頁巖力學參數各向異性對井壁應力的影響

王漢，陳平，張智（油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室（西南石油大學），四川 成都 610500）

根據沉積巖的特性，地層巖石的各向異性是普遍存在的，而頁巖通常都發育有較為豐富的層理結構，其礦物組成顆粒分布不均勻，具有不同的膠結物，根據不同的層次會產生定向排列，從而具有優勢指向［1～3］。因此頁巖具有明顯的強度和彈性各向異性，所以有必要研究其力學參數對井壁應力的影響規律，而常規各向同性線彈性地層的井壁應力計算模型中沒有涉及到彈性模量等力學參數，此時仍將頁巖地層視為各向同性介質會造成較大的誤差［4～5］。

Lekhnitskii等［6～8］建立了考慮各向異性效應的井壁應力計算模型；王倩等［9］通過實驗驗證和理論計算的方式證明了頁巖力學參數存在各向異性；崔杰等［10］將巖層視為正交各向異性研究了井周的應力場分布情況，但這些研究都沒有將潛在的斷層應力狀態與頁巖的強度和彈性各向異性結合起來研究。為此，通過建立各向異性頁巖地層的井壁應力計算模型，采用數值計算的方法求解，分析在3種不同的斷層應力狀態下，頁巖力學參數的各向異性對井壁應力的影響規律，為頁巖水平井井壁穩定性分析提供更符合鉆井工程實際的理論依據。

1 基本假設與基本方程

1.1 基本假設

1）廣義平面應變范疇內：由于相對于整個井筒段來說，軸向應變可以忽略不計，即εz＝0。

2）連續均勻線彈性地層介質：應力、應變、位移是連續的，可以用坐標來表示。

3）橫觀各向同性體：頁巖地層的顯著特征是發育有豐富的層理和微裂隙結構，且垂直于層理面方向的彈性模量和泊松比小于平行于層理面方向的。

1.2 基本方程

1.2.1 本構方程

根據廣義虎克定律，井眼坐標系中橫觀各向同性體的應力應變本構方程［11］可表示為：

式中：［A］為井眼坐標系下的柔度矩陣；｛ε｝為井眼坐標系下的應變分量矩陣；｛σ｝為井眼坐標系下的應力分量矩陣。

1.2.2 應變協調方程

由于在平面應變的范疇內（εz＝0），其應變協調方程可以簡化為：

式中：εx、εy、εz分別為X、Y、Z方向的正應變，1；γxy、γyz、γxz分別為XY、YZ、XZ平面的剪切應變，1。

1.2.3 應力平衡方程

忽略體積力的情況下，在連續均勻的線彈性介質中，受力平衡方程可表示為：

2 各向異性頁巖地層井壁應力分布模型

由于頁巖地層層理發育，產狀多變，在頁巖水平井中井壁應力分布受多種因素的影響。研究表明在各向異性頁巖地層中井周應力分布是由以下兩部分應力分量組成的［12］：原地應力張量引起的應力分量和井眼形成過程中引起的應力分量。由于筆者主要研究頁巖力學參數對水平井井壁應力的影響規律，所以在建立數學模型之后需要再建立物理模型，將力學參數和各向異性地層所包含其他參量轉換到井眼坐標系中。

2.1 數學模型

由式（1）～（3）可以求出各向異性頁巖地層中鉆井及井壁邊界應力引起的應力分量，結果如下：

各向異性頁巖地層井壁應力分布模型為：

式中：φk（k＝1，2，3）為任意的解析函數；μk為求解應力函數時的特征方程的特征根；λk是與μk相關的比值；zk＝x＋μky；x、y為井眼軸線垂直面內的任意點的坐標；σx，1、σy，1、σz，1、τxy，1、τxz，1、τyz，1為井眼坐標系下原地應力引起的正、切應力分量，MPa；σx，2、σy，2、σz，2、τxy，2、τxz，2、τyz，2為鉆井及井壁邊界應力引起的正、切應力分量，MPa；a31、a32、a33、a34、a35、a36為柔度矩陣的柔度系數；Re｛·｝為 ｛·｝的實部。

2.2 物理模型

由于該模型適用于任意的地層傾斜度、井眼軌跡和地應力條件，所以需要在大地坐標（X，Y，Z）之上分別以地層介質、井眼軌跡和地應力為基礎建立相應的分坐標，（xr，yr，zr）為地層介質分坐標，（xb，yb，zb）為井眼軌跡分坐標，（xs，ys，zs）為地應力分坐標，如圖1所示。

圖1 各個分坐標與大地坐標的關系

因此，井眼坐標下的柔度矩陣為：

式中：E為各向同性面的彈性模量，MPa；E′為垂直于各向同性面的彈性模量，MPa；ν為各向同性面的泊松比，1；ν′為垂直于各向同性面的泊松比，1；［Pε］、［Mσ］為將分坐標系轉換到大地坐標系的應力應變轉換矩陣。

3 頁巖力學參數各向異性對水平井井壁應力的影響

在不同的原地應力狀態下，井壁應力的分布情況不同。因此，在不同的斷層地應力狀態下研究頁巖力學參數各向異性對水平井井壁應力的影響更能真實地反映各向異性頁巖地層潛在的地應力機制。根據建立的各向異性頁巖井壁應力計算模型，采用Matlab編制了相應的計算程序，對3種地應力狀態下頁巖力學參數各向異性對水平井井壁應力的影響進行研究。

3.1 正斷層地應力狀態下

為便于計算分析，取參數最大水平地應力σh，max＝43.11MPa，最小水平地應力σh，min＝35.07MPa，上覆地應力σv＝63.41MPa，αb＝45°，βb＝90°（水平井），αr＝αs＝0°，βs＝45°，βr＝30°，各向同性面的彈性模量為E＝33.80GPa，各向同性面的ν＝0.14，鉆井液液柱壓力pw＝45MPa。

