BΘC，使得 x=a·y.對 ?c∈ C，有 y·c∈ B，所以(y·c)·a∈A⊕B，即(y·a)·c∈A⊕B.故y·a∈(A⊕B)ΘC，即x∈(A⊕B)ΘC，所以A⊕(B⊕C)?(A⊕B)ΘC.

性質15 A?BΘC?A⊕C?B.

證明 對?x∈A⊕C，有a∈A，c∈C，使得x=a·c.又A?BΘC，所以a∈BΘC，故對?c∈C，有 a·c∈B.又c∈C，所以a·c∈B，即x∈B，從而A⊕C?B.

對于?a1∈A，c1∈C，有a1·c1∈A⊕C，又A⊕C?B，所以 a1·c1∈ B，又 c1∈ C，所以 a1∈BΘC，故 A? BΘC.

該性質表明基于旋轉變換的腐蝕和膨脹構成一對附益算子.

3 基于旋轉變換的二值開、閉算子的表示及性質

在E2中，給定集合A，B，將B對A先腐蝕后膨脹的運算稱為B對A的開運算，記為A·B，即A·B=(AΘB)⊕B.將B對A先膨脹后腐蝕的運算稱為B對A的閉運算，記為A·B，即A·B=(A⊕B)ΘB.利用前面已證明的性質，可以推導出以下基于旋轉變換的開、閉算子的基本性質.

性質16 A·B=∪{B·x|B·x?A}，其中x∈AΘB.

證明 對?y∈(AΘB)⊕B，?x∈AΘB，b∈B，使得 y=x·b，對 ?b1∈ B，有x·b1∈ A，又 b∈B，所以 x·b∈A，即y=x·b∈A，y∈∪{b·x，b∈B}，y∈∪{B·x|B·x?A}，即(A·B)?∪{B·x|B·x?A}.

對 ?y∈∪{B·x|B·x?A}，有y∈B·x?A，所以對 ?b∈B，有b·x∈A，所以x∈AΘB.又?y∈∪{B·x|B·x?A}，?b1∈B，使得y=b1·x，所以y∈(AΘB)⊕B，即y∈A·B，所以∪{B·x|B·x?A}?(A·B)，即A·B=∪{B·x|B·x?A}.

目標對象A作基于旋轉的開運算后所得的集合是其本身的子集.由此性質可以直觀地理解基于旋轉的開運算的效果:B·x就是相當于旋轉結構元素，將結構元素B放入集合A當中，不斷地旋轉結構元素B，結構元素B所能達到的所有區域的并集就是利用結構元素B對集合A作開運算的結果.此性質提供了一種實現基于旋轉的開運算的算法［7］.

性質17 (A·B)c=Ac·，(A·B)c=Ac·，其中={|b∈B}.

證明 由性質5有:

(A·B)c=［(AΘB)⊕B］c=(AΘB)cΘ=(Ac⊕)Θ=Ac·.

(A·B)c=［(A⊕ B)ΘB］c=(A⊕ B)c⊕=(AcΘ)⊕=Ac·.

基于旋轉變換的二值腐蝕、膨脹滿足對偶性.二值開、閉是腐蝕、膨脹的復合運算，因此基于旋轉變換的二值開、閉也滿足對偶性.

性質18(A·x)·B=(A·B)·x，(A·x)·B=(A·B)·x，其中 x ∈ E2.

證明 由性質6有:

(A·x)·B=［(A·x)ΘB］⊕B=［(AΘB)·x］⊕B=［(AΘB)⊕ B］·x=(A·B)·x.

(A·x)·B=［(A·x)⊕ B］ΘB=［(A⊕ B)·x］ΘB=［(A ⊕ B)ΘB］·x=(A·B)·x.

該性質表明基于旋轉變換的二值開、閉運算關于目標對象滿足旋轉不變性，即關于目標對象，基于旋轉變換的二值開、閉運算與旋轉運算是可交換的.

性質19A·(B·x)=A·B，A·(B·x)=A·B，其中 x∈ E2.

證明 A·(B·x)=［AΘ(B·x)］⊕(B·x)=［(AΘB)·］⊕(B·x)=(B·x)⊕［(AΘB)·］=B⊕(AΘB)=(AΘB)⊕B=A·B.

