應用多目標規劃的馬賽克自動鋪貼設備成本優化研究

李 正，范彥斌，張憲民

(1.華南理工大學，廣州 510641;2.佛山科學技術學院，廣東 佛山 528000)

馬賽克生產屬于以傳統手工制作為主體的勞動密集型產業。目前存在生產標準不完善、無序競爭激烈、公司之間仿冒抄襲嚴重等缺陷，技術研發得不到足夠重視，相關技術進展緩慢［1］。馬賽克顆粒的鋪貼作為馬賽克生產流程的重要環節，是決定馬賽克生產效率的瓶頸環節，其效率和質量直接影響到產能與產品質量。然而傳統的鋪貼工藝主要通過人工逐片逐點實施，不僅效率低下，而且影響人體健康［2］。因此，馬賽克全自動鋪貼生產線的設計和研發成為提高產能、實現清潔生產的重要途徑。

馬賽克的鋪貼對設備精度要求較高，同時由于市場需求的多元化，對設備的靈活性和適應性［3］也有一定的要求，即既可以進行單一品種大批量生產，又可以進行多品種小批量生產。設計自動鋪貼設備需要合理的結構和布局，均衡設備的成本和效能。國外對馬賽克的設計與生產早有研究。Oral等［4］設計了一種4自由度的機械手進行大理石馬賽克的鋪貼，但鋪貼機械手的制造成本較高。Cayiroglu等［5］開發了玻璃馬賽克鋪貼的生產線，但只能實現逐行鋪貼，生產效率無法滿足大訂單、大批量生產的市場需求。

目前國內生產玻璃馬賽克產品的企業以中小型居多，在設備方面的投入有限。國產的馬賽克自動鋪貼設備精度較低，其中效率較高的只能鋪貼單色［6］或雙色馬賽克［7］，能鋪貼三色或者三色以上馬賽克的設備則具有生產效率低、設備成本高的缺點［8］。王永翔等［9］設計的彩色圖案馬賽克鋪貼設備的鋪貼機構采用機械手逐個鋪貼方式，工作效率低，成本高，設備的競爭力不強。

設備制造成本的優化是產品設計的重要環節。于洋等［10］針對某電子產品生產線的單元生產轉化建立了操作工人數和產品流通時間的多目標優化模型。其他一些關于成本優化的研究多以遺傳算法為主，求解車間布局和裝配線序列等問題［11－13］，但其優化目標與本文的研究有所不同。柴月珍［14］從物流成本優化的角度出發，建立了混合整數線性模型。馬翠等［15］針對建筑外表面光伏電池鋪設問題建立了優先級選擇模型。傅晨曦等［16］利用設備系統的歷史故障記錄建立了神經網絡模型，預估各個分系統使用壽命對產品工藝參數的影響，通過遺傳算法確定總成本最低的預防性維護周期優化方案。

本文參考正在研發中的多色復雜圖案馬賽克自動鋪貼設備，基于其流水線結構和自身特效對制造成本和生產效率的影響，建立了多目標優化模型。在不消耗物理制造資源的前提下，對于縮減設計和制造周期、進行輔助生產線的設計和改進具有重要作用。

1 自動鋪貼設備工作原理

工廠在產品生產過程中，會依照客戶要求，按既定顏色配比和陣列順序先將23 mm×23 mm×8 mm的玻璃馬賽克顆粒鋪入尺寸為298 mm×298 mm、間距為2 mm的模板中，見圖1。該工序稱為鋪貼。每塊模板共可鋪貼12×12(即144)顆玻璃馬賽克顆粒。

圖1 馬賽克模板規格

流水線基本結構包括由模板供料系統、模板運輸系統、馬賽克顆粒供料系統和鋪貼系統組成的工作站。生產線節拍P為模板在某一工作站完成該站的鋪貼過程后再運送至下一工作站所消耗的時間。當模板通過所有工作站時會被鋪滿與預設方案相同的多色馬賽克顆粒陣列。

