地月系L2平動點衛星月掩規避問題分析

梁偉光 周文艷 周建亮

（1 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）（2 北京航天飛行控制中心，北京 100094）

1 引言

月球公轉與自轉周期相同的特點使得月球的一面始終背對地球，故在地球上無法直接進行觀測。地月系L2平動點位于地月連線延長線上——即月球背面“正上空”，且與地球、月球的位置相對固定，衛星在地月系L2點附近可以環繞L2點連續飛行，因而地月系L2點成為空間定點觀測月球背面的最佳位置。此外，地月系L2 點在中繼通信、星際轉移、空間環境觀測、星座布局等深空探測活動中也具有重要的應用價值與戰略地位。

地月系L2點繞飛軌道作為“三體問題”中的代表性內容，自“三體問題”提出之日起便受到研究者們的廣泛關注［1］，具體至工程應用方面的研究，則始于阿波羅探月項目末期——美國在20世紀70年代曾計劃發射繞飛地月系L2 點的中繼衛星，以支持月球背面探測活動［2-4］，后來因為阿波羅項目的終止而未付諸實施。此后至今，世界范圍內關于地月系L2點的航天任務僅實施了一次，即美國的阿特米斯（ARTEMIS）任務，其中的兩顆衛星在2010年實現了科學探測衛星環繞地月系L2 點的飛行試驗［5］，這一方面驗證了地月系L2 點繞飛軌道的可行性，另一方面也表明了在地月系L2點飛行方面的工程積累尚十分有限。盡管如此，近半個世紀以來，Howell［6］、Gómez［7］、劉林［8］等研究者均針對地月系L2點繞飛軌道工程實現的具體問題進行過針對性研究，為工程實踐提供了大量依據。

衛星在環繞地月系L2 點軌道飛行時，會面臨與地球的通信被月球遮擋的月掩問題。阿波羅中繼衛星方案設計的相關報告［2-3］中曾有所提及，但其僅針對理想的Halo軌道情況，采取了“永久規避”的設計方案。由于Halo軌道約束嚴格，加之實際飛行中受共線平動點不穩定、空間攝動、工程實現誤差等因素的影響，Halo軌道現實很難實現，而更易形成約束相對較低的準周期軌道——Lissajous軌道。對于沿地月系L2點Lissajous軌道飛行時的月掩影響，尚未有專門的定量研究，但是在實際工程中，最長可達多半天的月掩會對關鍵弧段的通信產生嚴重影響，這是在軌道設計和工程分析中需要考慮的重要因素。盡管地月系L2 點的月掩研究有限，但是日地系L2點的相關研究值得參考：歐洲航天局針對蓋亞（Gaia）號探測器繞飛日地系L2點的地影分析［9］在原理、影響、約束等方面均與地月系L2點處的月掩影響相似，可以在分析地月系L2 點月掩時加以借鑒。

本文系統研究了地月系L2點衛星規避月掩的問題，對Lissajous軌道影響規避月掩持續時間的初始位置方向和軌道振幅進行了遍歷分析，進而設計了月掩規避軌道，并定量分析了規避月掩持續進行星地通信的效果，以期為地月系L2點衛星軌道設計和基于平動點軌道技術進行探測任務的設計提供參考。

2 月掩影響

2．1 月掩現象

掩星是指一個天體在另一個天體和觀測者之間通過而產生的遮蔽現象［10］。由月球遮蔽引起掩星現象稱為月掩。在地月系L2點附近即存在月掩現象，見圖1。

圖1 地月系L2點月掩示意圖Fig．1 Lunar occultation at L2libration point in earth-moon system

如在地月系L2 點附近布設月球中繼衛星，則會遇到月掩問題。月球中繼通信如圖2所示。由于月球自轉周期和繞地球公轉周期相同，位于月球背面的探測器因受月球遮擋而無法直接與地球通信，圖2中的中繼衛星可以實現此類中繼通信。

圖2 月球中繼通信示意圖Fig．2 Lunar relay communication

由圖1和圖2可以看出：當中繼衛星進入月掩本影區域時，地球全部被月球遮擋，中繼衛星無法與地球任意位置的測控站進行星地通信；當中繼衛星進入月掩半影區域時，地球僅被月球遮擋了局部，部分測控站仍可以與中繼衛星進行星地通信。工程中，月掩半影區仍有中繼通信利用價值，但測站位置和測控弧段的選取上受較多限制。