3.1.1 彈性模量的影響

定義彈性模量各向異性度nE為垂直于各向同性面的彈性模量與各向同性面的彈性模量的比值，分別計算nE＝0.25、0.50、0.75、1.00（各向同性）時井壁切向應力隨井周角的變化情況以分析彈性模量各向異性度對井壁切向應力的影響規律，結果見圖2。

從圖2可以看出：在正斷層地應力狀態下，井壁切向應力分布形態呈現出明顯的非均勻性，且具有中心對稱性；切向應力的最大值出現在井周角為0°附近，最小值在井周角為60°附近；當井周角為330～30°時，切向應力隨著nE的增大而減小，在井周角為30～60°時，切向應力隨著nE的增大而增大，在其他角度區間，彈性模量對切向應力的分布沒有明顯的影響，因其分布規律具有中心對稱的特性，所以在其對稱的區間分布規律相同；切向應力的最大值和最小值與井壁的拉伸破壞和剪切破壞直接相關，所以在各向異性頁巖地層中，對彈性模量的分析很有必要。

3.1.2 泊松比的影響

定義泊松比各向異性度nv為垂直于各向同性面的泊松比與各向同性面的泊松比的比值，分別計算nv＝1.00、1.25、1.50、1.75時井壁切向應力隨井周角的變化情況以分析泊松比各向異性度對井壁切向應力的影響規律，結果見圖3。

圖2 正斷層地應力狀態下彈性模量對井壁切向應力的影響

圖3 正斷層地應力狀態下泊松比 對井壁切向應力的影響

從圖3可以看出：在正斷層地應力狀態下，泊松比各向異性度不會造成井壁切向應力的二次分布，即頁巖的橫向變形系數對井壁切向應力的分布沒有影響。

3.2 逆斷層地應力狀態下

取計算參數最大水平地應力σh，max＝45.07MPa，最小水平地應力σh，min＝36.33MPa，上覆地應力σv＝27.43MPa，其余參數與3.1相同。

3.2.1 彈性模量的影響

分別計算nE＝0.25、0.50、0.75、1.00（各向同性）時井壁切向應力隨井周角的變化情況以分析彈性模量各向異性度對井壁切向應力的影響規律，結果見圖4。

從圖4可以看出：在逆斷層地應力狀態下，井壁切向應力分布形態呈細胞分裂狀，分布不均勻且具有對稱性；切向應力的最大值出現在井周角為40°附近，最小值則出現在135°附近；當井周角為0～60°時，井壁切向應力隨nE的增大而減小，當井周角為120～160°時，井壁切向應力隨nE的增大而增大；彈性模量的各向異性程度越大，則切向應力的非均勻性越大。

3.2.2 泊松比的影響

分別計算nv＝1.00、1.25、1.50、1.75時井壁切向應力隨井周角的變化情況以分析泊松比各向異性度對井壁切向應力的影響規律，結果見圖5。

圖4 逆斷層地應力狀態下彈性模量各向異性度對井壁切向應力的影響

圖5 逆斷層地應力狀態下泊松比各向異性度 對井壁切向應力的影響

從圖5可以看出：在逆斷層地應力狀態下，泊松比各向異性度也不會造成井壁切向應力的二次分布，即頁巖的橫向變形系數對井壁切向應力的分布沒有影響。

3.3 走滑斷層地應力狀態下

取計算參數最大水平地應力σh，max＝60.17MPa，最小水平地應力σh，min＝45.04MPa，上覆地應力σv＝53.51MPa，其余參數與3.1相同。

3.3.1 彈性模量的影響

分別計算nE＝0.25、0.50、0.75、1.00（各向同性）時井壁切向應力隨井周角的變化情況以分析彈性模量各向異性度對井壁切向應力的影響規律，結果見圖6。

從圖6可以看出：在走滑斷層地應力狀態下，井壁的切向應力隨井周角的分布同樣是不均勻的，其整體分布形態與逆斷層相似，但井壁切向應力的最大值在140°附近，最小值在45°附近；當井周角為0～60°時，切向應力隨著彈性模量各向異性度的增大而增大，當井周角為120～160°時，切向應力隨著彈性模量各向異性度的增大而減小，即彈性模量對各向異性頁巖地層水平井井壁切向應力的影響規律在最大值和最小值附近相反，所以在對井壁穩定的分析中要視具體情況而定。

3.3.2 泊松比的影響

分別計算nv＝1.00、1.25、1.50、1.75時井壁切向應力隨井周角的變化情況以分析泊松比各向異性度對井壁切向應力的影響規律，結果見圖7。

從圖7可以看出：在走滑斷層地應力狀態下，泊松比各向異性度同樣對井壁的切向應力分布不會產生影響。

4 結論

1）在各向異性頁巖地層中，在不同地應力狀態下，井壁切向應力分布形態具有明顯的差異，在最大值和最小值處體現得尤為明顯；相比之下，正斷層地應力狀態下的井壁切向應力分布的非均勻性最強。

圖6 走滑斷層地應力狀態下彈性模量各向異性度對井壁切向應力的影響

圖7 走滑斷層地應力狀態下泊松比各向異性度 對井壁切向應力的影響

2）在各向異性頁巖地層中，巖石的彈性模量各向異性度不僅會對井壁切向應力的最大值和最小值產生影響，同時還會影響井壁切向應力極值的方向；而泊松比各向異性度不會對井壁切向應力分布產生影響。

3）在各向異性頁巖地層中，彈性模量各向異性度對切向應力的最大值和最小值處的影響規律相反，所以在進行井壁穩定性分析時，應該根據具體情況分析。

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