基于分數階PID控制的交流伺服系統研究

懷紅旗（南京六九零二科技有限公司，江蘇 南京 21009）

基于分數階PID控制的交流伺服系統研究

懷紅旗（南京六九零二科技有限公司，江蘇 南京 21009）

針對傳統的PID控制滿足不了永磁同步電機調速系統高速高精度的控制要求，提出了分數階PI控制器。首先建立了調速系統的方框圖模型，推導了其傳遞函數。然后采用flat phase法設計了其分數階PI控制器，并采用Oustaloup濾波法將其實現。由仿真實驗可以看出，所設計的分數階PI控制器的動態性能、穩態性能以及魯棒性均優于傳統的整數階PID控制器。

永磁同步電機；分數階PI；魯棒性

永磁同步電機具有體積小、效率高、轉動慣量小、過載能力強等優點，廣泛應用于機器人、數控機床、辦公自動化、軍用武器隨動系統等場合。但永磁同步電機中各種時變和不確定因素的存在嚴重影響系統控制性能，使得系統的高性能優勢無法得到充分發揮。因此必須采取理想的控制策略，提高永磁同步電機調速系統的動和靜態特性，以及魯棒性。諸多新的控制策略被用于永磁同步電機調速系統控制中，譬如滑模變結構控制[1]、預測控制[2]、自適應控制[3]、反推控制[4]等。但這些控制策略計算量較大，在實時性較強的場合，控制器實現難度較大。

傳統的整數階PID控制算法比較簡單，易于工程實現，得到廣泛應用。但隨著控制對象的控制精度要求越來越高，PID控制器逐漸滿足不了人們的要求。因此有學者引入了分數階PID控制，擴大了控制參數的調控范圍，改善了傳統PID控制的不足，從根本上提高了系統控制精度，并在分數階控制器設計和實現方面做了大量的研究工作。

文獻[5]建立了系統的分數階數學模型并設計了分數階PID控制器，取得了比整數階數學模型和控制器好的系統性能。文獻[6]將分數階PID控制器用于伺服電機控制中，在保證帶寬不變情況下，提高了系統的相位裕度。文獻[7]將分數階PID控制器用于電機調速系統中，提高了系統的穩定性和魯棒性。但其控制器的設計方法和實現方法均沒有介紹。文獻[8]提出了一種分數階PID的參數簡單的整定方法。文獻[9]將伺服系統簡化為一階慣性環節，然后對幾種分數階PID控制器進行了比較研究。文獻[10]將分數階PID控制器與滑模變結構控制相結合，對伺服系統進行了復合控制。

本文將分數階PI控制用于永磁同步電機速度環控制器中。分別介紹了速度環整數階和分數階PI控制器的設計和實現方法。實驗結果表明，分數階PI控制提高了系統的靜態和動態性能以及魯棒性，其性能優于傳統的整數階PID控制器。

1 永磁同步電機調速系統及整數階PI控制器設計

圖1 永磁同步電機調速系統框圖

永磁同步電機采用id=0的矢量控制時，其調速系統簡化的方框圖如圖1所示[11]。系統由電流環和速度環構成雙閉環控制。通常先根據控制要求設計電流環控制器，然后把電流環當作內環，設計速度環控制器。

1.1 電流環整數階PI控制器的設計

在電機調速系統中，需要控制電機的轉矩，使其能夠快速響應，因此電流環的反饋控制必不可少。電流環控制器通常采用P或PI控制。

1.2 速度環整數階PI控制器的設計

圖2 電流環簡化后永磁同步電機調速系統框圖

通常電流環的剪切頻率 比速度環的剪切頻率 高出數倍以上，在剪切頻率 附近，電流環的閉環傳遞函數可近似為1。速度環PI控制器的轉折點頻率 為。當 為 數分之一時，在 附近有 。因此，速度環的開環傳遞函數在剪切頻率 附近，可以近似表示為，所以比例增益可以按照確定。而積分增益 則可根據PI控制器轉折頻率滿足，然后根據 來求出。

2 速度環分數階PI控制器設計及實現

1994年，Dorcak提出了分數階PD控制器；1999年，I.Podlubny提出了分數階PID控制器。分數階PID控制器，一般形式如下：

其中 為正實數，分別為比例、積分和微分增益。

為微分和積分的階次，一般取值為0～2之間，且均可以為分數。分數階PID擴大了整數階的控制范圍，能夠更好更靈活地控制被控對象，達到更好的控制效果。

分數階PID控制器的五個參數對控制系統的性能影響各不相同。 主要影響系統的動態性能和穩態性能。 主要影響系統的穩態性能，選擇合適可以徹底消除穩態誤差。 主要影響系統的超調量和調節時間。 主要影響系統的相角滯后，會減少相對的穩定性，一定程度上消除靜差。 的變化有助于誤差變化調節，與 配合作用，改善微分環節的作用。

