基于格子Boltzmann法物體繞流模擬與解析

馬明遠 王勇（西南石油大學，四川 成都 610500）

格子Boltzmann方法是近20年來迅速發展起來的一種介觀模擬方法，以其自身擁有的物理意義清晰、邊界處理簡單、程序簡單、并行性好等特點而受到人們的關注[1]。本文使用D2Q9單松弛模型進行了Poiseulle流模擬以驗證模型的準確性，并使用該模型模擬物體繞流，體現了出格子Boltzmann方法的實際應用價值。

1 繞流的格子Boltzmann模型

與傳統計算流體力學方法不同，格子Boltzmann方法的出發點并不是基于連續流體的Navier-Stokes方程，而是基于氣體動理論的基本方程--Boltzmann方程。一個完整的格子Boltzmann模型通常包含以下三要素[2]:速度離散模型、平衡態分布函數、分布函數的演化方程。

1.1 速度離散模型

在本文中我們采用錢躍竑等人提出的D2Q9模型[3]，D2Q9模型中的粒子遷移路徑如圖1所示。

圖1 D2Q9模型

其中，粒子存在于節點處并只能按照圖1所示連線方向運動，因此，在某一節點處只可能存在以下三種粒子:

我們采用常規的正方形網格，有δx=δt、c=δx/δt，其中δx和δt分別為網格步長和時間步長。

1.2 平衡態分布函數

D2Q9模型所采用的平衡態分布函數形式如下:

這里，

模型的宏觀密度和宏觀速度可由下式求得:

1.3 分布函數的演化方程

格子Boltzmann法假想粒子具有遷移和碰撞兩個過程，在遷移時，粒子根據速度方向遷移至相鄰的格子節點，這時有分布函數:

碰撞時:

這里的τ為無量綱弛豫時間，由流體從非平衡態分布往平衡態分布趨近的速度決定。

1.4 邊界處理格式

對于靜止的固體邊界，無法使用式(4)和(5)求得邊界處的分布函數，在這種情況下我們使用bounce-back邊界[4]，即對邊界上的粒子做180°的彈回處理。這里，以下邊界為例便有使用bounce-back邊界處理格式能夠嚴格的保證系統的質量和動量守恒且操作簡單。

對于入口和出口，使用周期性邊界處理格式，即是指當流體粒子從一側邊界離開流場時，在下一個時步便會從另一側的流場邊界進入，因此該邊界處理格式同樣可以嚴格的保證整個系統的質量和動量守恒[5]。周期性邊界條件處理格式可以表示為

2 數值試驗

在這里我們對一個150*30區域作為對象進行計算模擬，在上下邊界處采用bounce-back邊界處理條件，對左右流入流出邊界采用周期性邊界條件，給定全體格點沿方向有初始流動速度，以及雷諾數。首先我們通過D2Q9模型模擬二維Poiseulle流動，從圖2中我們可以清楚地看到該模型的流速分布與Poi?seulle流理論解的流速分布高度一致，D2Q9模型的準確性因此得到了很好的驗證。

圖2 Poiseulle流流速分布

此時在其中放置一個半徑為5的二維圓柱，并在該物體邊界采用bounce-back邊界處理格式。于是我們便可以得到如圖3和圖4所示和方向上的無因次流速分布。

圖3 方向流速

圖4 方向流速

3 結語

本文通過二維Poiseulle流驗證了格子Boltzmann方法D2Q9單松弛模型的模擬精度，并且使用該方法實現了二維繞流的再現，說明了格子Boltzmann方法是一種解決模擬流動問題的有效手段，擁有應用到實際工程研究中的價值。

[1]Chen S,Doolen G D.Lattice Boltzmann method for fluid flows.Annual Review of Fluid Mechanics,1998.

[2]Wolf-Gladrow D A.Lattice-gas Cellular Automata and Lat?tice Boltzmann Models:An Introduction.New York:Springer,1992.

[3]Qian Y H,d’Humières D,Lallemand P.Lattice BGK mod?els for Navier-Stokes eq-uation.Europhysics Letters,1992.

[4]Lacallee P,Boon J,Noullez A.Boundaries in Lattice Gas Flows.Physica D,1991.

[5]何雅玲,王勇,李慶.格子Boltzmann方法的理論及與應用.北京:科學出版社,2009.