基于GEP算法的瀝青混合料動模量預測

顏可珍，劉 沛，王曉亮

（湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082）

瀝青混合料動模量是瀝青路面結構設計和分析的重要參數之一［1］.如何確定瀝青混合料的動模量已引起廣大道路工作者的關注［2］.目前，確定瀝青混合料動模量主要采用室內試驗方法，但室內試驗存在試樣制備過程復雜、試驗設備昂貴、費時費材料等缺點［3］.有學者提出通過離散元法的虛擬試驗來確定瀝青混合料的動模量［4］，但虛擬試驗的細觀參數確定困難.近年來神經網絡等智能方法在材料性能預測方面取得了較好的效果.Ceylan等［5］采用神經網絡方法對瀝青混合料動模量進行了預測，Gopalakrishnan等［6］提出了基于支持向量機的瀝青混合料動模量預測模型.以上方法雖然簡單，精度也能滿足要求，但并不能明確瀝青混合料動模量與各因素間的內涵，無法得到明確的解析表達式，給應用帶來了不便.

基因表達式編程（GEP）算法是一種新近發展的進化方法，可以實現多維空間上的數據挖掘.在復雜的非線性問題上，GEP算法是目前最有效的分析手段.近年來GEP 算法在巖土工程等領域被廣泛應用，取得了很好的成果［7］.本文通過GEP 算法建立了瀝青混合料動模量的預測模型，對多種瀝青混合料進行預測，分析了預測結果的精度，并與人工神經網絡等其他模型進行了比較.

1 基因表達式編程算法

1.1 基因表達式

GEP算法是一種基于生物基因結構和功能而發明的新型自適應演化算法，是從遺傳算法（genetic algorithms，GAS）和遺傳程序設計（genetic programming，GP）中發展而來.它克服了GAS系統中功能的復雜性及GP系統中遺傳操作難的不足，具有更強的函數發現能力與更高的搜索效率.其顯著特點是可以利用簡單的編碼解決復雜問題，其實質是用廣義的層次轉化為計算機程序來描述問題［8］.

1.2 GEP的基因結構

GEP算法中染色體為待解決問題的可行解，它由一個或多個基因組成固定長度的線性符號串構成.基因是構成染色體的基本單位.基因由頭部和尾部構成，頭部的符號可以是函數符號，也可以是終端符號，而尾部的符號只能來自于終端符號集.對具體問題而言，基因的頭部長度根據問題需要選定，尾部長度則由頭部長度與n 的一個函數得到，其中n 為基因含有的函數中最大參數的個數（對于加法等算術運算，n取2；對于三角函數、對數函數，n取1）.設基因的頭部長度為h，尾部長度為e，基因含有的函數集中所有函數的最大操作數為n，則e＝h×（n－1）＋1，其表現形式是一棵基因表達式樹，它可由基因型按照語法規則和層次順序構成，基因型將表達式樹的變量按照從上往下、從左至右的順序進行排列.每個染色體由單個或多個基因組成，每個基因確定一棵子表達式樹，而多個子樹可由函數符相互連接［9－10］.例如，假定一個基因是由集合｛q，×，／，－，＋，x，y｝中的元素組成（其中q表示根號），則n＝2，若h＝10，則e＝11，從而基因的長度為21；基因型如下（其中黑體部分為其尾部）：

其對應的表達式樹見圖1.圖1的語義即為：

圖1 基因型對應的表達式樹Fig.1 Genotype correspond to the expression tree

2 基于GEP 算法的瀝青混合料動模量預測模型

2.1 影響因素分析

根據瀝青混合料材料組成與動模量的影響因素，結合有關研究成果［11－12］，本文擬采用影響動模量的8個主要因素為預測模型的輸入變量，它們是：瀝青混合料空隙率（體積比）Va；有效瀝青含量（質量比）wbeff；集料在19，9.5，4.75mm 篩孔上的篩余質量分數ρ34，ρ38，ρ4；在0.075mm 篩孔上的通過率（質量分數）ρ200；瀝青黏度η（MPa·s）；荷載頻率f（Hz）.以馬里蘭大學瀝青研究所在過去30 年對205種瀝青混合料進行實驗室測試所建立的2 750組數據點作為應用GEP 算法及評價模型的數據基礎［11］，每個影響因素的取值范圍、瀝青混合料動模量E 的實測值以及它們的離散性如表1所示.

表1 8個影響因素和動模量實測值的離散情況Table 1 Discrete case of eight influencing factors and dynamic modulus measured values

2.2 瀝青混合料動模量預測模型的求解流程

根據GEP算法原理，可以得到瀝青混合料動模量預測模型的求解流程，如圖2所示.

圖2 瀝青混合料動模量預測模型的流程圖Fig.2 Flowing chart of prediction model for dynamic modulus of asphalt mixture

對于瀝青混合料動模量預測模型優劣性的評估，采用統計學中的相關系數R、擬合度R2以及實測值和預測值的標準誤差Se與實測值標準誤差Sy之比Se／Sy作為評價標準［12］.

3 GEP算法的預測結果及比較分析

3.1 GEP算法預測瀝青混合料動模量模型

3.1.1 確立動模量預測模型

根據GEP算法原理，建立預測模型時先將數據庫隨機劃分為兩大部分：第一部分為訓練組，有2 000組數據，占總數據的72.7%；第二部分為驗證組，有750 組數據，占總數據的27.3%.運用GEP算法對2 000組數據進行反復訓練之后，得出最佳適應度樣本的染色體，即瀝青混合料動模量預測模型，再將預測模型放在驗證組的750組數據中進行擬合度驗證.

