基于混沌理論的電力系統(tǒng)諧波檢測

李兆旸，劉崇新，燕并男

（西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，陜西 西安 710049）

電網(wǎng)中的諧波問題對電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定、經(jīng)濟運行構(gòu)成了極大的潛在威脅，為了能把注入公網(wǎng)的諧波電流以及諧波電壓控制到安全范圍內(nèi)，首要解決的問題就是諧波檢測。諧波檢測的傳統(tǒng)方法主要有模擬濾波器測量諧波法，基于瞬時無功功率理論的諧波檢測法，基于傅里葉變換的諧波檢測法以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的諧波檢測法等[1]。但是上述傳統(tǒng)方法中，由于信號中常常包含噪聲，其直接增大了仿真結(jié)果的誤差，影響了精確性。為此，通過混沌系統(tǒng)來檢測電力系統(tǒng)諧波信號，利用其對小信號極強的敏感性以及對噪聲的強免疫能力來解決傳統(tǒng)檢測方法中對噪聲抑制不徹底的不足之處，作為對現(xiàn)有諧波信號檢測方法中的一個補充是很有必要的。

混沌檢測不同于現(xiàn)有傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)諧波檢測方法，它利用了混沌系統(tǒng)對于初值的極度敏感性，即我們可以考慮將h次諧波視為微擾信號，通過檢測系統(tǒng)狀態(tài)就可以根據(jù)其是否發(fā)生極大的變化來判定該諧波信號是否存在，若系統(tǒng)狀態(tài)變化時，還可以通過觀察系統(tǒng)狀態(tài)變化的特征，并對信號做出適當(dāng)?shù)奶幚硪约斑\算，求出被測信號的各種參數(shù)[2-4]。

目前，Duffing振子[5]因其間歇混沌現(xiàn)象的特性常被用來作為檢測諧波信號的模型。具體來說，在Duffing方程右側(cè)加入與內(nèi)置信號頻率差較小的待測信號時，內(nèi)置信號幅值會出現(xiàn)相應(yīng)變化，系統(tǒng)由于幅值的逐漸增大，會出現(xiàn)相應(yīng)的間歇性混沌現(xiàn)象。即時而周期，時而混沌的運動狀態(tài)。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)幅值的變化到達(dá)某一臨界值時（即系統(tǒng)出現(xiàn)臨界混沌狀態(tài)時），系統(tǒng)將在大尺度周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)兩者之間振蕩，即會出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象，當(dāng)幅值繼續(xù)增大時，系統(tǒng)將由間歇性混沌發(fā)展為混沌。

本文對Duffing振子方程進(jìn)行了改進(jìn)，分析了其產(chǎn)生的間歇混沌現(xiàn)象。通過仿真實驗證明：它對噪聲和與內(nèi)置信號頻差較大的周期干擾信號具有較強的免疫力，并根據(jù)產(chǎn)生這種現(xiàn)象的機理，提出了一種新的有效檢測電力系統(tǒng)諧波信號的方法。

1 利用混沌性質(zhì)檢測信號的原理

Duffing方程在非線性動力學(xué)系統(tǒng)具有重要的地位，根據(jù)其方程形式確定的混沌系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)特性。其具體形式如下：

式中，x（t）為狀態(tài)變量；k為阻尼比；f為周期策動力幅值；－x（t）+x3（t）為非線性恢復(fù)力。

以往對Duffing方程檢測的研究中[6-11]，使用的均是式（1）的方程形式。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，若將方程中的非線性恢復(fù)力項x冪項的系數(shù)增加，將顯著提升系統(tǒng)檢測信號的靈敏度以及工作穩(wěn)定性。改正后的方程形式如下：