假設流水線供料與鋪貼機構由N1個工作站組成，由圖2可知工作站在流水線兩側對稱分布，每兩個工作站構成一個工位。令整條流水線有N2個工位，則有

馬賽克顆粒鋪貼系統采用的鋪貼機構為吸盤組，組數為3時的結構簡圖見圖3。每一組吸盤數量為12，吸盤間距與模板中的馬賽克顆粒相同。

若對規格為12×12的模板進行n種顏色的馬賽克鋪貼，令每個工作站鋪貼機構吸盤組的排數為x，則整套流水線需要的工作站數N1=n·

圖2 流水線基本結構

圖3 鋪貼機構結構簡圖(組數為3)

流水線的全部氣動系統由PLC控制，每個吸盤的吸氣都是相互獨立的，即每個吸盤占用1個I/O量。每個工作站安裝有2個氣缸，分別執行吸盤組在流水線流動方向和垂直流動方向的動作，即每個工作站占用2個I/O量。每個工位需要1個氣缸驅動流水線上運輸的模板定位裝置，同時需要1個光電傳感器檢測流水線上模板的位置，即每個工位需要占用2個I/O量。因此，整套設備需要占用的I/O量為(12x+2)N1+2N2。

2 數學模型

2.1 模型描述

已知每一盤(12×12)三色馬賽克顆粒可獲利a元。依據馬賽克鋪貼所需顏色種類數為n，馬賽克模板規格為12×12，目標產量(盤)為m，生產線節拍為P，每個PLC的最大點數為k，控制每個工作站吸盤組的排數為x，應使得完成鋪貼指標消耗的時間T盡量短，同時盡量減少設備制造的成本S。

2.2 問題分析

總耗時T構成包括正常生產耗時和停機維護耗時?？偝杀維構成如下:

1)生產線機架采購、加工、裝配成本;

2)工位數變更影響生產線總長度導致的機加工成本;

3)工位數變更影響電控系統總I/O量數導致的PLC采購和安裝成本;

4)吸盤組鋪貼機構加工成本;

5)設備故障維護成本(非零件損耗，因為零部件損耗周期過長)。

因此，得到目標函數為:

minT=T1+T2

minS=S1+S2+S3+S4+S5

s.t.

x=1，2，…，12

n為大于1的整數

m為大于400的整數

3 設備故障概率估計

本文設備在按時檢修和保養的前提下，受供電電壓、真空泵提供氣壓不穩定等不確定因素的影響，在鋪貼玻璃馬賽克顆粒時會有一顆或幾顆顆粒落出模板外，影響模板在傳送帶上的運輸(即出現卡盤現象)，從而導致臨時停機和維護。

假定本設備單個工位連續鋪貼馬賽克時出現卡盤現象是完全隨機的，并假定鋪貼任一模板時出現卡盤的機會均相同。實測得到100次卡盤故障記錄。在故障出現時立即停機，同時記錄下已完成鋪貼的模板數(合格品)，結果見表1。

表1 100次卡盤故障記錄

數據輸入:

卡盤次數頻數直方圖見圖4。.

圖4 卡盤次數頻數直方圖

進行分布的正態性檢驗［17］，得到正態概率圖，如圖5所示。

圖5 正態概率圖

參數估計:

［muhat，sigmahat，muci，sigmaci］=normfit(x);

計算結果:

muhat=690.04，sigmahat=208.223 3，muci=［648.724 0，731.356 0］，sigmaci=［182.821 5，241.887 9］

由此估算出該設備出現卡盤次數的均值為690，標準差為208，均值的 0.95置信區間為［648.724 0，731.356 0］，標準差的0.95 置信區間為［182.821 5，241.887 9］。

假設檢驗

［h，sig，ci］=ttest(x，690);

檢驗結果為:

