隨機時滯電力系統穩定性分析

厲文秀

（河海大學 能源與電氣學院，南京 210098）

1 隨機時滯問題的產生

在自然界，系統狀態的未來發展趨勢往往既取決于當前運行狀態，也與過去的狀態密切相關，這類現象稱為時滯現象。時滯現象在電力系統的控制回路中非常普遍，在過去分析電力系統時，往往忽略時滯的影響，這主要是因為控制器由本地量構成，此時的通信延時在10ms以下。但是，隨著互聯電力系統規模和復雜度的不斷增加，大量功率需要遠距離傳輸，區域間功率振蕩的可能性和危害性日益增加，僅靠局部反饋信號設計的控制器越來越難保證互聯電力系統的穩定性，必須充分利用廣域量測系統所能提供的遠方設備信息，進行系統協同控制，方能確保系統的安全穩定運行。而廣域量測信息存在明顯的延時，不能完全忽略，因此研究時滯環節對系統穩定性的影響，具有十分重要的現實意義。

關于時滯的研究主要集中在討論系統的平衡點穩定性。文獻［1］指出，對于給定時滯τ，只要線性時滯系統x·（t）=Ax+Bx（t-τ）沒有位于右半平面某個矩形區域內的特征根時，系統就是漸近穩定的，這里的特征根是超越方程|sI-ABexp（s-τ）|=0的根。文獻［2］指出當系統時滯較小時，n維線性時滯系統的n個特征值在相應的無時滯系統的特征值附近，時滯系統的最危險特征根派生于無時滯線性系統的最危險的特征根。在時滯不大的情況下，文獻［3］通過求解超越方程獲取系統的n個特征值，并將“所有特征根都位于復平面左半平面”作為系統穩定的充要條件。文獻［4］在文獻［3］的基礎上，討論了時滯因素對電力系統小擾動穩定域的影響。此外，不少文獻將純時滯環節在頻域中用有理函數來近似，從而把系統的線性狀態空間方程由無理方程變為有理方程。文獻［5-7］用Pade表達式近似來描述系統的純時滯環節，并在此基礎上設計了阻尼控制器。

現實生活中電力系統總是存在著各種各樣隨機干擾，這些干擾有的是由擾動引起的系統內部結構、參數變化，有的是由可再生能源、電動汽車等接入引起的外部隨機激勵。當前隨著可再生能源的大規模并網，其隨機性對電力系統的影響不容忽略，有必要研究隨機因素作用下電力系統的穩定性問題。

近年來隨著隨機H∞控制問題的解決，隨機時滯系統的穩定性和魯棒控制問題的研究取得了一定進展，出現了一些新的研究成果。文獻［8］研究了一類帶Markovian切換的非線性時滯隨機系統的穩定性問題；文獻［9，10］通過使用模型轉換和線性矩陣不等式的方法，研究了一類時滯不確定隨機系統的平均時間延遲和指數穩定性的魯棒控制；文獻［11，12］研究了不確定隨機系統的魯棒穩定性條件。

目前在電力系統領域，隨機時滯系統的穩定性研究還未見報道。本文以勵磁系統輸入信號延時作為時滯環節，以可再生能源發電和電動汽車接入電網引起的功率波動作為電力系統的外部隨機激勵，建立單機無窮大隨機時滯系統的數學模型；仿真獲得隨機時滯電力系統的受擾軌跡，分析不同時滯、不同擾動強度下隨機時滯電力系統的穩定性；將時滯環節用Pade變換近似，計算時滯系統在平衡點附近的特征根，分析時滯系統在平衡點附近的動態特性；對比仿真結果與特征根結果，表明擾動強度較大時基于Pade近似的特征根結果與隨機擾動下的仿真結果有較大的差異。

