壓電致動器遲滯特性的多項式擬合建模

2015-11-26 09:28:20王建紅林健張建華陸寶春

機床與液壓 2015年19期

王建紅，林健，張建華，陸寶春

(1.南京工程學院自動化學院，江蘇南京211167;2.南京理工大學機械工程學院，江蘇南京210094)

0 前言

微細加工需要采用相應的高精度、高分辨率的運動裝置 (即機床系統)來滿足其對加工尺度、精度和加工穩定性的要求，微位移執行器及其驅動技術為滿足這一要求提供了契機。目前，微位移驅動元件很多，如機電驅動類、電磁驅動類、壓電/電致伸縮驅動類、磁致伸縮驅動類等［1］。其中，壓電陶瓷微位移器件具有功耗小、位移分辨率高、無噪聲、響應快等優點，已被廣泛應用于微電子機械、精密加工、航空航天等領域，是目前最具有前途的微位移執行器件［2］。

壓電陶瓷位移量與電場強度的特性曲線存在遲滯，即在任意時刻，系統的輸出不僅依賴于輸入，而且還依賴系統以前的狀態，同時，這種輸入輸出間的對應關系具有非線性，給壓電致動器的微位移控制帶來一定的難度［3-6］。因此，要想提高控制精度，必須要針對壓電陶瓷的遲滯特性建立準確的數學模型［7-10］。對壓電致動器的遲滯特性進行實驗測量，在此基礎上，通過多項式擬合的方式求得任意初始點對應的特征曲線方程，完成對壓電致動器遲滯特性的建模。

1 實驗測量

文中所選用型號為PST 150/7/60 VS12的低壓驅動疊層機械封裝式壓電致動器，其絕對最大驅動電壓:-30～180 V，長度:64 mm，位移輸出范圍:0～60μm，內置專用的微位移傳感器，驅動、傳感及電源模塊采用集成的控制器。

對該壓電致動器進行遲滯特性實驗測試，對于上升曲線，首先將控制電壓范圍 (0～10 V)等分成20份，以0.5 V為分度，即分別以0，0.5，1，…，9.5 V作為初始電壓，然后分別在不同的初始電壓的條件下每次增加0.5 V的控制電壓作為一個節點直至控制電壓增加到了10 V。按照這樣的劃分方式，初始電壓為0的基準上升曲線有20個節點，初始電壓為0.5 V的基準上升曲線有19個節點，初始電壓為1 V的基準上升曲線有18個節點，以此類推。對于這20條不同初始電壓的基準上升曲線，分別測量各個節點的傳感器的反饋電壓，并記錄下來。

分別將所測數據通過Origin軟件繪制上升特性曲線和下降特性曲線如圖1、2所示，由圖可知，對于不同初始點和控制電壓變化方向有不同的曲線與其對應，因此，需要通過多項式擬合的方式求得任意初始點對應的特征曲線方程。

圖1 上升特性曲線

圖2 下降特性曲線

2 多項式擬合建模的基本原理

多項式函數擬合，是指用一條光滑的擬合曲線來代表給定數據的一般趨勢，而不要求曲線通過所有的點。多項式函數擬合的基本原理如下:設已知由線圖或實驗所得的m個點的值為 (x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)。設擬合公式:

則在每一節點處的偏差:

所有節點偏差的平方和:

擬合公式f(x)具有一定的函數類型及系數，在確定其各個系數的過程中，最終的目的就是使所得曲線各節點的偏差的平方和盡可能的小［5］。

如圖1、2所示，為了能夠求出任意初始點對應的上升曲線或者下降曲線方程，分別在上升和下降階段選定20條基本曲線，對應測量所需參數，通過多項式擬合的方法求得相應的基準曲線方程gi(x)(i＝1，2，3，…，20)。然后根據各個基準曲線方程，同樣通過多項式擬合的方法求得相應的偏差方程ej(x')(j＝1，2，3，…，19)。所謂偏差方程指的是目標曲線與基準曲線的偏差曲線方程。根據經驗，為了達到更好的擬合效果，偏差方程的自變量x'是通過控制電壓輸入x換算得來的，上升偏差曲線方程與下降偏差曲線方程的換算方法略有不同，具體的換算公式分別如式 (4)和式 (5):

式中:gi(x)為對應基準曲線方程;V為對應基準曲線的起始電壓。

根據不同的初始點位置和控制電壓變化方向，正確的選取基準曲線方程和偏差曲線方程，則所求的目標曲線方程為f(x)＝g(x)＋e(x')。基準曲線和偏差曲線擬合原理相同，曲線多項式擬合程序的流程圖如圖3所示。

