測量平差中若干易混淆問題的教法研究

鮑建寬

（黑龍江工程學(xué)院 測繪工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150050）

誤差理論與測量平差基礎(chǔ)是測繪工程、地理信息、航測與遙感等測繪類專業(yè)的一門專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課。課程內(nèi)容融合了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、測量學(xué)等幾門課程的基礎(chǔ)知識，理論與實踐并重，是測量數(shù)據(jù)處理的重要手段和主要方法。該課程的教學(xué)質(zhì)量和效果，對后續(xù)的其它測繪專業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及從事測繪生產(chǎn)和科研工作都具有重要影響。

測量平差基礎(chǔ)作為一門用于處理測量數(shù)據(jù)的應(yīng)用數(shù)學(xué)，具有較強的理論性，概念抽象、方程復(fù)雜、公式繁多，內(nèi)容單調(diào)枯燥，學(xué)習(xí)入門較難。但其內(nèi)容也有邏輯性較強的特點，只要正確理解掌握其基本原理和概念的意義、背景和適用條件，記憶一些符號的表示約定，就比較容易明了課程的整體內(nèi)容體系以及各部分內(nèi)容間的關(guān)系，進而明了測量平差解決測量實際問題的方法步驟。本文就測量平差基礎(chǔ)教學(xué)內(nèi)容的一些重要問題進行探討。

1 誤差理論的問題

1.1 中誤差概念的理解

中誤差（或方差）是誤差理論的重要基本概念之一，是衡量測量精度的一個最常用指標(biāo)。方差是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的概念，其定義為

方差的平方根即為中誤差

它反映隨機變量的取值在其中心位置附近的分散程度。依據(jù)觀測誤差的性質(zhì)，把中誤差引入到誤差理論中，作為衡量觀測精度的絕對指標(biāo)。但在學(xué)習(xí)過程的一些實際應(yīng)用中，往往混淆中誤差與真誤差的區(qū)別與聯(lián)系。

例如，已知A，B兩點間的高差為1.500m（可視為真值），在相同觀測條件下進行兩次測量作業(yè)，結(jié)果為：h1＝1.501m；h2＝1.495m。試問哪一個結(jié)果的測量精度高？正確結(jié)論應(yīng)是精度相同。但一些同學(xué)認(rèn)為h1偏離真值1mm（真誤差Δ1＝-1mm），而h2偏離真值5mm（真誤差Δ2＝5mm），h1當(dāng)然優(yōu)于h2，亦即h1精度高。這就是理解中誤差的概念出現(xiàn)了錯誤。在關(guān)于真誤差與中誤差概念的教學(xué)時，應(yīng)特別說明以下幾個方面：

1）真誤差是真值與觀測值的差值，是一個具體的觀測結(jié)果。在相同觀測條件下，真誤差有大有小、有正有負(fù)，只要不超過限值都是偶然誤差（合格觀測值），且精度相同。若觀測條件不相同，比較兩個真誤差的大小是無意義的，亦即其值的大小不能表示與精度之間的關(guān)系。

2）為了衡量在一定觀測條件下，觀測值偏離真值的平均值，亦即真誤差（偶然誤差）偏離0值的平均值，采用真誤差絕對值的平均值—平均誤差為指標(biāo)。注意平均誤差不是中誤差的平均值（因偶然誤差具有對稱性，平均值趨于0），而是真誤差絕對值的平均值。由于計算中有絕對值，不方便后續(xù)的方程、公式的推導(dǎo)，所以測繪學(xué)中不常采用此指標(biāo)。

3）中誤差在一定意義上類似平均誤差，同樣反映在一定觀測條件下，觀測值偏離真值的平均值。計算解釋：一組真誤差（偶然誤差）有正有負(fù)，取真誤差的平方值（全部為正值，類似取絕對值），計算真誤差平方值的平均值——方差，方差的平方根即為中誤差。

4）真誤差是一個具體的觀測結(jié)果，其大小只要不超過限差皆可接受，無關(guān)精度。而中誤差是根據(jù)一組相同條件下獲取的真誤差統(tǒng)計出的一個指標(biāo)值，其大小反映一定觀測條件下偶然誤差取值大小的分布，即精度的高低。