運用GEP算法確定動模量預測模型的第一步是確定GEP算法的進化參數.通過分析GEP算法特性可知，基因數量范圍在［3，6］之間，種群大小范圍在［30，100］之間，進化代數大于10 000代時能夠找到最優染色體.本文在對GEP算法進行反復試算后確定種群大小為50，基因數量取6，基因頭部長度取12，進化代數為100 000代.第二步是選擇終點符集T 和函數集F.終點符集T為動模量8個影響因素，T＝｛A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8｝；函數集選取沒有參考依據，通過反復試算，最后確定最優函數集F＝｛＋，－，×，／，＾2，lg｝.第三步是選取連接函數，此處選擇“＋”作為基因之間的連接函數.第四步是遺傳算子設計.綜合變異、轉座、重組算子，設置算子參數值如下：變異率0.044，IS 轉座率0.1，RIS 轉座率0.3，基因轉座率0.3，單點重組率0.1，兩點重組率0.1，基因重組率0.1.由GEP算法強大的函數挖掘能力，經過反復計算后得到較好的動模量預測模型為：

3.1.2 GEP預測模型結果的分析

將預測模型得到的動模量預測值與實測結果進行比較，分別列出訓練組、驗證組及整個數據庫預測值與實測值的相關性，見圖3.由圖3可知，訓練組中R2＝0.941，Se／Sy＝0.137；驗證組R2＝0.906，Se／Sy＝0.264；整體樣本數據組R2＝0.925，Se／Sy＝0.168.當擬合度R2≥0.90，誤差比值Se／Sy≤0.35時，表明預測值與實測值相關性很好［11］.因此用GEP預測模型來預測瀝青混合料動模量時具有很好的擬合度，能滿足工程上的精度要求，具有可行性.

圖3 動模量模型預測值與實測值的相關性及擬合度Fig.3 Correlation between predicted values and measured values of dynamic modulus

3.2 GEP算法預測模型與現有模型比較分析

將GEP算法預測模型與現有的3個代表性瀝青混合料動模量預測模型：Witczak 1999函數模型、韓國動模量預測模型及人工神經網絡（ANN）模型［5，12］進行比較分析.Witczak 1999函數模型見式（2）；韓國預測模型采用西格謨得函數對多種瀝青混合料數據進行非線性分析，得到的預測模型見式（3）［13］.這幾種模型所用的變量參數均相同（即動模量的8個影響因素）.運用相同的數據庫作為輸入變量，計算出各個模型的動模量預測值，并分別與實測值進行比較，分析動模量預測值與實測值的相關性，結果如圖4所示.對4種動模量模型預測值與實測值之間的相關性進行對比分析，見表2.

圖4 動模量預測值與實測值的相關性Fig.4 Correlation between predicted values and measured values of dynamic modulus

表2 4種模型預測值與實測值之間的誤差和相關性對比分析Table 2 Comparative analysis of the correlation and error between predicted values and measured values of four models

由表2可知，GEP算法的擬合度達到了0.925，精度高于Witczak 1999預測模型和韓國預測模型，但比人工神經網絡模型略低.雖然人工神經網絡模型預測精度比GEP算法略高，但人工神經網絡模型的隱含層層數及隱含層節點數目前尚無很好的確定方法，很難找到最優的參數組合，而且神經網絡方法是一種黑匣子計算方法，不能得到預測因子的顯式表達式，無法明確各預測因素與被預測因子間關系［14］.GEP算法模型簡單，能得到函數的顯式表達式，運用方便，為瀝青混合料動模量預測提供了一種新的方法.

3.3 8個影響因素對動模量預測的敏感性分析

根據皮爾森相關系數的原理，進行動模量影響因素敏感性分析［15］.選定1個影響因素作為輸入變量參數，其他輸入參數不變，預測輸出參數.皮爾森相關系數定義式為：

式中：N 為樣本量；Xi，Yi為選定的輸入變量參數和輸出參數；分別為輸入參數和輸出參數的平均值；SX，SY分別為輸入參數和輸出參數的標準差.

將8個影響因素與動模量的敏感性分析結果用柱狀圖表示，見圖5.由圖5 可知，Witczak 1999，ANN，GEP預測模型與動模量實測值對各影響因素具有相似的相關性，其中與動模量實測值正相關的影響因素有骨料級配特性ρ200，ρ34，ρ38，ρ4 以及瀝青黏度η和荷載頻率f；負相關影響因素為有效瀝青含量wbeff和瀝青混合料空隙率Va.韓國預測模型中與動模量實測值正相關的影響因素有ρ200，η，f；具有負相關的影響因素為wbeff，Va，ρ34，ρ38，ρ4.

圖5 各影響因素對動模量的敏感性分析Fig.5 Sensitivity analysis of each factor on the dynamic modulus

由此可知，GEP模型、ANN 模型、Witczak 1999模型與動模量實測值對各影響因素的敏感性具有較好的一致性，而韓國預測模型中各影響因素的敏感性與實際情況偏差較大.

4 結論

（1）根據GEP算法建立的動模量預測模型精度高，能得到預測因子與各影響因素的顯式函數表達式，可以準確預測瀝青混合料的動模量值.

（2）與其他典型預測模型相比，GEP模型預測精度優于Witczak 1999預測模型和韓國預測模型，略低于人工神經網絡模型，但人工神經網絡模型不能得到函數的顯式表達式，無法明確各預測因素與被預測因子間關系.因此，GEP模型在保證預測精度的同時有效克服了人工神經網絡等傳統方法的不足，從而為瀝青混合料動模量的預測提供了一種新的可靠方法.

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