改寫為動力學(xué)方程：

對Duffing振子進(jìn)行仿真分析，觀察其動力學(xué)行為。

若振子方程中的阻尼比k固定，則系統(tǒng)狀態(tài)隨著f 的變化如下：

f=0時，系統(tǒng)相軌跡圖中鞍點為（0，0），兩個焦點分別為（1，0）和（－1，0），而點（x，x.）最終停在兩焦點之一，如圖1所示。

當(dāng)f≠0時，系統(tǒng)隨f 取值的不同而呈現(xiàn)出不同的動力學(xué)形態(tài)。當(dāng)f 較小時，相軌跡表現(xiàn)為小周期運動狀態(tài)，相點只圍繞一個焦點做周期振蕩。f 逐漸增大的同時，系統(tǒng)會依次呈現(xiàn)出同宿軌道狀態(tài)（如圖2所示）和分叉狀態(tài)（如圖3所示），直到達(dá)到混沌狀態(tài)（如圖4所示），上述過程中f 的變化非常迅速。而在系統(tǒng)達(dá)到混沌狀態(tài)以后，調(diào)節(jié)策動力幅值時發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在較大的一個區(qū)間內(nèi)都將呈現(xiàn)出混沌狀態(tài)。繼續(xù)增大f，當(dāng)其達(dá)到某個分叉閾值fd時，系統(tǒng)將會處于由混沌運動轉(zhuǎn)為周期運動的臨界狀態(tài)（又稱臨界混沌狀態(tài)），如圖5所示。這時只需極小地增加f，使其值僅僅大于分叉閾值fd時，系統(tǒng)就進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)，如圖6所示，此時相軌跡將焦點、鞍點統(tǒng)統(tǒng)圍住。

圖1 f=0，[x（0），x′（0）]=[1，1]Fig. 1 f=0，[x（0），x′（0）]=[1，1]

圖2 f=0.2，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s同宿軌道狀態(tài)Fig. 2 f=0.2，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s homoclinic orbit state

取阻尼比k=0.5，將策動力幅值從0逐漸增大，采用變步長ode45數(shù)值算法，即龍格庫塔方法進(jìn)行仿真。各個狀態(tài)的時域波形圖以及相軌跡圖如圖1—6所示。

仿真結(jié)果表明了Duffing振子的動力學(xué)行為，并且從圖5到圖6的變化中可以看出，策動力幅值極其微小的變化（10－8）就能引起系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生質(zhì)的變化。由以上分析可以得知，我們可以利用相軌跡由周期振蕩到混沌運動或者由混沌運動到周期振蕩的顯著變化來檢測信號，可以發(fā)現(xiàn)，這種變化對策動力信號幅值極具敏感性且對噪聲具有較強的免疫力等特點可以作為我們檢測諧波的基礎(chǔ)。據(jù)此，首先調(diào)節(jié)策動力幅值f，使Duffing振子系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)過渡中的臨界混沌狀態(tài)，將諧波信號也就是待測信號作為Duffing振子周期策動力的擾動，將其相加從而作為驅(qū)動力。由于該系統(tǒng)對策動力的擾動極其敏感，通過觀察系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變與否，可以檢測出諧波信號是否存在，從而測定出該信號的參數(shù)。

圖3 f=0.4，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s分叉狀態(tài)Fig. 3 f=0.4，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s bifurcation state

圖4 f=0.6，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s混沌狀態(tài)Fig. 4 f=0.6，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s chaotic state

2 測定信號參數(shù)

令t=ωτ，f=F0，式（1）可以改為：

圖5 f=0.736 882 42，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s臨界混沌狀態(tài)Fig. 5 f=0.736 882 42，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s the critical state of chaos

圖6 f=0.736 882 43，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s大尺度周期狀態(tài)Fig. 6 f=0.736 882 43，[x（0），x′（0）]=[0，0]，w=1 rad/s large-scale periodic state

