大型射電望遠(yuǎn)鏡背架結(jié)構(gòu)優(yōu)化

劉 巖

（長(zhǎng)安大學(xué) 建筑工程學(xué)院，陜西 西安710061）

0 引 言

隨著結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、電算技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者曾提出若干關(guān)于望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的優(yōu)化方法［1－3］。Hoerner提出了保型設(shè)計(jì)這一概念，后來(lái)陳樹(shù)勛進(jìn)一步提出了嚴(yán)格保型優(yōu)化設(shè)計(jì)。這一方法在理論上可行，但據(jù)實(shí)際應(yīng)用仍然有距離。其原因是：背架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)數(shù) （N）過(guò)多，其約束條件數(shù) （共3 N）會(huì)顯著超過(guò)設(shè)計(jì)變量數(shù) （通常以截面尺寸為變量），導(dǎo)致方程組無(wú)解。于是，Leve又提出采用準(zhǔn)則法對(duì)望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，但該方法理論基礎(chǔ)不是太牢固，迭代設(shè)計(jì)過(guò)程不夠穩(wěn)定，同時(shí)存在對(duì)不同問(wèn)題需要推導(dǎo)不同的準(zhǔn)則通式等缺陷，在一定程度上影響了其被廣泛應(yīng)用的進(jìn)程。本文的研究對(duì)象——新疆110m 全可動(dòng)射電望遠(yuǎn)鏡背架結(jié)構(gòu)形式較為復(fù)雜，即使同一位置的一圈桿件采用相同截面，仍然有上百個(gè)獨(dú)立變量，且均為型材式的圓鋼管，這一特征導(dǎo)致截面優(yōu)化尤為困難。

由此可見(jiàn)，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法隨著反射面口徑的不斷擴(kuò)大，在變量數(shù)目激增且均為離散型變量的情況下顯得不再那么奏效，因此需要結(jié)合本文的研究對(duì)象尋求簡(jiǎn)便且能解決大規(guī)模變量數(shù)優(yōu)化的高效算法。

1 背架結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析方法

目前，遺傳算法是一種通過(guò)模擬自然進(jìn)化過(guò)程搜索問(wèn)題最優(yōu)解的方法。其主要特點(diǎn)是所采用的整體搜索策略和優(yōu)化搜索方法在計(jì)算時(shí)不依賴于梯度信息或其它輔助信息，本身易于實(shí)現(xiàn)并行化以及更好的全局尋優(yōu)能力，其標(biāo)準(zhǔn)算法的基本分析流程如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法分析流程

具體針對(duì)新疆即將建造的110 m 巨型全可動(dòng)射電望遠(yuǎn)鏡，選取角錐系背架結(jié)構(gòu)方案進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，給出背架結(jié)構(gòu)桿件布置如圖2所示。

圖2 背架結(jié)構(gòu)

整個(gè)背架結(jié)構(gòu)上弦共1056個(gè)節(jié)點(diǎn)，8654根桿件。同一環(huán)桿件定義為一個(gè)截面變量，這樣對(duì)一榀單元給予變量標(biāo)定，共有120個(gè)變量。以反射面面型精度最高 （即RMS值最小）為目標(biāo)，對(duì)背架結(jié)構(gòu)截面進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下

其中，式 （1）代表將截面尺寸作為自變量，式 （2）表示約束條件，在具體優(yōu)化程序中體現(xiàn)為拉彎構(gòu)件按照強(qiáng)度、壓彎構(gòu)件按照穩(wěn)定分別進(jìn)行驗(yàn)算并對(duì)自變量的選取予以約束，式 （3）體現(xiàn)了背架結(jié)構(gòu)桿件截面作為圓鋼管型材，其截面庫(kù)可選截面種類對(duì)截面的約束。