2．2 地月系L2點Lissajous軌道

本文是在“L2 點旋轉坐標系”下開展研究的。地月系“L2 點旋轉坐標系”定義為：原點是地月系L2點，x軸方向為地月連線方向，y軸方向為月球白道沿跡方向，z軸方向為白道面法向。

衛星繞飛地月系L2 點的軌道可以通過“三體問題”共線平動點一階近似解表示［11］：

式中：t為時間，λ為平面振動頻率，υ為垂直振動頻率，k為縱向與橫向振幅的比例系數，Ay和Az分別為平面和垂直振幅，φ和ψ分別為平面和垂直振動的初始相位。當λ≠υ時，式（1）所表示的軌道呈Lissajous曲線形式，因此又稱為Lissajous軌道。

衛星環繞地月系L2點Lissajous軌道飛行時會面臨月掩期間無法進行星地通信的問題，通過設計合適的軌道，可以對月掩進行較好的規避。圖3為本文設計的一條規避月掩Lissajous軌道，圖中的圓柱面為月掩帶輪廓，綠色圓形表示初始位置，紅色方形表示衛星首次飛入月掩帶的位置。下文還會對此軌道進行詳細介紹與分析。

圖3 Lissajous軌道三維曲線Fig．3 Lissajous orbit 3Dcurve

式（1）所述軌道因形式簡單，表意明晰，且與真實軌道相近，適用以此為基礎對衛星繞飛地月系L2點時的月掩影響進行分析。對于具體的工程精細計算，還可采用形式復雜卻更加精確的高階近似解析求解［12］和數值求解［13］方法。

3 月掩規避軌道設計分析

通過設計Lissajous軌道實現月掩規避時，需要結合月掩對工程的具體影響，以及月掩、Lissajous軌道的特性表現，對月掩規避軌道進行具體的分析與計算，從而為規避軌道的實現提供定量依據。

3．1 月掩規避軌道設計約束

在分析與設計月掩規避軌道時，需要考慮以下因素：

（1）在月掩帶以外的區域建立星地通信鏈路，并盡可能長時間地位于月掩帶之外連續飛行；

（2）地球-衛星-月球（Earth-Probe-Moon，EPM）的夾角也可作為一個參考指標，以反映衛星的星地和星月通信范圍與天線指向。

3．2 月掩帶范圍

月掩帶位于地月系L2點垂直地月連線切面外輪廓為圓形，半徑為3 107．9km。考慮到月球軌道偏心率影響，月掩帶半徑會有±11km 的變化。考慮到深空站跟蹤初始仰角限制，會因測控弧段縮短使得通信范圍的月掩本影半徑增加，月掩半影外半徑減小，月掩帶范圍不會擴大。

基于上述考慮，并參考阿波羅項目中繼衛星設計論證方案［3，10］將月掩半影外輪廓作為月掩范圍邊界的方法，本文保守地選取月掩遮擋半徑Rs＝3500km。

3．3 軌道參數遍歷

對于式（1）的Lissajous軌道，初始位置方向和軌道振幅均為工程可調因素，通過合理設置，可以實現對月掩的有效規避。因此，對初始位置方向和軌道振幅進行了遍歷，從而優化分析月掩規避效果和程度。

3．3．1 初始位置與方向的遍歷

為了最長時間規避月掩，初始位置（圖3中綠色圓形）選在月掩帶邊緣，對y-z切面的初始角度進行360°遍歷，并對每個初始角度又進行了4個初始方向遍歷，從而實現初始位置與方向的全覆蓋。對于所遍歷的每種情況，均計算Ay＝Az＝2×104km的月掩規避持續時間，結果如圖4所示。

圖4 遍歷初始位置與方向的規避月掩持續時長Fig．4 Initial position and direction ergodic lunar occultation avoidance durations

由圖4可知：

（1）4個方向的曲線呈現對稱性和相位差，這與式（1）的三角函數形式相一致，因此任選一個初始方向進行分析均具有代表性。

（2）規避天數呈階躍形式，這是因為階躍處對應的初始位置使得軌道與月掩帶邊緣相切，相切情況對應初始角有變化時，則會因進入月掩帶或繞過月掩帶而產生規避時長的階躍性變化。

（3）大幅度階躍（圖4中階躍差值為150d以上）具有重要的工程意義，其對應軌道實現多圈規避月掩的臨界初始位置；相比而言，小幅度階躍（圖4中階躍差值為10d以下）的工程意義較小，其階躍僅由于差出半個繞飛周期，考慮到工程設計中采用多處近似（平動點軌道、月掩范圍、飛行周期等），這些小幅度階躍在工程中也可進行相鄰范圍近似相等的處理。