1.2 根據(jù)雙觀測值之差計算單位權(quán)中誤差的方法

根據(jù)雙觀測值之差計算單位權(quán)中誤差的算式為

在實際應(yīng)用中，對式（3）中分母的2是要還是不要往往有爭議。例如，為檢測一幅地形圖的測量精度，檢測了50個地物點的坐標(biāo)，把檢測點展繪到地形圖上，量取檢測點和對應(yīng)原地物點間距為di（i＝1，2，…，50），試統(tǒng)計地形圖的測量精度，應(yīng)如何計算。

其實，對于式（3）的適用條件是很清楚的：同一個量在相同條件下觀測兩次（稱為一個觀測對，其精度相同，權(quán)都是pi），其差值為di，根據(jù)n個觀測對的結(jié)果計算單位權(quán)中誤差的算式即為式（3）。對于前述的例子，計算測量精度時，首先要明確檢測時的測量條件，如果檢查時和原來測圖時的條件（儀器、方法）相同，即符合式（3）的適用條件；如果檢測時采用的儀器比原來測圖儀器精度高出一級，計算測量精度時就不能采用式（3），要去掉式中的2，此時的d已不是雙觀測值之差，其實就是真誤差。

1.3 誤差傳播率的計算問題

1）誤差傳播率的含義。在學(xué)習(xí)誤差傳播率時，首先要明確誤差傳播率的含義：反映觀測量的精度與其函數(shù)的精度之間的規(guī)律，稱為誤差傳播率，即誤差傳播率是解決依據(jù)觀測量的精度指標(biāo)計算觀測量函數(shù)的精度指標(biāo)的問題。精度指標(biāo)有方差、協(xié)因數(shù)，相應(yīng)的就是方差傳播率和協(xié)因數(shù)傳播率。要注意的是，沒有權(quán)的傳播率要計算權(quán)，先依據(jù)協(xié)因數(shù)傳播率計算協(xié)因數(shù)，再由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系求權(quán)值。

2）傳播率的公式記憶方法。方差傳播率的矩陣表達式為

初學(xué)者往往不易記住公式的具體形式，其實注意兩點即可：第一，函數(shù)的方差陣等于函數(shù)的系數(shù)陣、觀測量的方差陣和系數(shù)陣的轉(zhuǎn)置矩陣三個矩陣的乘積；第二，根據(jù)各矩陣的維數(shù)和矩陣可乘的條件判斷記憶公式的正確性。此外，還可以用下面的方法記憶傳播率公式。

對于觀測量xi的線性函數(shù)y，其純量表達式為

對式（5）進行微分（對非線性函數(shù)亦然），并用真誤差表示為

若用矩陣表示觀測量的函數(shù)，則

把式（7）表示為真誤差之間的關(guān)系式：ΔY＝KΔX，并轉(zhuǎn)置得兩式相乘得

協(xié)因數(shù)傳播率的形式和方差傳播率的形式是一樣的，只需把方差、協(xié)方差替換為協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)即可。

3）利用傳播率解決實際問題的計算步驟。

第一步：明確觀測量，表示出觀測向量X，寫出觀測向量的方差陣DXX；

第二步：建立待求量Y與觀測量X 的函數(shù)關(guān)系，見式（8）。若為非線性函數(shù)要線性化（全微分即可）；

第三步：利用式（4）進行計算，計算時注意單位的統(tǒng)一。

在“誤差傳播率的應(yīng)用”教學(xué)中，強調(diào)上述三個步驟，按此思路，則無論是一般的誤差傳播率計算問題還是實際應(yīng)用問題，都能做到思路清楚、順利解題。即便是在各種平差法中的精度評定問題亦是如此。

1.4 有關(guān)誤差理論的作業(yè)練習(xí)