通過(guò)對(duì)背架結(jié)構(gòu)的相關(guān)描述可知，本優(yōu)化問(wèn)題的特點(diǎn)——變量數(shù)龐大且均為型材式變量，若采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法，在初始階段，變量數(shù)與種群個(gè)體數(shù)在同一數(shù)量級(jí)，導(dǎo)致初始種群多樣性較為簡(jiǎn)單，不夠豐富；其次，由于初始種群個(gè)體間相似度本身較高，若采用標(biāo)準(zhǔn)的交叉和變異，而不針對(duì)個(gè)體特征加以有效干預(yù)，會(huì)使得交叉后產(chǎn)生的父、子兩代個(gè)體間并無(wú)顯著改善［4，5］。因此為避免這種 “近親繁殖”，提高遺傳算法效率，通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法中的一些關(guān)鍵算子及相關(guān)參數(shù)提出改進(jìn)，最終采用改進(jìn)遺傳算法作為本問(wèn)題的優(yōu)化分析方法，解決了背架結(jié)構(gòu)大規(guī)模型材式變量的優(yōu)化問(wèn)題。如下就這些具體的相關(guān)改進(jìn)措施予以必要的闡述。

2 標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的相關(guān)操作改進(jìn)

2.1 種群初始化的改進(jìn)

種群的多樣性可作為評(píng)價(jià)遺傳進(jìn)化過(guò)程的重要標(biāo)志。當(dāng)遺傳算法找到存在極值的某個(gè)區(qū)域時(shí) （無(wú)論是全局還是局部），種群中的個(gè)體會(huì)持續(xù)不斷的向該區(qū)域集中，從而出現(xiàn)諸多相似甚至相同的個(gè)體，導(dǎo)致種群多樣性程度逐漸降低，最終影響到算法操作的效率以及搜索其它區(qū)域極值的能力。

為解決這個(gè)問(wèn)題，采用Hamming 距離 （Hamming 距離是指兩個(gè)體相應(yīng)基因片段不同基因位的總數(shù)）控制初始種群的個(gè)體差異，用來(lái)豐富種群多樣性，遏制超長(zhǎng)個(gè)體的快速繁殖。具體方法如下：種群初始化中，每產(chǎn)生新的個(gè)體，都與前面所有個(gè)體進(jìn)行比較，若新個(gè)體與前面某一個(gè)體的Hamming距離小于某一設(shè)定值 （例如：2～4，該數(shù)與個(gè)體編碼長(zhǎng)度有關(guān)），則停止比較，跳出循環(huán)，重新產(chǎn)生新個(gè)體。如此往復(fù)循環(huán)，直到產(chǎn)生個(gè)體間均有一定差異的種群［6，7］。

2.2 選擇算子的改進(jìn)

適應(yīng)度比例法是目前遺傳算法中最基本也是最常用的選擇方法，是一種回放式隨機(jī)抽樣的方法。但若單純采用適應(yīng)度比例法進(jìn)行選擇，有可能會(huì)出現(xiàn)最優(yōu)個(gè)體在選擇過(guò)程中沒(méi)有被選擇復(fù)制到下一代。因此，本文在傳統(tǒng)選擇算子的基礎(chǔ)上，引入父子競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制［8］。具體表現(xiàn)為父代的兩個(gè)體交叉產(chǎn)生出子代的兩個(gè)體，對(duì)這4個(gè)個(gè)體 （父子兩代共4個(gè)）按照適應(yīng)度高低排列，最高的2個(gè)個(gè)體進(jìn)入下一代；如果父子兩代的個(gè)體適應(yīng)度相等，子代個(gè)體優(yōu)先進(jìn)入下一代［9］。將這兩種方法結(jié)合起來(lái)，既能保證全局多峰性質(zhì)的空間搜索，同時(shí)又能保證算法的收斂性。

2.3 交叉算子的改進(jìn)

交叉操作是遺傳算法的主要進(jìn)化手段，交叉算子的設(shè)計(jì)包括以下3個(gè)方面：交叉點(diǎn)位置的確定、個(gè)體交叉概率的選擇以及交叉配對(duì)方式的選擇。標(biāo)準(zhǔn)算法中交叉算子對(duì)所有個(gè)體采用同一概率，并未具體結(jié)合個(gè)體的特點(diǎn)予以考慮。結(jié)合本問(wèn)題特點(diǎn)——變量規(guī)模數(shù)龐大，若采用標(biāo)準(zhǔn)算法進(jìn)行配對(duì)交叉，很容易產(chǎn)生前述提及的 “近親繁殖”問(wèn)題。因此對(duì)這三方面做出了如下改進(jìn)：