A·(B·x)=［A⊕(B·x)］Θ(B·x)=［(A⊕ B)·x］Θ(B·x)={［(A ⊕ B)·x］ΘB}·={［(A⊕B)ΘB］·x}·=A·B.

此性質說明在旋轉變換下，結構元素的位置變化不會對開運算或閉運算的結果產生影響.只要結構元素的類型和大小一定，不管結構元素的位置，開、閉運算的結果都是確定的.這與腐蝕和膨脹的運算不一樣，腐蝕和膨脹的運算結果和結構元素的位置有密切的關系.結構元素是否包含單位元，腐蝕和膨脹的結果是不一樣的［8］.

性質20 A·B?A，A?A·B.

證明 對?x∈(AΘB)⊕B，?x1∈AΘB，b1∈ B，使得 x=x1·b1.對 ?b∈ B，有 x1·b∈ A，又b1∈ B，所以 x1·b1∈A，即x∈ A，故 A·B ?A.

對?a∈A，b∈B，有a·b∈A⊕B，又b∈B，有a∈(A⊕B)ΘB，即a∈A·B，故A?A·B.

這個性質表明基于旋轉變換的二值形態開運算是非擴展的，而基于旋轉的二值閉運算是擴展的.

性質21 如果A?B，則A·C?B·C，A·C?B·C.

證明 因為A?B，由性質11有AΘC?BΘC，(AΘC)⊕C?(BΘC)⊕C，即A·C?B·C.

因為A?B，由性質11有A⊕C?B⊕C，(A⊕C)ΘC?(B⊕C)ΘC，即A·C?B·C.

該性質說明基于旋轉變換的二值開、閉運算關于目標對象滿足遞增性.

性質22AΘB=(A·B)ΘB=(AΘB)·B.

證明 令A1=AΘB，A2=A1⊕B，A3=A2ΘB.由A1=AΘB可知A1?AΘB，由性質A?BΘC?A⊕C ?B，有A1⊕B?A，即A2?A.由A2=A1⊕B有A1⊕B?A2，同時有A1?A2ΘB，即A1?A3.由A2?A和性質11可得A2ΘB?AΘB，即A3?A1，所以有A1=A3，即 AΘB=A2ΘB=(A1⊕ B)ΘB=［(AΘB)⊕B］ΘB=(A·B)ΘB.

AΘB=［(AΘB)⊕Β］ΘB=(AΘB)⊕BΘB=(AΘB)·B.

此性質給出了基于旋轉變換的二值腐蝕的兩種等價運算.

性質23A⊕B=(A⊕B)·B=(A·B)⊕B.

證明 令A1=A⊕B，A2=A1ΘB，A3=A2⊕B.由A1=A⊕ B可知 A⊕ B? A1，由性質 A?BΘC?A⊕C?B得A?A1ΘB，即A?A2.由A2=A1ΘB有 A2? A1ΘB.同時有 A2⊕ B ? A1，即 A3?A1.又A?A2和性質11可得A⊕B?A2⊕B，即A1? A3，所以有A1=A3，故A⊕B=A2⊕B，A⊕B=(A1ΘB)⊕B=(A·B)⊕B，即A⊕B=(A⊕B)·B=(A·B)⊕B.

該性質給出了基于旋轉變換的二值膨脹的兩種形式.

性質 24A·B=(A·B)·B，A·B=(A·B)·B.

證明 由性質22得(AΘB)⊕ B=［(A·B)ΘB］⊕B，即A·B=(A·B)·B.

由性質23得A⊕B=(A·B)⊕B，(A⊕B)ΘB=［(A·B)⊕ B］ΘB，即 A·B=(A·B)·B.

該性質表明了基于旋轉變換的二值開、閉運算滿足等冪性，即用同一個結構元素對原集合作兩次(或兩次以上)的開運算(或閉運算)得到的結果與用此結構元素作一次運算的結果相同.

4 結束語

本文從二值形態學入手，將結構元素移動的方式通過平面旋轉變換來實現，給出基于旋轉變換下的二值形態腐蝕、膨脹、開、閉算子的等價表示形式，并研究了旋轉變換下的相關性質.研究結果表明:旋轉形態算子保留了平移形態算子諸如對偶性、等冪性、附益性等基本性質.

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