2 隨機時滯電力系統模型

以圖1所示的單機無窮大系統為例。其中發電機采用三階實用模型，計及勵磁系統動態。發電機d，q坐標下數學模型（采用標么值）為［13］：

圖1 OMIB系統

式中Ud，Uq——定子d軸和q軸電壓；Id，Iq——定子d軸和q軸電流；Xd，Xq——d軸和q軸同步電抗；E′q——q軸暫態電勢；X′d——d軸暫態電抗；δ，ω——發電機轉子的功角和角速度；ω0——角速度的初始穩態值；Tj——發電機的慣性時間常數；Pm——機械功率；Pe——電磁功率；D——阻尼系數；T′d0——d軸的暫態時間常數；Ef——勵磁電勢。

根據發電機的電壓向量圖［14］，可以得到

式中Xe——發電機到無限大母線之間的電抗；EQ——假想電動勢；Eq——空載電動勢；V——無窮大母線電壓；Vg——勵磁系統端電壓。

2.1 含時滯環節的OMlB系統

勵磁系統的數學模型用一階慣性環節表示，其等值放大倍數為Ka，時間常數為Ta。為了研究時滯對OMIB系統穩定性的影響，在勵磁系統的端電壓反饋通道加上純時滯，如圖2所示，延遲時間為τ。

圖2 勵磁系統框圖

該勵磁系統的動態方程為：

結合式（1）～式（3），可以得到時滯OMIB系統的狀態空間模型：

2.2 隨機時滯OMlB系統

針對由外部隨機激勵引起的電力系統隨機功率波動：這些功率波動可以理解為由可再生能源發電產生，也可以理解為由電動汽車等負荷產生，一般情況下可以將其近似設為具有平穩獨立增量的高斯過程［15］。因此在轉子運動方程右側加上隨機激勵項，式（4）改為：

式中W（t）——隨機激勵，表現形式為滿足高斯分布的白噪聲過程；σ0——隨機激勵強度。

將式（5）寫成向量型式：

其中B（t）=［B1（t），B2（t），…，Bn（t）］T是n維維納過程，初值X（t0）與B（t）獨立，B（t）的形式導數為dB（t）／dt=W（t）；

2.3 隨機微分方程的數值計算方法

對于隨機微分方程來說，只有滿足一些特殊表達的簡單系統才能夠解析求解，更多的情況需通過數值計算方法獲得解過程的軌跡。EM數值方法是隨機微分方程最簡單的數值求解的方法［16］。設隨機過程X（t）是隨機微分方程（6）的解過程，對于某個正整數N，記Δt=（T-t0）／N，τj=jΔt，Xj=X（τj），j=0，1，2，…，N，

則EM數值方法的差分迭代公式為：

3 隨機時滯OMlB系統仿真分析

算例系統如圖1所示，本文在仿真計算時采用的參數設置為：Tj=10.0s，Xd=0.982pu，Xq=0.982pu，X′d=0.344pu，Xe=0.604pu，D=0.5，T′d0=5.0s，Vg0=1.05pu，Pm=0.45 pu，ω0=314.15rad／s，Ka=55，Ta=0.5s。

3.1 時滯對功角曲線的影響

時滯隨機OMIB系統數學模型如式（5）所示，采用EM方法仿真獲得功角響應曲線，仿真1000次并平均，根據平均功角曲線分析時滯對穩定性的影響。不同時滯下的功角曲線均值見圖3～圖5。

（1）σ0=0.01

圖3 σ0=0.01時均值功角曲線

（2）σ0=1

（3）σ0=1.2

從圖3可以看出：當隨機激勵為高斯白噪聲，且激勵強度σ0=0.01時，時滯τ較小時系統穩定，但時滯大于0.167s時，系統出現增幅振蕩并最終失穩。從圖4可以看出：當激勵強度增大至σ0=1時，時滯較小時或時滯較大時系統都可能失穩，但時滯適中（如當τ=0.16s）時系統反而穩定。圖5可以發現：當激勵強度增大至σ0=1.2時，無論時滯取值多少，系統都失穩。