（1）交叉位置的選擇：兩個(gè)體交叉最常用的就是單點(diǎn)交叉，當(dāng)對(duì)兩個(gè)體X、Y 進(jìn)行交叉操作時(shí)，設(shè)X ＝｛x1，x2，…，xM｝，Y ＝｛y1，y2，…，yM｝，假 使交叉點(diǎn)選 擇不當(dāng)，仍有可能得到與父代一模一樣的個(gè)體，導(dǎo)致交叉操作失效，算法無(wú)法跳出局部極值點(diǎn)［10］，如圖3所示。因此有必要合理準(zhǔn)確的定出其有效交叉域，并且在該范圍內(nèi)隨機(jī)的進(jìn)行交叉點(diǎn)選擇，確保父子兩代個(gè)體具有明顯的差異性。其有效域確定方法如下［11］

有效域?yàn)椋海╲min，vmax）。如：例如兩個(gè)體X ＝1101101，Y ＝1010011，其交叉有效區(qū)域?yàn)?（2，6）。

圖3 單點(diǎn)交叉無(wú)效操作

（2）自適應(yīng)交叉概率：遺傳算法的收斂性直接受到交叉概率的影響，較大的交叉概率pc使得新個(gè)體產(chǎn)生的速度較快，從而也導(dǎo)致優(yōu)秀個(gè)體被破壞的可能性越高；而較小的交叉概率pc又會(huì)使得算法的有效進(jìn)程大大降低。因此需要因個(gè)體的差異性不同而采用自適應(yīng)交叉概率，即適應(yīng)度值較高的個(gè)體采用較小的交叉概率，適應(yīng)度值較低的個(gè)體采用較高的交叉概率，如式 （4）所示，公式中各符號(hào)的意義請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn) ［9］

（3）相關(guān)性配對(duì)交叉：相關(guān)性描述了兩個(gè)體間的相似程度，設(shè)兩個(gè)體X、Y 分別為

其中：xi∈｛0，1｝，yi∈｛0，1｝，i＝1，2，...，M。二者間的不相關(guān)指數(shù)如式 （5）所示

由此可以看出r（X，Y）代表了個(gè)X 和Y 之間不同基因的數(shù)目，因此在選擇算子結(jié)束時(shí)，對(duì)篩選出的個(gè)體兩兩之間分別進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算，將相關(guān)性較小的兩兩個(gè)體組成配對(duì)，使得后續(xù)交叉操作的有效性大大提高。

2.4 變異概率

變異算子對(duì)遺傳算法的局部搜索能力起到了輔助作用。該算子主要包含兩方面：變異點(diǎn)位置的確定以及基因值的替換方式。最常用的變異算子是以某概率進(jìn)行隨機(jī)單基因座變異，而變異概率是隨著進(jìn)化階段的更迭，不同階段針對(duì)不同個(gè)體采用自適應(yīng)的變異概率，如式 （6）所示

其中，pm1＝0.1；fmax是群體中最大適應(yīng)度值；為各代群體平均適應(yīng)度值；f 是待變異的個(gè)體適應(yīng)度值。

3 改進(jìn)算法仿真實(shí)例分析

為了說(shuō)明改進(jìn)算法的有效性，首先選取優(yōu)化領(lǐng)域中常用的經(jīng)典測(cè)試函數(shù)和典型結(jié)構(gòu)模型為算例，分別采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法和本文的改進(jìn)遺傳算法，對(duì)其展開(kāi)優(yōu)化計(jì)算分析。通過(guò)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)越性、迭代進(jìn)化過(guò)程快慢、優(yōu)化空間改進(jìn)幅度大小等多方面進(jìn)行對(duì)比，表明改進(jìn)遺傳算法的優(yōu)勢(shì)。

3.1 測(cè)試函數(shù)

（1）問(wèn)題描述：利用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法和改進(jìn)遺傳算法對(duì)2個(gè)常用的二元多峰數(shù)值Shaffer函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化測(cè)試計(jì)算，并進(jìn)行比較。其中函數(shù)f1是求最小值，函數(shù)f2是求最大值。且兩個(gè)函數(shù)的定義域均為－100＜x，y＜100

