柱錐面交線研究

胡志剛， 鄭秋白

（1. 河南科技學院機電學院，河南 新鄉453003；2. 駐馬店市宇暢路橋養護工程有限公司，河南 駐馬店 463000）

柱錐面交線研究

胡志剛1， 鄭秋白2

（1. 河南科技學院機電學院，河南 新鄉453003；2. 駐馬店市宇暢路橋養護工程有限公司，河南 駐馬店 463000）

論文就相交切面型回轉面中的圓柱、圓錐面交線的計算進行詳細探討，對不同輸入參數下交線產生的結果進行分析，為 CAD中錐柱求交的部分提供一種有效的算法基礎。給出了圓柱、圓錐表面交線存在的判別式，對交線在特殊位置下存在的參數條件、不同交線數量及形態特點進行了解析和幾何分析，對一般位置下圓柱、圓錐面存在交線的特殊情況，即表面切點的計算進行了方法討論；提供了相交圓柱、圓錐表面及其交線參數化繪圖的程序設計思路和所涉及到的一些關鍵問題的處理方法，應用程序以對話框輸入初始參數，能實現自動繪制圓柱、圓錐面及其交線多面投影視圖、尺寸標注及將主要尺寸、參數及交線的坐標數據寫入數據文件。

回轉面；交線；參數方程；繪圖

在工程設計及開發 CAD/CAM應用程序的過程中，幾何體模型設計是一個極其重要的基礎設計環節之一，構成的幾何體表面主要有規則曲面、非規則曲面和自由曲面等類型，規則曲面中的切面型回轉曲面是工程設計中除了平曲面之外應用最多的曲面類型，錐面和柱面又是其典型的代表[1]。幾何體表面交線的分析與表達是模型設計中比較難以處理的問題之一，相關文獻對曲面之間交線的構建、實體建模中對回轉面交線的分段取舍和特點分析已有較多的討論，在組合兩個包含切面型回轉曲面為主要表面的基本實體模型時，如何根據其尺寸參數和相對位置參數判斷有無交線產生，如何準確地繪制切面型回轉曲面之間的交線，交線的數目和形態如何，如何處理形成封閉交線的兩段曲線在起訖點的連接等問題，成為幾何建模和視圖表達的關鍵[2-11]，相關文獻中涉及較少。建立基本幾何形體表面和其交線的數學定義模型時，應分別在各自基本幾何體上建立固連的坐標系，以一個基本幾何體及其坐標系為主形體和主坐標系，其余幾何體及其固連的坐標系可以通過平移、旋轉等幾何變換達到任意指定位置。當每個坐標系和其固連的幾何體的相對位置不同，其數學描述也會不同，但結果是一致的，在文獻[4,9-14]中已有相應地描述。在切面型回轉面的建模過程中，根據特殊幾何條件建模以及交線的產生條件、形態特點、演變及數目等在目前的文獻中雖有所分析[4,10,12,15]，但缺乏較為全面地描述。本文以切面型曲面中最常見的圓柱面和圓錐面為例，對其交線的數學描述、初始參數與交線的形態特點，產生交線的臨界參數及計算方法給出了特殊情況下的分析，并對一般位置下取得產生交線的臨界參數從方法上進行了討論，同時開發一個參數化建模與繪圖的應用程序，實現形體與交線的正交投影視圖的繪制，對通過輸入不同參數后運行該程序可以顯示不同的結果，對交線特點進行分析對比和結果驗證，可為基于交線形態特點的幾何形體的設計和創建提供依據。

1 回轉曲面交線數學模型的建立

圓柱面與圓錐面相交，坐標系的選擇及初始參數不同，圓柱、圓錐面及其交線的數學表達式也不同，相應的圖形結果也會不一樣；例如，圓錐定義的初始參數為底圓直徑和頂點到底圓的高度，定義圓錐的坐標系坐標原點位于底圓中心點，Z軸通過頂點，可以得到其圓錐面及交線的表達式[13,15]；也可以錐頂角為初始參數，以錐頂點作為坐標原點，Z軸與圓錐面軸線共軸建立坐標系。如何選擇要根據應用程序所達到的目標和實際應用而定，本設計以顯示完整的交線為主要目的，故圓錐面定義的坐標系和初始參數設置選擇后者。

分別在圓錐面Ⅰ和圓柱面Ⅱ上建立兩個笛卡爾坐標系，設圓錐定義坐標系為O-XYZ，坐標原點位于圓錐頂點O，Z軸與圓錐軸線共軸，向上為正方向；圓柱定義坐標系為 O1-X1Y1Z1，原點在圓柱軸線上，Y1與圓柱軸線重合，右為正方向；當兩者處于一般位置（即圓錐面和圓柱面軸線為異面直線）時，相當于將圓柱面及其O1-X1Y1Z1坐標系從與O-XYZ坐標系重合的位置，先圍繞X1（或X）旋轉β角度，再分別沿著X、Z軸移動Δx和Δz而得到，此時Δz一般應為負值，X和X1方向相同，圓柱面直徑為d，圓錐面錐頂角為Φ，如圖1所示。