在教學(xué)過程中對有關(guān)誤差理論的概念、計算方法、實際應(yīng)用等問題，通過重點分析講解、總結(jié)討論以助理解，這僅是學(xué)習(xí)的一個環(huán)節(jié)，還要通過適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)練習(xí)來強化鞏固學(xué)習(xí)效果。如果作業(yè)練習(xí)不夠，往往是看著明白，一旦遇到問題就沒了思路、無從下手。對作業(yè)習(xí)題要有一定的數(shù)量保證外，還要在練習(xí)題的設(shè)計上下功夫，首先是針對單一概念的簡單問題，然后是面向?qū)嶋H應(yīng)用的綜合性問題。

2 平差方法的問題

2.1 必要觀測個數(shù)的確定方法

確定平差問題中的必要觀測個數(shù)，是正確建立平差函數(shù)模型的第一步，也是關(guān)鍵的一步。對這個問題，初學(xué)者往往理解不透，特別是一些復(fù)雜的控制網(wǎng)。在教學(xué)中明確以下概念有助于此類問題的解決：

1）必要元素：或稱為必要量，是唯一確定模型所必須知道的元素，個數(shù)用tm表示。

2）必要觀測元素：或稱為必要觀測量、必要觀測值，是指必要元素中需要觀測才能確定的量，個數(shù)用t表示。

3）必要起算元素：或稱為必要起算數(shù)據(jù)、配置元素，是指在必要元素中不能通過本次（期）觀測作業(yè)獲得的量，個數(shù)用t0表示。

上述三者的關(guān)系是：t＝tm-t0，這個關(guān)系式也是確定必要觀測個數(shù)的基礎(chǔ)。如果平差問題中的起算數(shù)據(jù)除去必要的以外，還有tr個多余的起算數(shù)據(jù)，則必要觀測個數(shù)相應(yīng)的要減少tr個，即

只要明確各類控制網(wǎng)的tm，t0個數(shù)，據(jù)式（10）就很容易確定必要觀測個數(shù)。

水準(zhǔn)網(wǎng)：tm＝總點數(shù)，t0＝1（一個點的高程），tr＝（已知點數(shù)-1）＋已知高差個數(shù)；

平面測角網(wǎng)：tm＝總點數(shù)×2，t0＝4（一個點的平面坐標(biāo)、一條邊長、一條邊的方位角），tr＝2（已知點數(shù)-1）＋（已知邊個數(shù)-1）＋（已知方位角個數(shù)-1）＋固定角個數(shù)；

平面測邊網(wǎng)：與平面測角網(wǎng)相同，只是t0＝3；

平面測方向網(wǎng)：與平面測角網(wǎng)相同，只是tm＝總點數(shù)×2＋測站點個數(shù)；

觀測坐標(biāo)的平面網(wǎng)（平面圖形數(shù)字化）：tm＝總點數(shù)×2，t0＝0，tr＝固定角個數(shù)＋固定邊個數(shù)；

GPS網(wǎng)：tm＝總點數(shù)×3，t0＝3（一個點的三維坐標(biāo)），tr＝3（已知點數(shù)-1）。

2.2 條件方程的列立原理

在必要觀測的基礎(chǔ)上，每增加一個多余觀測就產(chǎn)生一個條件方程。條件方程產(chǎn)生的根本原因是：因為多余觀測值的存在，使得同一個量有兩個值為Z與Z′，這兩個值就起到了檢核作用，其平差值應(yīng)相等，或者其平差值的差值應(yīng)為0。這就是條件方程列立的基本原理，表示為

例如，三角形圖形條件：測量2個角度即可確定三角形，再增測一個角度，由于三角形內(nèi)角和已知為180°，測三個角亦可計算出三角形內(nèi)角和，則內(nèi)角和的測量值與已知值就產(chǎn)生一個檢核條件，即為圖形條件。

同理可列出平面網(wǎng)的水平條件（圓周條件）、極條件、坐標(biāo)條件、方位條件、邊長條件、正弦條件、余弦條件等等。

2.3 誤差方程的列立原理

把觀測方程式（12）線性化，即得誤差方程。

2.4 精度評定的內(nèi)容與方法

精度評定的內(nèi)容與計算方法，在各種平差法中的計算內(nèi)容一樣，計算方法略有不同。依據(jù)權(quán)的定義，可得

由式（14）可見：要計算某量的方差，只要計算出單位權(quán)方差和該量的協(xié)因數(shù)即可。計算單位權(quán)方差和待求量的協(xié)因數(shù)，即為精度評定的內(nèi)容。