設計分數階PID控制器的關鍵是整定控制器的五個參數。其參數整定方法很多，如主導極點法、幅值裕量與相位裕量法、優化方法等。本文采用陳陽泉教授提出的Flat phase法設計速度環的分數階PI控制器。此時控制器的表達式為：

Flat phase法需要滿足的主要三個條件如下：

（1）在剪切頻率 處，整個系統的開環傳遞函數的模值為1。

其中 為控制器的傳遞函數， 為被控對象的傳遞函數。

（3）相角在剪切頻率附近幾乎保持不變，使系統對增益的變化具有魯棒性，系統響應的超調在該范圍內基本不變。

，其中 ， 。

將控制器的傳遞函數和被控對象的傳遞函數帶入式中，可得：

其中

選擇剪切頻率 ，相位裕量 ，根據公式(7)～(10)，便可以得到分數階PI控制器的三個參數 。

分數階PID控制的實現方法有Fourier級數計算法、Grunwald-Letnikov法、Oustaloup濾波法、離散濾波近似法等[9]。本文采用Oustaloup濾波法對所設計的分數階積分

進行了實現。假設選定的擬合頻率段位為（ ），可以得到連續濾波器的傳遞函數為：

3 仿真結果分析

圖3 永磁同步電機調速系統仿真示意圖

為了驗證所設計的速度環分數階PI控制器的性能，在MATLAB/ Simulink下，根據圖3所示的仿真圖對系統進行了仿真。一種情況是電流環和速度環均采用整數階PI控制器，另一種情況為電流環采用整數階PI控制，速度環分數階PI控制。永磁同步電機的各參數設置如下: ?， ，轉動慣量，轉子永磁磁鏈 ，極對數 ，粘滯摩擦系數 。

（1）電流環和速度環均采用整數階PI 控制器

根據永磁同步電機的參數以及本文1.1中電流環PI控制器的設計方法，若選取電流環的剪切頻率 ，速度環的剪切頻率，速度環PI控制器的轉折頻率 。可得電流環整數階PI控制器的參數 ，。速度環整數階PI控制器的參數為，。

（2）電流環采用整數階PI 控制器，速度環采用分數階PI控制器電流環選參數設置同第一種情況。速度環選擇剪切頻率，相位裕量為 ，根據公式，借助于MATLAB可得速度環分數階PI控制器的三個參數分別為。

電機額定轉速得到的響應曲線如圖4所示。可以看出在超調量兩種情況相當時，速度環選用分數階PI控制器時，系統的調節時間明顯比整數階要短。

在時間為1秒時，給系統加入了 的額定負載，響應曲線如圖4所示。可以看出分數階PI控制時系統的轉速幾乎沒有波動，其魯棒性優于整數階PI控制器。

圖4 速度環為整數階PI和分數階PI控制器時系統響應曲線

4 結語

為提高永磁同步電機調速系統的性能，提出采用速度環分數階PI控制器。首先分析了在id=0矢量控制時，永磁同步電機調速系統的數學模型。然后介紹了分數階PI控制flat phase設計方法，以及分數階PI控制器的Oustaloup濾波實現方法。分數階PI控制器比傳統的整數階PI控制器多了一個可調參數，在保證系統具有足夠帶寬的情況下，可提高系統的相位裕量。仿真結果表明，采用分數階PI控制器時，系統的靜態特性、動態特性及魯棒性均優于采用整數階PI控制器時。

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作者介紹

懷紅旗（1981-），男，高級工程師，碩士研究生，現就職于南京六九零二科技有限公司，主要研究方向為伺服系統的設計及應用。

Speed-Adjusting System of the PMSM Based on Fractional Order PI Control Algorithm

Aiming at the unsatisfactory speed and control accuracy of the PMSM with traditional PID, the fractional order PI controller is designed to improve the performance of the speed adjustment system of PMSM. The transfer function is deduced based on the block diagram mathematical model of speed control system. Then the design of fractional order PI controller is introduced by using flat phase method. And an Oustaloup integer order approximation of the fractional order operator is applied. It shows that the fractional order PI controller has a better performance than the integer order PI controller. And it can improve the robustness performance of the PMSM speed-adjusting system. Key words: PMSM; Fractional order PI; Robustness

B

1003-0492(2015)05-0100-03

TM351