基于Bézier曲線的兩平行線間緩和曲線構造

蔡華輝， 柳炳祥， 程 燕

（1. 景德鎮陶瓷學院信息工程學院，江西 景德鎮 333403；2. 景德鎮陶瓷學院設計藝術學院，江西 景德鎮 333403）

基于Bézier曲線的兩平行線間緩和曲線構造

蔡華輝1， 柳炳祥1， 程 燕2

（1. 景德鎮陶瓷學院信息工程學院，江西 景德鎮 333403；2. 景德鎮陶瓷學院設計藝術學院，江西 景德鎮 333403）

利用五次Bézier曲線，構造了一條含形狀參數的兩平行線間滿足G2連續的緩和曲線。這條曲線在 t=1/2含有唯一的曲率極值點。利用形狀參數可以方便地控制曲率極值的大小和調節曲線的形狀。

緩和曲線；5次Bézier曲線；平行線；曲率單調

構造兩直線、直線和圓弧、兩圓弧之間光滑拼接的緩和（過渡）曲線在道路設計，車型機器人的軌道模擬和曲線的光順設計等工程應用中都是一個基本問題。通常要求緩和曲線在與直線或圓弧相接觸點處滿足 G2連續，且在曲線內部曲率極值點盡可能少，一般要求兩直線間的緩和曲線內部只含有一個曲率極值點，直線和圓弧利用一條曲率單調曲線緩和，兩圓弧間緩和曲線最多含一個曲率極值點。由于螺線弧是曲率恒正或恒負，且曲率單調變化的曲線[1]，因此常用于緩和曲線的設計。回旋曲線因其曲率和弧長成正比的特性，在道路設計中用于緩和曲線的設計[2]。近年來，利用the generalized Cornu spiral[3]、log-aesthetic curves[4]、Fermat's spiral[5]等設計緩和曲線。

由于許多常用的螺線是利用超越函數定義，不能被有限項多項式或有理多項式表出。因此，許多學者提出利用多項式曲線來設計緩和曲線。在計算機輔助幾何設計(computer aided geometric design, CAGD)領域內，利用參數多項式曲線設計緩和曲線的研究最早可以追溯到Walton和Meek[6-7]的工作，在文獻[6-7]中分別提出了起點曲率為 0的三次Bézier螺線弧和五次PH螺線弧，然后分別利用這兩條螺線弧替代回旋曲線作為道路設計中的緩和曲線，取得了良好效果。在文獻[6-7]中，兩直線間或兩圓弧間的緩和曲線都由兩條螺線弧拼接而成。Walton和Meek[8-9]對文獻[6-7]的結果進行了推廣，增加了曲線的自由度。Ahmad等[10-11]提出了一條四次Bézier螺線弧，并應用與兩非平行線間的緩和曲線設計。Habib和Sakai[12-13]討論了如何利用一條三次Bézier曲線和五次PH曲線設計兩圓間的緩和曲線。但一直以來，如何利用Bézier曲線設計兩平行線間緩和曲線的方法一直沒有給出。

1 基于三次Bézier螺線的平行線間緩和曲線

構造兩平行線間緩和曲線最直接的方法是利用已知直線和圓弧間緩和曲線的構造方法和圖形對稱性來構造。Walton和 Meek[6]給出了一條起點曲率為0的三次Bézier螺線弧。

引理. 給定一條以P0, P1, P2, P3為控制頂點的三次Bézier曲線P(t)，設其首末端點的單位切向量分別為T0, T1，終點處的曲率為κα, T0到T1的有向轉角為θ，且0 ＜θ ＜π/2, 控制頂點P1, P2, P3滿足：

則這條Bézier曲線滿足：

顯然，只要給定起點P0的2個坐標、起點單位切向量T0、T0到終點單位切向量T1轉角θ以及終點處曲率κα，就可以確定這條三次Bézier螺線弧。利用文獻中構造直線和圓弧間緩和曲線的結論，容易推得基于三次Bézier螺線的兩平行線間緩和曲線的構造方法。

定理1. 如圖1所示，直線L1和L2是間距為d的兩條平行線，N為直線單位法向量且方向由 L1指向L2，T是直線的單位方向向量且T與N構成右手系，設P0和Q0分別是直線L1和L2上互為投影的兩點，則在平行線L1和L2之間通過P0和Q0的緩和曲線可由以P0, P1, P2, P3為控制頂點的三次Bézier螺線P(t)，以Q0, Q1, Q2, Q3為控制頂點的三次Bézier螺線Q(t)和以r半徑的圓弧拼接而成，其中半徑曲線P(t)的控制頂點滿足：

