基于行為資產組合理論的風險厭惡系數的度量

龍君

（1.吉首大學民族預科教育學院，湖南吉首416000；2.中山大學數學與計算科學學院，廣東廣州510275）

基于行為資產組合理論的風險厭惡系數的度量

龍君1，2

（1.吉首大學民族預科教育學院，湖南吉首416000；2.中山大學數學與計算科學學院，廣東廣州510275）

盡管傳統的均值－方差理論（MVT）已非常成熟，也容易求出最優投資策略，但對于風險厭惡系數的估計一直存在爭議.由于行為資產組合理論（BPT）能更好地描述投資者的心理活動，更符合投資實踐，因此，本文首先基于BPT推導出風險厭惡系數的計算公式，然后再利用MVT進行求解，從而得到符合投資者不同心理行為需求的最優投資組合.最后給出一個數值算例，說明本文方法的有效性.

均值－方差理論；行為資產組合理論；TSF模型；風險厭惡系數

1 引言

在經濟學中，有這么一句話：“不要把所有的雞蛋放在一個籃子里”，這是告訴人們，在投資中應盡量分散投資到不同的資產上.為了更好的度量各項經濟指標，Markowitz于1952年提出了均值－方差理論（MVT），即在給定的期望收益下，使風險最小化［1］，后來他又提出了給定風險厭惡系數的模型，該模型的基本思想是最大化期望收益與風險的線性組合［2］.隨后，經過學者們的不斷研究，這一理論越來越成熟.然而，一個投資者的風險厭惡系數是很難精確計量的，一般只能采用問卷調查等方式進行粗略估計.為了更好地描述投資者的心理活動，1979年，Kahneman和Tversky提出了前景理論（Prospect Theory）［3］.2000年，Shefrin和Statman進一步提出了行為資產組合理論（Behavioral Portfolio Theory，簡記BPT）［4］.2010年，Hoffmann等學者在行為金融理論的基礎上，對個體投資者的行為投資組合進行了分析［5］.

雖然在利用模型求解最優決策方面，BPT不如MVT成熟，但MVT通常假定投資者是厭惡風險的，且其衡量風險的方法不如BPT符合投資者的決策實際，因而不能用于投資者風險態度有變化的情形［6］.文獻［7］雖然將TSF模型與傳統MVT的最優投資組合決策結合起來，但也只給出了風險厭惡系數的半解析式.本文在文獻［7］的基礎上，基于行為資產組合理論，進一步推導出投資者風險厭惡系數的一個解析式，使得投資活動更符合實踐中的投資行為.

2 均值－方差（M－V）模型

Markowitz于1952年提出了均值－方差理論，之后還給出了另外一種模型，即

其最優解為

其中1＝（1，1，…，1）T.這個模型有一個不足之處，那就是人們很難給出一個投資者甚至是自己的風險厭惡系數γ的精確值到底是多少，通常只能采用問卷調查的方式來粗略估計它.

本文將根據某種心理偏好來刻畫這一風險厭惡系數.比如說，當一個投資者希望自己未來的投資收益r（p）小于某個生存水平H是個小概率事件時，通常可以表示為prob｛r（p）≤H｝≤α，這里的α是一個很小的數.

3 風險厭惡系數的度量公式

1952年，Roy提出了安全－首要（Safety－First）模型［8］，1955年Telser在此基礎上進行了修正，得到如下的Telser－Safety－First模型（TSF模型）［9］：

當投資收益服從正態分布時，由Tchebychev不等式，有

由最后一個不等式，可得到

在最優解處，上式可取等號，故有生存水平

用μT左乘（1）式的兩邊，可得

將（4）和（5）代入（3），可得

這個公式清楚地反映出H、α和γ三者之間的關系.當一個投資者希望自己未來的收益r（p）小于某個生存水平H只能是個小概率事件Prob｛r（p）≤H｝≤α（其中α是一個很小的數）時，對于給定的H和α，就可以很方便地找到相應的風險厭惡系數γ.也就是說，由（6）式，我們可以直接推導出風險厭惡系數γ的度量公式.

命題1對于給定的生存水平H和很小的實數α，當Δ＝N2－4MW≥0時，風險厭惡系數γ的值為

根據此公式，我們可以計算出不同生存水平和小概率值情形下的風險厭惡系數，進而得到投資者在不同風險偏好情況下的最優投資組合.

4 數值實驗

任意選取中國股票市場的3只股票：云南白藥（000538）、鐵龍物流（600125）、萬科A（000002），它們在20062010年的年初和年末的股票價格情況如表1所示.