2.4.1 單位權(quán)方差的計算

單位權(quán)方差的算式為

所有最小二乘平差法中，單位權(quán)方差的算式都是式（15），只是VTPV值的計算方法，如果不由V直接計算，間接計算VTPV值的方法有一些差異。

2.4.2 某量平差值的協(xié)因數(shù)計算

計算某量平差值的協(xié)因數(shù)的方法，亦遵從傳播率計算的三個步驟。第一步，為了計算方便，此時的觀測值不用原始觀測值L，而是觀測值L的函數(shù)：條件平差時用觀測值的平差值，其協(xié)因數(shù)為＝Q-QA；間接平差時用參數(shù)平差值，其協(xié)因數(shù)為＝；第二步，建立待評定精度的量與觀測值（非原觀測值L，而是或）之間的函數(shù)關(guān)系式，此處稱為權(quán)函數(shù)式。條件平差的權(quán)函數(shù)式為：；間接平差的權(quán)函數(shù)式為：＝；第三步，利用傳播率式（4）進行計算。最后，由式（14）計算的方差及中誤差。

2.5 有關(guān)平差方法的作業(yè)練習(xí)

由于測量平差實踐性強，實際應(yīng)用中計算量大。在教學(xué)過程中，為加強對平差方法的理解掌握，除做一些控制網(wǎng)必要觀測個數(shù)和多余觀測個數(shù)的確定、各類條件方程的建立方法、各類誤差方程的建立方法、各種平差方法的法方程組成與計算、平差值的計算方法、精度計算的方法等單項練習(xí)外，還要有測繪工程項目控制網(wǎng)平差的綜合性練習(xí)。由于綜合性平差練習(xí)計算量大，在集中練習(xí)時手工計算會花費很多時間，往往讓學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)有平差軟件并用平差軟件完成較大型平差問題的解算。這樣很不利于學(xué)生對平差過程的理解與掌握，起不到強化學(xué)習(xí)的過程，反而認(rèn)為平差課程無用。在做這類大型習(xí)題練習(xí)時，若沿襲手工計算方法是不合時宜的，而僅僅練習(xí)一下平差軟件的用法也是不可取的。由于在平差課程學(xué)習(xí)以前，學(xué)生至少已經(jīng)熟悉office excel的一般內(nèi)容（甚至有些還同時學(xué)習(xí)matlab課程），利用excel的函數(shù)計算功能，讓學(xué)生在excel表格上分步完成控制網(wǎng)平差。這樣，在表格上完整展現(xiàn)整個平差過程、各計算步驟之間的數(shù)據(jù)關(guān)系與流程，有手工計算表格清楚反映計算過程的優(yōu)勢，而沒有手工計算繁雜量大的缺點。既強化對平差理論與方法的理解，又初步建立軟件設(shè)計的概念。最后介紹、使用現(xiàn)有平差軟件，更能讓學(xué)生認(rèn)識實現(xiàn)測量平差自動化、智能化的優(yōu)勢與途徑。

3 結(jié)束語

誤差理論與測量平差基礎(chǔ)課程具有理論性強、教材中概念抽象、公式和名詞術(shù)語較多、內(nèi)容顯得散亂，而邏輯性較強的特點，使得初學(xué)者入門困難。在教學(xué)過程中，必須在教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面的改革上下功夫，投入較大精力進行探索研究。還要基于課程特點，依據(jù)內(nèi)容的邏輯關(guān)系，首先了解課程的主要內(nèi)容框架，再依各內(nèi)容模塊進行教學(xué)，注重理解基本概念的意義和適用條件、相關(guān)內(nèi)容的系統(tǒng)性，并加強作業(yè)習(xí)題練習(xí)，以提高本課程的教學(xué)質(zhì)量與效果。

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