3．3．2 軌道振幅的遍歷

選取遍歷初始位置的最長規避持續時間，作為衡量其所對應軌道的指標，進而對不同軌道的振幅Ay和Az進行遍歷。考慮到月掩帶范圍和一階近似解析解的有效范圍，將振幅遍歷范圍選為3×103km～3×104km。遍歷后的規避持續時長分布如圖5和圖6所示。由圖5和圖6可知：①規避持續時長與振幅呈正相關；②規避持續時長呈階躍形式，這是由于時長以繞飛周期倍數為單位變化；③每層“平臺”中規避時長仍有小范圍的變化（最多相差幾天），這是由于不同振幅下出入月掩的相位不同，導致時長具有微小差別，這種差別在工程設計中可以處理為近似相等；④Ay＝Az＝2×104km 附近有較大范圍的（±5000km×5000km）的持續時長“平臺”，平均值為175．2d，更高“平臺”為182．7d，僅增加7．5d（約半個繞飛周期）。因此，Ay＝Az＝2×104km 的月掩規避軌道適合作為可選設計軌道，且在此振幅附近設計月掩規避軌道有較大的近似冗余。

圖5 遍歷振幅的規避月掩持續時長曲面圖Fig．5 Amplitude ergodic lunar occultation avoidance duration curve

圖6 遍歷振幅的規避月掩持續時長等高線Fig．6 Amplitude ergodic lunar occultation avoidance duration contour

4 月掩規避軌道仿真驗證

基于上述分析，選取月掩規避軌道振幅為：Ay＝Az＝2×104km。經過不同初始相位的計算結果比較［9］，最長規避時長對應的軌道初始相位條件為：φ＝ψ＝103．47°，各向周期：Txy為14．65d，Tz為15．23d［11］。

衛星沿月掩規避軌道飛行情況見圖3及圖7～圖10。其中，圖7～圖10 是圖3 在3 個方向的投影，圖7中的灰色圓形為月掩帶投影。

圖7 Lissajous軌道y-z 面投影Fig．7 Lissajous orbit projection on y-z plane

圖8 Lissajous軌道x-y 面投影Fig．8 Lissajous orbit projection on x-y plane

圖9 Lissajous軌道z-x 面投影Fig．9 Lissajous orbit projection on z-x plane

圖10 規避月掩期間的EPM 夾角Fig．10 EPM angle during lunar occultation avoidance

分別從月掩規避時長和月掩外通信指向兩方面分析所設計的月掩規避軌道。

（1）月掩規避時長方面：①衛星進入月掩帶之前的持續時長為175．01d，進入月掩的最長時長為14．5h，進入月掩時長占總飛行時長的0．4%；②衛星頻繁進入月掩期間的總時長為22．8d，此間進入月掩時長所占比例也僅為7．9%，兩次進入月掩的時間間隔為7．0d。進入月掩時長相對較短，在時間方面實現了對月掩的有效規避。

（2）月掩外通信方向方面：EPM 夾角變化周期為7．5d，最大振幅小于10°，指標均優于地球中繼衛星，即繞飛衛星作為探測衛星或通信中繼衛星時，均能在月掩外滿足工程基本通信需求。

綜上所述，沿所設計軌道繞飛地月系L2 點的衛星可以近半年不受月掩影響的持續星地通信。如在具體任務規劃中，安排關鍵通信弧段時避開短時間的月掩，即可有效降低月掩的不利影響。

5 結束語

本文針對地月系L2點衛星面臨月掩影響星地通信問題，研究了通過設計軌道規避月掩的方法，在定量計算月掩對星地通信影響范圍與程度的基礎上，選取合適的規避軌道參數范圍設計Lissajous軌道，進而對月掩規避效果進行了有效驗證。研究結果對地月系L2點衛星軌道設計和基于平動點軌道技術進行探測任務的設計具有參考意義。

本文雖面向地月系L2 點，但所用方法也適用于其它“三體問題”共線平動點，如可以對日地L2點地影、日地L1點或L3點日凌、行星衛星觀測等與“三體問題”相關的掩星現象進行類似分析。

本文采用形式簡單的一階近似解進行了初步分析，研究結果可以為利用平動點軌道的高階近似解析解和數值精確解，進行平動點衛星掩星分析和工程軌道設計提供參考。

（References）

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