圖4 σ0=1時均值功角曲線

圖5 σ0=1.2時均值功角曲線

表1給出了不同激勵強度及時滯參數下的發電機功角曲線均值及穩定性判斷。從表1可看出：

（1）隨機時滯電力系統的穩定性不僅取決于激勵的強度，還與時滯的大小密切有關。

（2）系統存在較小的時滯可能有利于系統的穩定性，但較大的時滯通常不利于系統的穩定性。

表1 不同時滯及激勵強度下的功角穩定性

3.2 不同激勵分布的影響

上述仿真分析了激勵強度對時滯系統穩定性的影響，下面進一步分析當W（t）為不同分布的白噪聲對系統穩定性的影響。表2和表3分別列出了W（t）為均勻分布U（a，b）（其中a，b為均勻分布的區間）以及泊松分布P（λ）（其中λ為泊松分布的均值和方差）下的系統穩定性仿真結果。

表2 均勻分布白噪聲激勵下的功角穩定性

表3 泊松分布白噪聲激勵下的功角穩定性

由表2～表3可得：不同的隨機激勵分布下時滯電力系統的穩定域不同。因此在研究時滯電力系統的穩定性問題時，有必要獲得負荷隨機擾動或可再生能源的隨機波動模型。

4 基于Pade近似的時滯系統小擾動穩定性分析

4.1 純時滯環節的Pade近似

在頻域中純時滯環節用e-sτ表示，其中τ表示時滯。為了能方便地分析系統的特性，在不會產生較大誤差的情況下，有時用有理函數來近似e-sτ，其中Pade（這里記作P（s））近似是常用的一種方法，表示如下：

式中l，k，j——正整數；！——階乘。

Pade近似隨階數l和k的變化而變化，l+k的值越大，近似就越精確。

表4分別給出了1～3階（l=k）的P（s）表達式［7］。

表4 Pade表達式

用一階Pade表達式P（s）逼近純時滯環節，在復頻域中可用傳遞函數框圖變換（圖6所示）來獲取其狀態空間模型：

圖6 傳遞函數框圖變換

相應的狀態空間方程為：

式中x1——與時滯環節相關的中間變量。

同理，三階Pade近似的狀態空間方程可表示為：

式中x1～x3——中間變量。

將Pade近似的狀態方程與系統其余部分的狀態方程相結合，就能得到整個系統的狀態空間表達式。

4.2 基于Pade近似的時滯電力系統小擾動穩定性

當純時滯環節用一階Pade表達式近似時，式（4）修改為：

將動態方程（11）在平衡點處線性化，根據線性化后系統的狀態矩陣求得含時滯OMIB系統的特征根，見表5。

表5 一階Pade近似下的特征根

從表5可以看出：系統有兩振蕩模式以及一個衰減模式。隨著τ的增加，振蕩模式λ2，3的阻尼逐漸增加，但λ4，5的阻尼逐漸減小。當τ增加到0.173s時，λ4，5的實部大于零，系統不穩定。對照表1的仿真結果可以看出：在擾動強度較小σ0=0.001時，τ=0.167s時系統失穩，2者的結果基本一致。

進一步采用三階Pade變換近似時滯環節。將式（10）代入方程（4）后，根據對應方程的線性化結果，求得不同時滯下的系統特征根，見表6。

由表6可以看出：采用三階Pade近似時，τ=0.167s時系統處于臨界穩定，τ=0.168s失穩。這與表1～表3仿真求得的臨界穩定點0.167s吻合。

表63 階Pade近似下系統特征值

4 結語

本文基于單機無窮大系統，建立了隨機時滯電力系統的數學模型，仿真分析了不同隨機擾動強度、不同隨機激勵分布、不同時滯下電力系統的動態特性。文中還將時滯環節用Pade表達式近似，分析了基于Pade近似的時滯系統特征根結果。

論文分析表明：在隨機擾動強度較小時，基于高階（三階以上）Pade近似的時滯系統特征根結果與隨機擾動下的系統穩定性吻合；但當擾動強度增大時，基于高階（三階以上）Pade近似的時滯系統特征根結果與隨機擾動下的仿真結果有較大的差異。這是因為系統存在強非線性（時滯）環節，其原點穩定性的吸引域較小。

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