（2）算法設(shè)置：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法和改進(jìn)遺傳算法選擇相同的參數(shù)：種群規(guī)模數(shù)M＝100，交叉和變異算子均采用自適應(yīng)的交叉概率和變異概率，遺傳的進(jìn)化終止代數(shù)T＝200。由于f2是求最大值，可直接用函數(shù)本身作為其適應(yīng)度函數(shù)；而f1是求最小值，需采用置大數(shù)（可設(shè)置為100）與函數(shù)做差后的結(jié)果，作為其適應(yīng)度函數(shù)。同時(shí)，引入父子競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制。兩種算法各自隨機(jī)運(yùn)行50次，其數(shù)值計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 標(biāo)準(zhǔn)算法和改進(jìn)算法測(cè)試結(jié)果對(duì)比

（3）標(biāo)準(zhǔn)算法與改進(jìn)算法優(yōu)結(jié)果比較：從表1以及圖4可知，改進(jìn)算法最小收斂代數(shù)、平均收斂代數(shù)都比標(biāo)準(zhǔn)算法相應(yīng)值要少，改進(jìn)算法更為穩(wěn)定，不但很快收斂到全局最大值，且種群的優(yōu)良性程度好。表明在優(yōu)化過(guò)程中由于改進(jìn)遺傳算法引入了初始種群的多樣性，以及交叉算子有效性的大大增強(qiáng)，使得優(yōu)秀個(gè)體得以更快的產(chǎn)生。

圖4 測(cè)試函數(shù)平均適應(yīng)度曲線

3.2 十桿桁架

（1）問(wèn)題描述：十桿桁架結(jié)構(gòu)如圖5 所示，已知P＝10kN。材料屬性為：彈性模量E＝2.0×105Mpa，密度＝7.8×103kg／m3，材料的容許應(yīng)力為 ［σ］＝100 MPa，a＝b＝2 m。根 據(jù) 材 料 供 應(yīng) 的 截 面 庫(kù)A ＝ ［1.132，1.432，1.459，1.749，1.859，2.109，2.276，2.359，2.659，2.756，3.086，3.382，3.486，3.791，4.292，5.076］cm2，該問(wèn)題屬于離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)，采用遺傳算法設(shè)計(jì)此結(jié)構(gòu)，使得結(jié)構(gòu)最輕。

圖5 十桿桁架

（2）算法設(shè)置：以桿件截面面積為設(shè)計(jì)變量，結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕為設(shè)計(jì)目標(biāo)，其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如式（7）～式（9）所示

式中：C 為罰因子，采用大數(shù)，本文取C＝10 000

式中：Cmax為一個(gè)適當(dāng)?shù)南鄬?duì)較大的數(shù)。

由材料力學(xué)強(qiáng)度理論可知，各桿件應(yīng)力應(yīng)滿足約束條件，如式 （8）所示。具體計(jì)算時(shí)，由于是求質(zhì)量最輕，即最小值問(wèn)題，并考慮到約束條件，采用罰函數(shù)將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為遺傳算法所能處理的無(wú)約束問(wèn)題，如式 （9）所示，這樣解空間中某一點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值W 到搜索空間對(duì)應(yīng)個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)采用如式 （10）表示。運(yùn)行參數(shù)為：群體規(guī)模M＝100，遺傳的進(jìn)化終止代數(shù)T＝100，改進(jìn)遺傳算法采用上述相關(guān)性配對(duì)交叉，并采用自適應(yīng)交叉和變異概率，同時(shí)引入父子競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制。

（3）標(biāo)準(zhǔn)算法與改進(jìn)算法結(jié)果比較：最終優(yōu)化的迭代曲線如圖6所示，由圖5可以看出采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法目標(biāo)函數(shù)從第80代基本開(kāi)始收斂，最優(yōu)值為19.9kg；而采用改進(jìn)遺傳算法，目標(biāo)函數(shù)從第55代基本開(kāi)始收斂，最優(yōu)值為16.3kg。

從如上給出的多峰值數(shù)學(xué)函數(shù)、平面桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析可以看出，本文提出的改進(jìn)遺傳算法較標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法而言，在優(yōu)化全程中，由于采用了自適應(yīng)的交叉和變異概率，使其能依據(jù)個(gè)體的優(yōu)劣程度靈活的選擇交叉和變異概率，且在交叉中通過(guò)引入不相關(guān)性指數(shù)配對(duì)個(gè)體，確定有效區(qū)域來(lái)進(jìn)行交叉，有效避免了近親繁殖，從而使得每代種群的多樣性及平均適應(yīng)度值始終高于標(biāo)準(zhǔn)算法的結(jié)果。而在獲取優(yōu)秀個(gè)體方面，改進(jìn)算法比標(biāo)準(zhǔn)算法能較早的獲得更為優(yōu)秀的解，且改進(jìn)幅度也比標(biāo)準(zhǔn)算法更大。較好體現(xiàn)出了本文改進(jìn)算法的有效性和先進(jìn)性。