在式（4）中右側(cè)加入頻率在ω附近的待測信號f′（t）=Acos[ω（1+Δω）t+φ]，（Δω為待測信號與原有周期信號之間的相對頻差），得到：

等號兩邊同時乘以ω2并對右側(cè)簡化，得到：

上式中

式中，F(xiàn)（τ）為驅(qū)動力的幅值；θ（τ）為驅(qū)動力的初相角。由于A塏F0，所以θ（τ）的影響可以忽略。

觀察式（6）與式（2）發(fā)現(xiàn)，二者差除了系數(shù)ω之外，前者比后者還多出了一個相位角參數(shù)。

據(jù)此，可得以下結(jié)論：

1）當(dāng)Δω=0時，它表示此時待測信號頻率與周期策動力信號頻率相同。

2）當(dāng)Δω≠0時，策動力信號頻率與振動信號頻率之間會有一個微小的頻差。此時總策動力F（τ）的幅值會在F（τ）∈（F0－A，F(xiàn)0+A）區(qū)間內(nèi)周期性地交替變化，由于參考信號矢徑與外加信號矢徑方向趨于一致或方向相反時直接影響總驅(qū)動力F（τ）的幅值，即系統(tǒng)受F（τ）值的影響，時而大于fd而進(jìn)入周期狀態(tài)，時而小于fd而進(jìn)入混沌狀態(tài)，從而出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象。在微小的角頻差情況下，系統(tǒng)將以T=2π/Δω為周期，進(jìn)行間歇性混沌運動。因此可以通過測量T，間接得到外界待測信號的頻率值。

取F0=0.72，A=0.04，ω=1.00，Δω=0.05，觀察系統(tǒng)變化情況。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)處于時而混沌運動，時而大尺度周期運動狀態(tài)，即出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象，如圖7所示。

圖7 Δω=0.05的間歇性混沌現(xiàn)象Fig. 7 Intermittent chaos in Δω=0.05

由圖7、圖8對比觀察，當(dāng)待測信號與原有周期信號的相對頻率差值Δω過大時，間歇性混沌現(xiàn)象逐漸變得不明顯或者消失，因為系統(tǒng)完成狀態(tài)變化通常需要1個周期以上的時間，當(dāng)Δω過大時，由式（7）決定的F（τ）變化過快，激勵不足以持續(xù)足夠長的時間，使得系統(tǒng)無法在狀態(tài)轉(zhuǎn)變時響應(yīng)驅(qū)動力值F（τ）快速的變化，導(dǎo)致間歇性混沌現(xiàn)象不再規(guī)律性地出現(xiàn)。另外，當(dāng)Δω過小時，F(xiàn)（τ）在相當(dāng)長的一段時間內(nèi)變化很小，導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)變化所需要的時間很長，即在一段長時間內(nèi)維持周期狀態(tài)或混沌狀態(tài)。通過仿真實驗，我們一般取Δω∈（0.02，0.06）才能產(chǎn)生明顯的間歇性混沌現(xiàn)象。

圖8 Δω=0.1的間歇性混沌現(xiàn)象Fig. 8 Intermittent chaos in Δω=0.1

2.1 測定信號的頻率

考慮到算法效率的問題，這里用統(tǒng)計系統(tǒng)變量過零時間點的間距方法來判斷系統(tǒng)運動的狀態(tài)。因為系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時，過零時間點必然呈等差數(shù)列排列即間距相等，而處于混沌狀態(tài)時，則不具有這樣的特征。

圖8的仿真和結(jié)論已經(jīng)說明：當(dāng)待測信號與周期策動力間的相對頻率差過大時，間歇性混沌現(xiàn)象消失。基于這一結(jié)論，要想測定某一已知頻率附近的擾動信號頻率，可以把周期信號設(shè)為該已知頻率，再來搜索確定該頻率附近是否存在小的擾動信號，即監(jiān)測間歇性混沌現(xiàn)象是否發(fā)生。需要注意的是搜索區(qū)間大小一定要適中，過大或者過小都會導(dǎo)致無法監(jiān)測到明顯的間歇性混沌現(xiàn)象。