表1 2006～2010年三只股票的年初收盤價和年末收盤價（單位：元）

根據年收益率公式，可計算出每只股票5年的平均收益率分別為

再由協方差公式，可計算出協方差矩陣為

對于不同的生存水平H和小概率值α，根據（7）式，可計算出不同情形下的風險厭惡系數，取其中幾組結果進行說明，如表2.

表2 三種不同風險偏好下的風險厭惡系數

將風險厭惡系數代入公式（1），就可計算出最優投資組合.在第1組中，最優投資組合為

該投資組合的期望收益率為0.2838，風險為0.0897.

此結果表明，可做出如下投資決策：將投資額的130.34%買入云南白藥（000538），即用手上的全部資金買入；買空38.46%鐵龍物流（600125）；再用8.12%的投資額買入萬科A（000002）.若按此比例進行股票投資，可以使投資組合的預期收益率達到28.38%的同時風險最小化為8.97%.

在第2組中，最優投資組合為

該投資組合的期望收益率為0.2838，風險為0.0897.

在第3組中，最優投資組合為

該投資組合的期望收益率為0.2838，風險為0.0897.

這里我們發現一個有趣的現象，對三組不同的風險厭惡系數，得到了相同的期望收益率和風險.這說明對于不同的投資者，根據他們自己的心理偏好（對應為不同的風險厭惡系數），調整投資組合的構成方式，就能得到相同的期望收益率和風險.

5 結束語

在經典的M－V模型中，風險厭惡系數γ通常只能利用問卷調查方式進行粗略估計，并不能給出其精確值.文獻［7］雖然將TSF模型與傳統MV理論的最優投資組合決策結合起來，但也只給出了風險厭惡系數γ的半解析式，仍然不能直接運用到傳統的MV理論中去.為了解決這一問題，本文在文獻［7］的基礎上，基于行為資產組合理論，進一步推導出風險厭惡系數γ的解析式.利用此公式，人們便可直接計算出不同生存水平和小概率值情形下的風險厭惡系數，進而得到不同的投資組合，這就滿足了投資者的不同心理行為需求.本文所給出的公式可以有效解決風險厭惡系數難以精確求解的問題.通過最后的數值算例，也可以說明我們的方法是有效的.

［1］Markowitz H.Portfolio Selection［J］.The Journal of Finance，1952（7）：77－91.

［2］Markowitz H.The Utility of Wealth［J］.Journal of Political Economy，1952（60）：151－158.

［3］Kahneman D，Tversky A.Prospect Theory：An Analysis of Decision under Risk［J］.Econometrica：Journal of the Econometric Society，1979：263－291.

［4］Shefrin H.，Statman M.Behavioral Portfolio Theory［J］.Journal of Financial and Quantitative Analysis，2000（35）：127－151.

［5］Hoffmann A.，Shefrin H，Pennings J.Behavioral Portfolio Analysis of Individual Investors［J］.Social Science Research Network，2010.Working Paper.

［6］李心丹.行為金融學：理論及中國的證據［M］.上海三聯書店，2004.

［7］Das S.，Markowitz H.，Scheid J.，et al.Portfolio Optimization with Mental Accounts［J］.Journal of Financial and Quantitative Analysis，2010，45（2）：311－334.

［8］Roy A D.Safety－first and the Holding of Assets［J］.Econometrica，1952，20（3）：431－449.

［9］Telser L G.Safety first and Hedging［J］.The Review of Economic Studies，1955，23（1）：1－16.

The Measurement of Risk Aversion Coefficient Based on Behavioral Portfolio Theory

LONG Jun1，2
（1.School of Preparatory Education for Minority Nationalities，Jishou University，Jishou，Hunan 416000；2.School of Mathematics and Computational Science，Sun Yat－sen University，Guangzhou，Guangdong 510275）

Although the traditionalmean variance theory（MVT）is perfect，and the optimal investment strategy is easy to be obtained，the estimate for risk aversion coefficient is controversial.However，behavioral portfolio theory（BPT）not only can describe the psychological activity for investors，but also ismore in line with the practice of investment decision.Based on the BPT，we deduce the calculation formula of risk aversion coefficient in this paper.And then using MVT，we obtain the optimal portfolio in accordancewith the different psychological needs for investors.Finally，a numerical example is given to illustrate that ourmethod is effective.

mean variance theory；behavioral portfolio theory；TSF－model；risk aversion coefficient

F224.3；O224

A

1671－9743（2015）11－0015－03

2015－05－30

龍君，1973年生，男，苗族，湖南鳳凰人，講師，博士研究生，研究方向：最優化理論在經濟金融中的應用.