4 背架結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化結(jié)果

如前所述，選取常用的圓型鋼管截面構(gòu)建截面庫(kù)，共有16種截面?zhèn)溥x，編碼與型鋼截面對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2所示。按照已建立的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型 （式 （1）～式 （3）），以反射面RMS值為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)件強(qiáng)度 （或穩(wěn)定性）為約束條件，分別采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法以及改進(jìn)遺傳算法對(duì)背架結(jié)構(gòu)桿件進(jìn)行截面優(yōu)化，兩種算法的參數(shù)取值及說(shuō)明見(jiàn)表3，最終優(yōu)化迭代曲線如圖7所示。這里給出采用改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化后的背架結(jié)構(gòu)桿件截面尺寸：上弦徑向桿件最大截面為146×7mm，最小截面為121×6mm；環(huán)向桿件最大截面為146×7mm，最小截面為121×6mm；下弦徑向桿件最大截面為245×8mm，最小截面為121×6mm；環(huán)向桿件最大截面為146×7mm，最小截面為121×6mm；腹桿最大截面為219×8mm，最小截面為83×4mm。

圖6 十桿桁架優(yōu)化結(jié)果

表2 編碼串與截面尺寸的映射關(guān)系

表3 遺傳算法中的參數(shù)取值

圖7 背架結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化結(jié)果

從優(yōu)化歷程曲線來(lái)看，本文提出的集成多種改進(jìn)措施后的遺傳算法，針對(duì)該巨型射電望遠(yuǎn)鏡背架結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化，其優(yōu)化進(jìn)程較標(biāo)準(zhǔn)算法能較快的產(chǎn)生優(yōu)秀個(gè)體；從優(yōu)化歷程變化幅度來(lái)看，采用改進(jìn)算法其變化幅度更大；從最后的優(yōu)化目標(biāo)來(lái)看RMS 值更小，即結(jié)果更優(yōu) （標(biāo)準(zhǔn)算法為0.34mm，改進(jìn)算法為0.306 mm）；較為有效地解決了望遠(yuǎn)鏡背架結(jié)構(gòu)大規(guī)模數(shù)型材式變量的優(yōu)化問(wèn)題。

5 結(jié) 論

（1）選取經(jīng)典的數(shù)學(xué)測(cè)試函數(shù)以及十桿優(yōu)化模型作為算例，較好的驗(yàn)證了本文提出的改進(jìn)遺傳算法。

（2）以110 m 角錐式網(wǎng)架方案背架結(jié)構(gòu)為分析對(duì)象，主反射面RMS值為優(yōu)化目標(biāo)，在標(biāo)準(zhǔn)算法對(duì)截面優(yōu)化取得高精度結(jié)果的前提下，采用本文提出的改進(jìn)算法對(duì)結(jié)構(gòu)予以優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)不但精度提高10%，而且獲得優(yōu)化結(jié)果的速度更快，優(yōu)化幅度更大。

6 結(jié)束語(yǔ)

（1）對(duì)目前主要的望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析方法進(jìn)行了總結(jié)，在分析了各自優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，針對(duì)背架結(jié)構(gòu)截面變量數(shù)較多，且均為圓鋼管型材截面這一特點(diǎn)，對(duì)其算法中的部分算子進(jìn)行了局部改進(jìn)，提出了改進(jìn)的優(yōu)化算法，解決了大規(guī)模離散型變量的優(yōu)化問(wèn)題，目前適用于望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)型鋼截面的優(yōu)化。

（2）本文提出的優(yōu)化方法主要是針對(duì)背架結(jié)構(gòu)截面尺寸的優(yōu)化，并且是在重力荷載下的優(yōu)化。今后可繼續(xù)拓寬全可動(dòng)望遠(yuǎn)鏡背架結(jié)構(gòu)優(yōu)化層次，逐漸過(guò)渡到節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)優(yōu)化以及背架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，最終能夠達(dá)到對(duì)背架結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)多工況下的多類變量?jī)?yōu)化。

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