例如要檢測頻率ω′∈（ω1，ω2）的待測信號，先選取合適的公比q=1+Δω，從ω1開始取ω′，ω′q，ω′q2等作為周期策動力的頻率，若發(fā)生間歇性混沌現(xiàn)象，就用上述方法算出ω′，若沒有發(fā)生間歇性混沌現(xiàn)象，則說明待測信號的頻率不屬于該預(yù)估區(qū)間內(nèi)。

2.2 測定信號的相位

設(shè)當(dāng)cos（ωΔωt+準(zhǔn)）=a（a∈0，1）時，F(xiàn)（τ）=Fd（Fd為系統(tǒng)狀態(tài)變化的臨界值），則當(dāng)cos（ωΔωt+準(zhǔn)）>a時，系統(tǒng)會處于大尺度周期狀態(tài)，對應(yīng)于圖9中的T1時間段；而當(dāng)cos（ωΔωt+準(zhǔn)）

圖9 系統(tǒng)分別處于大尺度周期和混沌狀態(tài)的時間段Fig. 9 System in Large-scale periodic state and chaoticstate period

設(shè)式（5）中的周期策動力為F0cos（ωt+準(zhǔn)1），待測信號Acos（ω（1+Δω）t+準(zhǔn)2），二者相位差Δ準(zhǔn)=準(zhǔn)2－準(zhǔn)1，F(xiàn)（τ）和θ（τ）均有變化：

不妨設(shè)相位差Δ準(zhǔn)=0，當(dāng)t=0時，cos（ωΔωt+Δ準(zhǔn)）=1，F(xiàn)（τ）=F0+A>Fd，系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài)，隨著時間的變化，ωΔωt+Δ準(zhǔn)=T1時，cos（ωΔωt+Δ準(zhǔn)）減小到a，F(xiàn)（τ）從F0+A減小到Fc，系統(tǒng)處于從大尺度周期狀態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài)的臨界狀態(tài)。同樣的，如果cos（ωΔωt+準(zhǔn)）從a增加到1，相應(yīng)的F（τ）從Fc增加到F0+A，不難發(fā)現(xiàn)，該過程同樣需要時間T1。

圖10 Δφ不同時的間歇性混沌現(xiàn)象Fig. 10 Intermittent chaos in different phase Δφ

待測信號相位準(zhǔn)2=準(zhǔn)1+Δ準(zhǔn)。

2.3 測定信號幅值

觀察圖9可得：

上兩式中，T1為大尺度周期狀態(tài)的持續(xù)時間；T2為混沌狀態(tài)的持續(xù)時間。

通過過零點間距方法找出大尺度周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)的持續(xù)時間T1和T2，代入式（14）中解關(guān)于幅值A(chǔ)的一元二次方程，即可得到未知信號幅值的大小。

3 仿真結(jié)果

仿真試驗中的振子實驗結(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖11 振子的系統(tǒng)仿真模型Fig. 11 Oscillator system simulation model

當(dāng)將待測信號加入原有周期信號之后，通過檢測間歇性混沌信號，并用上述方法得出待測信號的幅值。仿真時，設(shè)定k=0.3，取[x（0），x′（0）]=[0，0]，利用定步長h=0.01四階龍格—庫塔方法進(jìn)行計算。以下表1～表3即是仿真后所測得的信號參數(shù)。

表1 待測信號幅值Tab. 1 Amplitude of tested signal

表2 待測信號相位Tab. 2 Phase of tested signal

由仿真結(jié)果可以看出，絕對誤差的總體趨勢是隨著測量值增加而線性上升的，而相對誤差則一直維持在一個較小的值，計算結(jié)果的誤差達(dá)到了測量的預(yù)期。理論上只要選擇合適的參數(shù)以及算法，測量的精度上限可以無窮逼近實際值。

