對一道物理競賽題的兩種互異解答的探討

鄭 金

(凌源市職教中心　遼寧 朝陽　122500)

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對一道物理競賽題的兩種互異解答的探討

鄭 金

(凌源市職教中心遼寧 朝陽122500)

摘 要：針對一道競賽題的兩種不同的解答得出兩個相反的結果，通過深入辨析原因，多角度探究了恒速參考系中做往復運動物體的機械能守恒的條件以及彈簧的彈性勢能與系統(tǒng)的彈性勢能的異同.

關鍵詞：競賽題參考系機械能守恒

對于第26屆全國中學生物理競賽復賽第三題第1小題，原參考答案雖然正確，但只有定性分析，沒有進行定量解答；此外，在一些文獻所給出的答案中，既有正確的，也有錯誤的，下面對兩種結果不同的解法進行探討.

【題目】一質量為m的小球與一勁度系數(shù)為κ的彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動.試問：在一沿此彈簧長度方向以速度u做勻速運動的參考系里觀察，此體系的機械能是否守恒，并說明理由.

參考答案：否.原因是墻壁對于該體系而言是外界，墻壁對彈簧有作用力，在運動參考系里此力的作用點有位移，所以對體系做功，從而改變這一體系的機械能.

從該答案來看，原題是一道比較簡單的競賽題.下面展示兩種難度較大的定量解法，并指出其中的不足之處.

設彈簧位于墻壁的右側，參考系向右運動，彈簧的形變量為

Δx=Δxmcosωt

則墻壁對彈簧的彈力為

F=κ·Δx=κ·Δxmcosωt

在運動參考系中，彈簧與墻壁的接觸點向左運動，位移為x=-ut，則墻壁對彈簧所做的功為

W=Fx=-Fmutcosωt=-f(t)t

所以墻壁的彈力所做的功為

這恰好等于墻壁彈力對彈簧所做的功.

求墻壁彈力所做的功還有一種方法.

設彈簧的伸長量為Δx，在從原長狀態(tài)到最大伸長量的過程中，墻壁對彈簧的彈力為

F=-κΔx=-κΔxmsinωt

彈簧與墻壁接觸點的位移為x=-ut，是關于時間的一次函數(shù)，因此墻壁彈力所做的功為

這表明，在恒速參考系中，墻壁彈力對彈簧所做的功與小球的質量、速度以及參考系的速度有關.也可說成是墻壁對小球間接做功，稱為“借物傳功”.

解法2:如圖1所示，水平彈簧振子在平衡位置O(設為地面坐標系原點)兩側做簡諧運動，小車以速度u向右運動，以小車為參考系，即坐標原點O′在小車中心，剛開始時O′與O重合，且坐標軸x′隨小車一起向右運動，則墻壁對彈簧的作用點以速度u向左運動，發(fā)生位移，因此墻壁對彈簧的作用力是做功的.

圖1

開始相對運動后，當t=0時，將小球向右拉至最大位移即振幅A并放手，使之做簡諧運動，在小車參考系上觀察(即以小車參考系為靜止參考系)，地面參考系及小球都以速度u相對于小車沿x軸負方向勻速運動，同時小球還有相對于地面的速度v.

x′=x-ut=Acosωt-ut

v′=-ωAsinωt-u

a′=-ω2Acosωt=a

f=ma′=-mω2Acosωt=-κx

小球的動能為

由于彈簧的彈性勢能與彈簧的形變量有關，考慮到彈力做正功時彈性勢能減少，則彈性勢能可用微分來表示為

κxdx-κuAdtcosωt=

由于當t=0時

則積分常數(shù)C=0，因此在時刻t彈簧的彈性勢能為

則系統(tǒng)的機械能為

由于這是一個恒定值，所以，在小車參考系上觀察時，彈簧振子體系的機械能仍然守恒.

探討:在上述兩種解法中，出現(xiàn)兩個不同的結果，那么其中必有一種解法是錯誤的.

或者說，由于在運動參考系中，彈簧對小球的彈力不是保守力，所以小球對彈簧所做的功不是二體系統(tǒng)的彈性勢能.再者，彈簧的彈性勢能只與自身的形變量有關，不應隨參考系而變化，即為

由伽利略變換及不變性可知

墻壁和小球對彈簧的彈力所做的總功為

即彈性勢能的增量為

所以彈簧的彈性勢能為

這表明，彈簧所受的一對彈力在恒速參考系中是保守力，做功的多少與路徑無關，只與彈簧兩端點的位置有關.

且有等式

這表明，由彈簧、小球和墻壁所組成系統(tǒng)的彈性勢能等于彈簧的彈性勢能與彈簧對墻壁所做的功之和.所謂系統(tǒng)的彈性勢能，是指除動能之外的機械能總和.

當彈簧處于拉伸狀態(tài)時，受到墻壁的作用力方向向左，而彈簧的固定端點在勻速運動的參考系中運動方向向左，因此做正功，由于相對于地面的速度大小為v=ωAsinωt，利用“借物傳功”的結論可知墻壁作用力對小球間接做的功為

W=muv=muωAsinωt

也可視為墻壁對彈簧所做的功，那么彈簧彈力對墻壁所做的功為

W′=-muωAsinωt

由于墻壁的動能保持不變，所以由彈簧、小球和墻壁組成系統(tǒng)的機械能始終守恒.

原題中的由彈簧和小球組成系統(tǒng)的機械能應為

由于在式中含有速度v不是常數(shù)，因此在運動參考系中由彈簧和小球組成系統(tǒng)的機械能不守恒.

一般來說，機械能守恒是指整個過程中的各個時刻對應的機械能總量始終保持不變，如果將某一過程中只有兩個時刻對應的機械能總量相等也稱為機械能守恒，那么該題還有其他解法，現(xiàn)探討如下.

從解法2的推導過程可知，當u=0時

當u≠0時，只有當ωt=nπ(n為自然數(shù))時，才有

ωt=nπ

小球的動能為

所以系統(tǒng)的機械能總量為

或由此可知，當n=1時

收稿日期：(2015-02-25)