1)布爾變量h=0，表示不拒絕零假設，說明提出的假設卡盤次數均值690是合理的。

2)95%的置信區間為［648.724 0，731.356 0］，完全包括690，且精度較高。

3)sig 的值為0.998 5，遠高于 0.5，不能拒絕零假設。

因此，可認為單個工作站平均每鋪貼690次會出現1次卡盤現象。

卡盤的概率可估計為1/690。在多工位的情況下，各個工作站出現卡盤現象屬于相互獨立事件，即設備出現卡盤現象的工作站個數N服從二項分布B(N，1/690)。計算設備工作時發生1次卡盤事件的工作站個數X的期望為E(x)=N1/690。對一個工作站進行臨時維護耗時15 min，需支付維護費30元，故進行一次維護的時間成本的期望為Te=15E(x)/60，資金成本期望為Fe=30E(x)。

4 模型計算和分析

4.1 生產耗時計算

假設每次卡盤故障排除后生產流程重新開始。生產線節拍由2個步驟構成:模板運輸和吸盤鋪貼，分別耗時6 s和5 s，即 P=6+5=11 s。根據工位個數，可計算正常生產耗時 T1。

4.2 設備制造成本計算

生產線機架采購、加工、裝配成本S1為定量，S1=30 000元。每個工作站的制造成本 F1=25 000元，每增加一個工位導致生產線長度增加而產生的機加工成本F2=3 000元，故總成本S2=N1·F1+N2·F2=25 000N1+3 000N2。

設備采用的PLC最大I/O點數k=128，單價F3=3 000元。每個吸盤對應1個開關量，每個工作站有2個驅動氣缸占用2個開關量，每一個工位需要1個定位氣缸和1個光電傳感器占用2個開關量，即每個工作站需要占用的PLC采購成本為

單個工作站吸盤組鋪貼機構加工成本為

則整條流水線吸盤鋪貼機構所占用的成本為

綜上，可得模型如下:

M=10 000時，x與總成本的散點圖見圖6。

圖6 單個工作站吸盤組數x與制造點成本S的散點圖

x與生產總耗時的折線圖見圖7。

圖7 單個工作站吸盤組數x與生產總耗時T的折線圖

4.3 運行結果分析

1)當x≤3時，x增加引起工作站數量的減少，導致成本急劇下降，說明工作站的數量導致的加工成本在總成本中占主導地位。工作站鋪貼機構采用的是傳統的鋪貼機構，開發成本相對較低，對總成本的變化影響較弱。

2)當x≥4時，傳統的結構和鋪貼原理已無法滿足功能和精度上的要求，需開發新的鋪貼機構，此方面資金投入隨著x的增加而劇增，甚至抵償了工作站數量減少而縮減的成本，使得總成本繼續增長。

若能在保證精度和穩定性的前提下，設計出新的成本低廉的鋪貼機構，使得單個工作站每次能鋪貼更多的馬賽克顆粒，并使鋪貼機構在總成本中的比重大大減少，那么當x＞4時，總成本將會低于圖6中x=3時的最低值，并可能隨著x的增加持續降低。

3)隨著x的增加和工位數的減少，生產效率不斷提高，生產總耗時不斷減少。由圖7中直線的斜率變化可知:當x＜3時，x每增加1，總耗時的減少都超過20 h，x的增加對生產總耗時的縮減效果非常顯著;當x由3增加至11時，總耗時減少約20 h，即意味著當x＞3時，x的增加對縮減生產總耗時的影響明顯減弱，此時x的取值更多依據x對生產總成本S的影響。

綜合以上分析，在現有技術條件下，x取3既可以得到較低的生產總耗時，也可最低限度地壓縮生產成本，可認為是一個較好的平衡點取值。

5 結束語

本文針對多色彩復雜圖案玻璃馬賽克自動鋪貼設備的工作站布局問題提出了一種時間－成本雙目標優化模型。在項目開展的初期，總體結構布局的設計對于設備的加工和制造具有重要意義。合理的總體布局能節約成本，縮減設計周期，有效降低迭代返工次數。鑒于工程問題一般具有離散性，優化算法多采用直接法的策略，列出了所有可行解對優化目標的影響。企業可根據實際需要改變輸入量的取值，從而選取需要的優化方案。因此本文所提出的模型具有一定的理論和實用價值。

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