其中，θ滿足：

圓弧的圓心C滿足：

曲線Q(t)的控制頂點滿足：

可以看到，此時的緩和曲線是由三條曲線拼接而成，結果比較麻煩。因此，需要尋求利用一條曲線構造緩和曲線的方法。

圖1 基于三次Bézier螺線的兩平行線間緩和曲線

2 基于五次Bézier曲線的平行線間緩和曲線

要利用一條Bézier曲線設計兩平行線間的緩和曲線，由Bézier曲線性質知道，Bézier曲線必須滿足起始3個控制頂點共線和最后3個控制頂點也共線，因此，Bézier曲線的最低次數是五次。下面構造出一條五次Bézier曲線：

使P（t ）在0＜t＜1內只含有一個曲率極值點，因此可作為兩平行線間的緩和曲線。

如圖2所示，設直線L1和L2是間距為d的兩條平行線，取L1與y軸平行，P0與原點重合，取P5(d,0), P1, P2, P3, P4滿足：

則式(1)為：

對上式求一階和二階導數：

則利用上面兩式，曲線曲率為：

再對 κ（t ）求導為：

式中：

由式(3)可知，t=1/2時，曲率κ（t ）取極值為：

為了證明P（t）在0＜t＜1內只含有一個曲率極值點，還需要證明f（t）在0＜t＜1內正負恒不變。

圖2 五次Bézier緩和曲線

定理 2. 當參數k滿足k2≥2767時，式(4) f（t）在0＜t＜1內恒大于零。

則式(4)f（t）轉換為：

式中：

系數ia分別是：

由上式，若：

滿足， h(s)在區間(0,+∞) 恒大于零，即定理 2得證，又因為：

因此定理2成立。 證畢。

當k2＜2767時候，κ′(t)在(0,1)內極值點個數情況如下：

(1) 當 k2≤36155時，h(s)系數的正負號依次為：

即 h(s)系數的正負號變號數為 2，由 the Descartes rule of signs[14]和h（s）=0的正根個數為2或0可得，在h(0)＜0,h(+∞)→+∞時，h（s）=0有兩個正根，即κ′（t ）在（0,1）內有3個極值點。

盡管上面構造的五次Bézier曲線要求P0取原點，直線方向為y軸方向，但由Bézier曲線的幾何不變性，即曲線形狀在坐標系平移和旋轉后不變。

定理3. 設直線L1和L2是間距為d的兩條平行線，N為直線單位法向量且方向由L1指向L2，T是直線的單位方向向量且N與T構成右手系，設P0為L1上任意一點，給定任意滿足k2≥2767的形狀參數k，令：

則以P0, P1, P2, P3, P4, P5為控制頂點的Bézier曲線P（t）滿足：

曲線P（t ）的曲率κ（t ）滿足：

且κ（t ）在t=1/2取0＜t＜1內唯一極值點：

在緩和曲線設計中，曲線曲率極值由定理 3可以求得，且形狀參數可以控制曲線的極值，因此，根據實際設計問題，可以選取合適的參數k值。

3 結 束 語

本文利用 Bézier曲線討論了兩條平行線間緩和曲線的構造方法。首先利用三次 Bézier螺線弧設計了緩和曲線，由于此時緩和曲線是利用三段曲線拼接而成，線型較復雜。然后利用五次Bézier曲線設計構造了兩平行線間緩和曲線。此時緩和曲線只有一條含形狀參數的 Bézier曲線，同時能利用形狀參數調節曲率極值和曲線形狀。但是在道路設計中，五次 Bézier曲線的最后一個控制頂點P5由于障礙等原因不一定能滿足式(5)，在實際應用中只需要P5在直線L2上即可，此時如何構造緩和曲線是今后值得探討的問題。

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[14] Polya G, Szego G. Problems and theorems in analysis II: theory of functions, zeros, polynomials, determinants, number theory, geometry [M]. New York, Springer, 2004: 36-51.

Transition Curve between Parallel Lines Based on Bézier Curve

Cai Huahui1, Liu Bingxiang1, Cheng Yan2

(1. School of Information Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen Jiangxi 333403, China; 2. School of Art & Design, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen Jiangxi 333403, China)

By using quintic Bézier curve, the transition curve which is G2continuous with a shape parameter is constructed between two parallel lines. This curve at t=1/2 contains a unique curvature extreme. It can be easily controlled curvature extremes and adjust the shape of the curve by using the shape parameter.

transition curve; quintic Bézier curve; parallel lines; monotone curvature

TP 391

A

2095-302X(2015)03-0363-04

2014-10-08；定稿日期：2014-10-24

國家自然科學基金資助項目(61262038, 61164014)；江西省自然基金資助項目(2012BAB201044)；景德鎮市科技局資助項目

蔡華輝(1975-)，男，浙江東陽人，副教授，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設計與計算機圖形學。E-mail：huahuicai@gmail.com