圖3 多項式擬合程序流程圖

3 壓電致動器多項式擬合建模

對于壓電陶瓷致動器多項式擬合，多項式可以采用2階、3階或更高階來擬合遲滯特性，為了提高建模的準確性，選用4階的多項式作為擬合公式，擬合公式具體形式如下:

按照經驗，一般會給擬合曲線各個系數賦較小的數作為初值，使用該擬合曲線與已有的每個節點的電壓求偏差，從而得到所有節點的偏差平方和，求偏差平方和的公式:

式中:m為節點數;yi為節點處實際測得的電壓值，V;g(xi)為節點處擬合曲線計算得出的電壓值，V。

上式表明各節點偏差的平方和是以a0，a1，a2，a3，a4自變量的函數，多項式擬合的目的是為了使其最小，于是取 F(a0，a1，a2，a3，a4)對各自變量a0，a1，a2，a3，a4的偏導數如下:

多項式擬合調整各系數時使用的步長的大小與各個偏導數的大小有關，因此多項式擬合過程為變步長調節過程。通過判斷擬合公式各個偏導數的值，選擇合適步長與偏導數的關系，以改變擬合公式各項系數。每次調節完成后計算新的各節點的偏差的平方和，判斷該值是否滿足要求，若滿足精度要求，說明完成擬合過程，得到曲線方程;若不滿足精度要求，則需要再一次對各節點偏差和公式求偏導數，進行擬合曲線系數的調節，直至各節點的偏差的平方和滿足精度要求 (精度要求為各節點偏差和小于0.008)。

得到所有的上升基準曲線方程之后，便可根據各個上升基準曲線方程擬合對應的上升偏差方程，通過對基準曲線的分析，發現不同初試電壓的上升曲線的差值曲線取自變量x'時與指數曲線十分類似，故選取偏差曲線擬合公式:

式中:Emax指的是初始點與相應的上升基準曲線方程的縱坐標之差，并不是方程的系數。擬合某一上升基準曲線方程gi(x)對應的上升偏差方程ei(x')，需選定初始電壓比該基準曲線方程gi(x)高0.5 V的另一上升基準曲線方程gi＋1(x)作為擬合目標，此時Emax的值便為 gi＋1(x)初始點 x0處的 gi＋1(x0)與 gi(x0)的差值。擬合的具體方法與擬合上升基準曲線方程一致，只要選擇合適的步長與偏導數的關系，便可以得到滿足精度要求的所有的上升偏差方程。在精度要求為各節點偏差和小于0.015的條件下，得到19條偏差上升曲線的各項系數如表1所示。

表1 偏差上升曲線的各項系數

擬合下降基準曲線方程及其對應下降偏差方程的方法與擬合上升基準曲線方程及其對應上升偏差方程的方法一樣，唯一的區別在于下降基準曲線方程的擬合公式選擇的是3次方程，原因在于3次方程已經可以達到精度要求。具體擬合過程在此不再贅述。

在Matlab軟件中繪制通過多項式擬合所得到的上升基準曲線和下降基準曲線，分別如圖4、5所示。

圖4 擬合所得上升基準曲線

圖5 擬合所得下降基準曲線

將圖4和圖5與實際測量的特性曲線圖1和圖2比較，通過多項式擬合的特性曲線與根據實際測量的數據繪制的特性曲線非常接近，較好地反映出壓電致動器遲滯非線性。

得到所有上升和下降曲線方程之后，首先通過比較所設定控制電壓與初始點的控制電壓判斷是上升過程還是下降過程。若是上升過程，比較初始點與各個上升基準曲線的位置關系，選取初始點下方并且最貼近它的上升基準曲線gi(x)，計算初始點與該曲線上對應的的縱坐標之差作為Emax，選取對應的上升偏差方程ei(x')，從而得到所要求的曲線方程f(x)＝gi(x)＋ei(x');若是下降過程，比較初始點與各個下降基準曲線的位置關系，選取初始點上方并且最貼近它的下降基準曲線gi(x)，計算初始點與該曲線上對應的的縱坐標之差作為Emax，選取對應的下降偏差方程e(x')，從而得到所要求的曲線方程f(x)＝gi(x)＋ei(x')，完成對壓電致動器的對遲滯非線性的建模。圖6為在Matlab軟件Simulink中實現的此靜態模型。