圖1 相交圓柱體、圓錐體、坐標系及基本參數

圓錐面Ⅰ的方程為：

其下半圓錐面參數方程為：

其中，θ為自O-XYZ坐標系原點O到圓錐面上任一點P在XY坐標面上的投影連線op與X軸的夾角如圖1所示。且0≤θ≤3 60°，- ∞≤z≤0，0°＜Φ＜180°

圓柱面Ⅱ方程為：

其參數方程為：

其中，t為圓柱面上任一點的半徑線在O1-X1Y1Z1坐標系 X1Z1坐標面上的投影與Z1軸的夾角，且0° ≤ t≤ 3 60°。

兩個坐標系的坐標變換公式如下：

在O-XYZ坐標系中定義的交線參數方程為：

將式(1)解出的 x1和 z1代入式(2)可得出交線在O-XYZ坐標系中的表達式為：

其中：

是否存在表面交線要根據式(3)中z坐標是否存在，設 Δ =B2-4 AC，Δ ≥ 0 時，z有兩個不相等的實值，有交線存在，即分別對應兩段交線上的兩個點，當Δ =0 時，兩個點重合，即兩段交線形成的一條封閉空間曲線的分界點。將式(4)代入Δ= B2-4 AC 得到：

可以看出，該式是一個關于θ 的高次三角函數多項式，對于Δ =0 的求解，可以采用數值解法求出對應的θ 值。對于β 處于特殊角度時可以直接求解。當β=0時，兩切面型表面軸線垂直：

當β=90°時，兩軸線平行或共線：

2 程序設計

用 Autolisp語言進行程序設計開發一個名為cone_cyl_intersection的參數化繪圖命令。可以實現在指定的繪圖起點繪制相交圓柱面、圓錐面的多面正投影視圖、尺寸標注，還包括原始輸入尺寸、參數和產生交線的關鍵參數、界定不同交線形態的參數及交線數據等自動寫入一個Excel文件中[2,16]。繪圖部分程序設計框圖如圖2所示。

圖2 三視圖繪制的程序框圖

2.1 交線的完整顯示方法

能否在視圖中完整顯示交線的投影與指定的圓錐面高度h有關，其必須大于交線上最低點的z坐標的絕對值，即。在本設計中，取h等于和圓柱直徑d中的最大值。

2.2 繪制交線的坐標變換

根據式(3)可以計算出基于圓錐面坐標系O-XYZ的交線上點的坐標，但是，要實現在AutoCAD構造平面上繪制交線的多面投影視圖，必須把三維坐標轉換成當前用戶坐標系的二維坐標。設交線上某一點的坐標為(x, y, z)，AutoCAD當前用戶坐標系為O′-X′Y′Z′，指定繪圖起始點（在主視圖上）的坐標為，俯視圖與繪圖起始點的距離為 l，左視圖與繪圖起始點的距離為 m，其轉換公式分別為：

2.3 消除圓錐頂點上方的交線方法

在繪制交線時，在一些情況下圓柱面會同時和上、下圓錐面相交，可同時顯示分別位于錐頂點上、下兩個交線，但在一般的工程設計中，只采用下方的圓錐面及其交線，因此，在計算交線上點的坐標時，要對該點的z坐標進行判斷，只有z≤0時才執行繪圖操作。

2.4 參數角θ步長Δθ的取值

在實際繪圖時，因為z是一個多值函數式，因此一條封閉的交線是分兩次繪制完成的，由于 Δθ不可能連續取值，造成交線起訖點不重合。雖然Δθ的取值越小，交線圖形的分辨率越高，曲線越光滑，起訖點間隙變小，但命令執行的時間也越長，本設計取Δθ= 2°，當繪制交線接近起、訖端點時，程序自動取Δθ=0.1°，最后用直線連接起、訖端點。

3 參數初始化與回轉面交線形態討論

從式(5)、(6)和(7)中Δ值可以判斷兩切面型回轉曲面的交線位置及形態，特別是，當 Δ=0時，從求解的cosθ的值可以判斷交線的數量和交線存在的θ值域，cosθ為單值時，存在一條不包含錐頂點的封閉交線；cosθ為二值時，存在兩條不包含錐頂點的封閉交線；Δ>0不隨θ改變時，交線是兩條包含錐頂點的封閉交線。由于兩切面型回轉面軸線處于一般位置時，Δ=0是關于cosθ的高次方程，只能通過數值計算的方法求解，故下面只對式(5)、(6)對應的特殊狀況進行交線的分析，對一般位置給出分析方法和進行幾何及實例分析。加載命令定義程序，并執行程序命令后，根據輸入的參數不同，圖形將反映出各種相對位置關系和對應的交線形狀[4]，以此對幾何和解析分析兩方面進行程序結果的驗證。