表3 待測信號頻率Tab. 3 Frequency of tested signal

4 結(jié)論

通過以上仿真分析，利用混沌系統(tǒng)檢測電力諧波較之于傳統(tǒng)電力系統(tǒng)檢測方法精度更高，抗噪性更強，而當(dāng)多頻信號檢測時，只需要調(diào)整振子參數(shù)，就可以實現(xiàn)檢測。同時，修改方程后的振子系統(tǒng)比傳統(tǒng)的Duffing振子系統(tǒng)對周期性小信號更具有敏感性，能夠得到更大的幅值有效區(qū)間和更高的精度。若能夠有效地將該方法與其他方法相結(jié)合，優(yōu)勢互補，將會使得利用混沌理論檢測電力系統(tǒng)諧波走向?qū)嶋H應(yīng)用。

[1] 李圣清，朱英浩，周有慶，等. 電網(wǎng)諧波檢測方法的綜述[J]. 高電壓技術(shù)，2001，30: 39-42.LI Shengqing，ZHU Yinghao，ZHOU Youqing，et al. The overview of detecting methods for harmonic in power system[J]. High Voltage Engineering，2001，30: 39-42（in Chinese）.

[2] OTT E GREBOGI C，YORKE A. Controlling chaos[J].Phys Rev Lett A，1990，64: 1796-1799.

[3] YANG J Z，QU Z L，HU G. Duffing equation with two periodic forcings: The phase effect[J]. Phys Rev Lett A，1996，53（5）.

[4] 柴旭生，文習(xí)山，關(guān)根志. 一種高精度的電力系統(tǒng)諧波分析方法[J]. 中國電機工程學(xué)報，2003，23（9）: 35-39.CHAI Xusheng，WEN Xishan，GUAN Genzhi. A high precision method for power system harmonic analysis[J].Proceedings of the CSEE，2003，23（9）:35-39（in Chinese）.

[5] 翟篤慶，劉崇新，劉堯，等. 利用陣發(fā)混沌現(xiàn)象測定位置信號的參數(shù)[J]. 物理學(xué)報，2010，59（2）: 816-825.ZHAI Duqing，LIU Chongxin，LIU Yao，et al. Determination of the parameters of unknown signals based on intermittent chaos[J]. Acta Physica Sinica，2010，59（2）:816-825（in Chinese）.

[6] HUANG J C，JING Z J. Bifucation and chaos in the three-well Duffing system with one external forcing[J].Chaos，Solitons & Fractals，2009，40（3）: 1449-1466.

[7] 李月，楊寶俊，石耀武. 色噪聲背景下微弱正弦信號的混沌檢測[J]. 物理學(xué)報，2003，52（3）：526-530.LI Yue，YANG Baojun，SHI Yaowu. Chaos-based weak sinusoidal signal detection approach under colored noise background[J]. Acta Physica Sinica，2003，52（3）: 526-530（in Chinese）.

[8] WANG Guanyu，CHEN Dajun，LIN Jianya. The application of chaotic oscillators to weak signal detection[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics，1999，46（2）: 440-444.

[9] 王永生，肖子才，孫瑾，等. Duffing混沌系統(tǒng)電路仿真研究[J]. 電力與系統(tǒng)學(xué)報，2008，13（1）: 133-135.WANG Yongsheng，XIAO Zicai，SUN Jin，et al. Simulation and experimental study on the chaos circuit of Duffing oscillator[J]. Journal of Circuit and System，2008，13（1）:133-135（in Chinese）.

[10] 聶春燕，徐振忠. 混沌系統(tǒng)在弱檢測信號檢測中的應(yīng)用[J]. 傳感器技術(shù)，2003，22（1）: 55-57.NIE Chunyan，XU Zhenzhong. Application of chaotic system in detecting weak signal[J]. Journal of Transducer Technology，2003，22（1）: 55-57（in Chinese）.

[11] 朱志宇，姜長生，張兵，等. 基于混沌理論的微弱信號檢測方法[J]. 傳感器技術(shù)，2005，24（5）: 65-68.ZHU Zhiyu，JIANG Changsheng，ZHANG Bing，et al.Weak signal detection based on chaotic theory[J]. Journal of Transducer Technology，2005，24（5）:65-68（in Chinese）.