對“完全數”的思考

曾峻爵

完全數又稱完美數，指的是某數所有真約數（除了該數本身之外的約數）之和為該數本身（如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14）。在完全數簡潔特性的背后，有著豐富的內涵與無窮的吸引力。

一、希臘人的錯誤

從6、28、496與8128四個連續的完全數中，富于想象力的希臘人看到了一些有趣的現象：它們分別為1、2、3、4位數，而且尾數為6或8交替出現。由此希臘人推斷出，第n個完全數將是n位數，而且尾數是6或8，并交替出現。

遺憾的是，更多的完全數被發現，這兩個猜測也不攻自破。例如，第五個完全數是33550336，是8位數（而不是5位），接下來的三個完全數分別為8589869056（10位）、137438691328（12位）、 2305843008139952128（19位）。可以看到，完全數的位數在增多，而第30個完全數赫然是個13萬位數的龐然大物。同時假設二也不成立，第5、6個完全數的尾數都是6，并非以6、8交替出現。

二、完全數的特點

1.每個完全數都可用從1開始的連續奇數個正整數的和表示，如6=1+2+3。

2.除6之外，所有完全數都可用從1開始的連續奇數的立方和表示，如28=13+33。

3.一個完全數的所有約數的倒數和等于2。

歐幾里得對完全數進行了一番研究，得出以下定理：

若 2p-1為素數，則（2p-1）2p-1是完全數，公式為（2n-1）2n-1，當n分別取2、3、5、7時，可分別得出6、28、496和8128 （前4個完全數）。

三、問題的提出

仔細審視上述公式發現：當得出前4個完全數時，n的值全是素數，而此時的2n-1分別為3、7、31、127，也全為素數。

在2000年后的18世紀，瑞士數學家尤勒更進一步地證明了該公式將給出全部的偶數完全數。于是人們不禁產生兩個疑問：

1.是否存在奇數完全數？

奇數完全數猜想：到目前為止，人們所知道的完全數都是偶數，且都形如2p-1。誰也未發現過奇數完全數，但也沒人能證明它不存在。總的來說，如果確實存在奇數完全數，它至少要滿足以下條件：

（1）至少能被8個素數整除，其中最大的一個應大于300000，次大的也要大于1000。

（2）若它不能被3整除，至少應被11個素數整除。

（3）它是12k+1或36k+9的形式。

另外還有人借助計算機證明了，在1050之下不存在奇數完全數，據說這個下限正漸漸地被往上推。

2.完全數的個數是有限的還是無窮的？

對于這個問題，數學家們也進行了不懈的探索。

（1）梅森數

由歐幾里得提出的定理可知：任意一個完全數都可以化為（2p-1） 2p-1的形式。歐幾里得之后約兩千年，法國數學家梅森畢生從事尋找2p-1型數（梅森數）。因為找到為質數的梅森數，也就找到了完全數，所以梅森的目標就是尋找2p-1型質數（p也必然為質數）。實際上他也找到了符合這種要求的數，如當p=17、19、31、89、107……時的梅森數便是。

（2）“互完數”的提出

有了完全數，隨之出現“互完數”：即若m、n兩數中任意一個的真因數之和等于另一個數，則稱m和n為一對互完數。如220和284是一對互完數。

（3）“費爾馬大定理”的形成

費爾馬1640年10月18日在給弗雷尼克的信中提出了著名的費爾馬大定理：

如果整數a不能被素數p整除，那么ap-1-1能被p整除，常記為ap-1≡1（modp）。

當n>2時，xn+yn=zn沒有正整數解。如n不是素數，梅森數也不可能是素數；如n是素數，則梅森數未必是素數，但其素數因子只能是2kn+1的形式。

四、我的假設和推論

我堅信沒有奇數完全數，因為我解決第一個關于完全數之謎與歐幾里得定理緊密相連，而對于第二個完全數之謎，我只是推論，由于費爾馬所作的猜想不能推翻就成為了定理，所以我就斗膽推一推，如果沒有被推翻，那么第二個完全數之謎已解。

1.關于完全數的第一個推論

∵完全數定理已被提出，

假設：完全數=（2p-1）2p-1

∴任意一個完全數都可化為（2p-1）2p-1

∵2n為偶數，偶數-奇數=奇數

又 ∵1為奇數

∴（2p-1）為奇數 ，2p-1為偶數

又 ∵奇數×偶數=偶數

∴不可能存在奇完全數。

2.關于完全數的第二個推論

假設：質數有無限個，

又∵ 滿足（2p-1）為質數的p值有無限個，

∴完全數的個數有無限個。

所以關于完全數的第二個謎已解。（指導老師：謝延昭）