P*-型非線性互補問題解的存在性

王秀玉，　李　琳

(長春工業大學 基礎科學學院， 吉林 長春　130012)

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P*-型非線性互補問題解的存在性

王秀玉，李琳

(長春工業大學 基礎科學學院， 吉林 長春130012)

摘要：首先利用Poincare-Bohl定理給出擇一性定理，然后用該定理證明非線性互補問題解的存在性，并獲得互補問題有解的充分條件。

關鍵詞：互補問題； 擇一性定理；P-型映射；P*-型映射

0引言

互補問題首先由著名運籌學家、數學規劃的創始人G.B.Dantzig教授和他的學生R.W.Cottle于1963年提出，由于互補問題在數學規劃、對策論及經濟學等領域有廣泛應用[1-2]，受到極大關注。判定互補問題是否有解及獲得互補問題有解的充分或必要條件是研究互補問題的重要問題之一。求解互補問題的方法之一為構造一個擇一性定理，即對連續函數所對應的互補問題構造適當的例外簇，互補問題或者存在例外簇，或者有解，然后給出互補問題沒有例外簇的條件，進而得到互補問題有解。文獻[3]比較全面地論述了互補問題的基礎理論和求解的幾種重要方法；文獻[4]給出了一種例外簇的具體形式，文獻[5]利用文獻[4]的擇一性定理，獲得了一些非單調互補問題存在解的條件;王秀玉[6]等討論了水平互補問題。其它的互補問題是否存在解，利用文獻[4]的擇一性定理能否判定，還未有結論。

文中討論如下非線性互補問題(NCP(f)):求x≥0，使得y=f(x)≥0，且xTy=0，其中f:Rn→Rn為連續映射。文中利用NCP函數構造與文獻[4]類似的例外族，并證明了P*-型映射所對應的互補問題的可解性。

1擇一性定理

首先介紹在拓撲學中廣泛運用的兩個基本結論。

下面是文中給出的例外簇的定義。

則稱序列{x(r)}為NCP(f)的例外簇。

利用極小函數及Poincare-Bohl定理,首先證明一個擇一性定理。

定理1設f:Rn→Rn是一連續映射，則互補問題(NCP)或者有解或者存在例外簇。

證明因互補問題(NCP)等價于

若式(1)無解，記

考慮同倫方程：

則對?r>0,?tr∈[0,1]及存在x(r)∈?Dr，使得

否則，?r*>0，對?x∈?Dr*，?t∈[0,1]，有

因此

由引理1知

再由引理2知，φ(x)=0有解，與題設矛盾，從而式(3)成立，且式(3)中的tr∈(0,1)。

若tr=0，則有φ(x(r))=0，與證明開始假設互補問題無解矛盾。

若tr=1，則有x(r)=0，這與x(r)∈?Dr矛盾。

因為x(r)∈?Dr，故有

式(3)的分量形式為：

整理式(5)得：

式(6)兩邊平方得：

化簡式(7)得：

即

由式(9)得：

由式(4) ‖x(r)‖→+∞，(r→+∞)，從而{x(r)}是互補問題NCP(f)的例外簇。

由定理1立即可得

推論1設f:Rn→Rn是連續函數，且互補問題NCP(f)無例外簇，則互補問題NCP(f)有解。

2互補問題的解的存在性

利用定理1證明一些互補問題有解。

定理2若f為連續的P-型映射，則互補問題NCP(f)有解。

證明只需證明互補問題無例外簇即可。

定理3若f為連續的P*-型映射，則互補問題NCP(f)有解。

上式與P*-型映射矛盾，因此，互補問題NCP(f)有解。

下面給出P*-型映射的推廣。

定義4設映射f:Rn→Rn，若?τ≥0，α≥0，β∈(0,1)對?x∈Rn，有

則稱f為P(τ,α,β)-型映射。

定理4若f為P(τ,α,β)-型映射，且互補問題沒有無窮遠解，則互補問題NCP(f)有解。

證明由定理1知只需證明互補問題無例外簇即可。

即

整理得

將式(12)代入上式得

參考文獻：

[1]Dantzig G B, Cottle R W. Positive (semi-definite) matrices and mathematical programming [D]: [Ph D Thesis]. Colifornia: University of Berkeley,1963.

[2]Pang J S, Kaneko I, Hallman W P. On the solution of some (parametric) linear complementarity problems with application to portfolio selection[J]. Math.Programming,1979,16:325-347.

[3]韓繼業,修乃華,戚厚鐸.非線性互補理論與算法[M].上海:上?？茖W技術出版社,2006.

[4]Isac G, Bulavski V, Kalashnikov V. Exceptional families, Topological degree and complementarity problem[J]. Journal of Global Optimization,1997,10:207-225.

[5]Zhao Y B, Isac G. Quasi-P*-maps,P(τ,α,β) maps, exceptional family of element, and complementarity problems[J]. Journal Optimization Theory and Applications,2000,105(1):213-231.

[6]王秀玉，申海明，李琳.水平線性互補問題中常用矩陣對及其性質[J].長春工業大學學報：自然科學版，2013，34(2)：121-126.

[7]Ya-Ping, Nan-Jing Huang, Yeol Je Cho. Some characteristic quantities associated with homogeneousP-Type andM-Type functions[J]. Journal of Inequalities and Applications,2007,146(84):1-10.

[8]王秀玉,姜興武,劉慶懷.求解互補問題的新同倫算法[J].吉林大學學報:理學版,2012,50(3):494-498.

Existence of the solution ofP*- type nonlinear complementarity problem

WANG Xiu-yu,LI Lin

(School of Basic Science, Changchun University of Technology, Changchun 130012， China)

Abstract：An alternative theorem is proposed by using Poincare-Bohl theorem to prove the existence of the solution of some nonlinear complementarity problems and obtain the sufficient conditions this kinds of problem.

Key words：complementarity problem; alternative theorem;P- type mapping;P*- type mapping.

中圖分類號：O 224

文獻標志碼：A

文章編號：1674-1374(2015)02-0121-04

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.2.01

作者簡介：王秀玉(1965-)，女，漢族，吉林長春人，長春工業大學教授,碩士，主要從事最優化的理論與算法研究,E-mail:wangxiuyu.000@163.com.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(10071020)； 吉林省自然科學基金資助項目(201215128,20101597)

收稿日期：2014-10-20