3.1 相交特殊情況

包括圓錐、圓柱面軸線共軸，平行與正交等。

3.1.1 共軸或軸線平行

圖3 軸線平行時的交線

3.1.2 軸線正交

此時， β =0°。根據式(6)，當Δ≥0時存在交線，特別是，當 Δ = 0時，有：

以下從幾何角度分析其交線情況：

圖4 軸線正交時的交線

圖5 圓柱面過錐頂點的交線

圖6 圓柱面切于圓錐面素線的兩條交線

圖7 圓柱面切于圓錐面素線時的豎8字形交線

圖8 圓柱面切于圓錐面素線時的橫8字形交線

3.2 相交一般情況

兩軸線以一般角度相交或者是異面直線時，可以無交線或者交于一條或兩條封閉的交線。當兩個回轉面公切于一個平面，并處于切平面異側時為外切，處于同側時為內切。確定兩個曲面內、外切點受圓柱面直徑d、圓錐頂角Φ、x方向位移Δx 、z方向位移 Δ z 以及兩軸線夾角等多個參數的影響，設前3個參數不變，當兩曲面相切時，若給出Δx 的值時，β的數值也就確定了，且內、外切點所對應的θ 也將確定，此時設內、外切點所對應的β=βet，當時，0≤β＜βet或π-βet＜β≤π時則無交線；當時，βet＜β＜π-βet時有兩條封閉的交線，特別是，當β=βet或 β=π-βet時，兩條封閉交線有一個共點。計算βet可以通過求解一般位置下圓柱和圓錐表面的共切平面得到。以下是幾種常見的交線實例：

圖9 Δx=35, Δz=40, β=15°時的交線三視圖

取較大數值時，交線是一條不包圍錐頂點的封閉曲線或者無交線，取較小值時，交線是兩條包圍錐頂點的封閉曲線，如圖 10所示，初始參數為：d=100，Φ=45°,Δ x= 10,Δz= 75,β=25°。

圖10 Δx=10, Δz=75, β=25°時的交線三視圖

圖11 Δx=-10, Δz=150, β=150°時的交線三視圖

通過詳細分析交線狀態創建圓柱、圓錐相交的形態圖譜，并對每種形態圖找到對應出初始輸入尺寸和參數，以便設計和繪圖時有針對性的應用[17]。

4 結 論

通過對交線產生、交線的分段點、數目及與錐頂點的位置關系相關的臨界參數的分析，可以在建模中明確回轉體的相對位置及表面交線的形態，準確地構造切面型回轉體為基本形體的建模奠定基礎，同時可以在應用程序中初始化參數數據，為應用程序的功能擴展提供依據。本文是以圓錐面及其固連的坐標系 O-XYZ為參照來定義圓柱面及其固連坐標系O1-X1Y1Z1的位置，其一般位置可以通過將圓柱及其固連坐標系圍繞X軸旋轉一定角度，并分別沿著Z軸和X軸移動一定距離而實現，因此不需要使其再圍繞Y和Z軸旋轉及沿著Y軸平移的變換，從而簡化了坐標點的計算量和程序設計。

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Research on Intersections of Cone and Cylinder

Hu Zhigang1, Zheng Qiubai2
(1. School of Mechanical and Electrical Engineering, Henan Institute of Science and Technology, Xinxiang Henan 453003, China; 2. ZhuMadian Yuchang Road and Bridge Maintenance Corporation Ltd, Zhumadian Henan 463000, China)

This paper aims is to discuss the intersections determination of two plane tangent convolutes, a cylinder and a cone, and to analyze different intersection results under different parameters entry, so as to deliver a kind of effective mathematical basis for CAD intersection construction. For a cylinder and a cone, the existence-judgment equation of intersection lines is given. It is also analyzed that intersection existence conditions, numbers and shape properties in both parametric formulas and geometry at special spatial positions, while the method discussion was made of getting exact tangent point of two surfaces at normal spatial position. The structural diagram is delivered of parametric drawing program of multiview, some processing methods coping with several key problems of drawing intersection curve are listed, too. Different intersection lines resulting in connection with corresponding parameters entry are analyzed. The implementation has the functions of multiview drawing, dimensioning and writing main parameters and coordinate data to a data file for intersection lines.

surface of revolution; intersection line; parametric equations; drawing

TP 391.7

A

2095-302X(2015)05-0671-07

2015-04-01；定稿日期：2015-06-10

國家自然科學基金資助項目(51375149)

胡志剛(1962-)，男，江西進賢人，副教授，學士。主要研究方向為機械設計、CAD及工程圖學。E-mail：huzhg62@sina.com