混沌掩碼耦合復數模型的彩圖RGB同步加密算法

張智高，張紅梅，裴志利＋

（1.內蒙古民族大學 數學學院，內蒙古 通遼028000；2.內蒙古民族大學 計算機科學與技術學院，內蒙古 通遼028000）

0 引 言

彩色圖像加密是確保圖像安全傳輸的技術手段，已成為研究熱點［1，2］。如謝濤等［3］設計了初始簡單擴散－聯合置亂－聯合擴散的加密方法，實驗結果表明其方法具有較高的安全性；柴秀麗等［4］設計了基于超混沌系統的彩色圖像加密算法，實驗結果表明其算法高度安全、密鑰空間大；趙鵬濤等［5］設計了基于多渦卷混沌映射系統的圖像加密算法，并對算法進行了實驗測試，結果表明其算法加密質量優異。

盡管上述彩色圖像加密算法安全性很高，能夠有效保護圖像傳輸安全，但這些算法的實質是多通道加密機制，增大了傳輸延遲，難以滿足實際工程的需求。

為此，研究人員開發了少有的單通道彩色圖像加密算法，對RGB分量進行同步加密，減少傳輸負載與時間成本。如龔黎華等［6］引入頻譜切割，結合Arnold變換，對單一彩色圖像的3個分量同時加密，實驗驗證了其算法的合理性與可行性；羅賢哲等［7］引入頻譜切割，利用壓縮思想，對彩色圖像RGB 分量同步加密，并測試其算法的合理性，結果顯示器算法高度安全，加密成本低；M.Josh等［8］將彩圖RGB三分量壓縮成一個索引矩陣，通過對索引矩陣來實現單通道加密，并測試其算法性能。

然而，基于取頻譜切割與壓縮思想，忽略了圖像高頻成分，易產生串擾效應，導致圖像失真，而利用顏色空間變換的單通道加密，如HSV［9］、YCbCr［10］等技術，雖然沒有串擾效應，但是其得到的密文仍然是彩圖，增大了傳輸負載。

為了克服上述不足，本文提出了混沌掩碼耦合迭代復數模型的單通道彩色圖像RGB分量同步無損加密算法。通過設計迭代圖像復數模型，將這些矩陣轉以復數形式變成復數矩陣，充分考慮了圖像高頻成分，消除了失真現象。最后借助仿真測試了本文算法性能。

1 單通道彩圖RGB同步加密算法設計

本文彩圖RGB 同步加密算法如圖1 所示。從圖中可知，本文算法是包括了4個階段：①RGB 分量的提取；②RGB復數矩陣的形成；③置亂復數矩陣的實部與虛部；④雙重加密階段。通過迭代圖像復數模型，將RGB分量以復數形式疊加成一個復數矩陣，有效避免了頻譜切割以及壓縮機制的不足，有效消除了失真現象。

（1）若彩色圖像I的尺寸為N×M ，利用如下程序提取I的RGB分量；

圖1 本文多圖像加密

（2）引入DCT （discrete cosine transform）與ZigZag機制，將RGB分量演變為明文矩陣MR，MG，MB。其形成機制如圖2所示。具體步驟如下：

1）R，G，B 分量經DCT 變換后，將圖像演變為系數矩陣。對每個明文進行n×n分塊，利用DCT 模型，將R，G，B 轉換成明文矩陣MR，MG，MB。DCT 模型如下

式中：C（u，v）——變DCT 函數；x，y——圖像f（x，y）的像素坐標；L×H ——圖像尺寸；u，v——F（u，v）的數據坐標值；cos（A）——余弦變換；S（u），S（v）——C（u，v）的核變換

2D 圖像經n×n分塊后，借助模型 （1），可獲取DCT變換域中的n×n系數矩陣 （包括低頻與高頻部分）。

2）再引入ZigZag技術，對明文矩陣MR，MG，MB進行掃描。按照圖3所示的掃描軌跡形成1D 矩陣fR，fG，fB。

圖2 本文明文矩陣的形成

圖3 ZigZag掃描

（3）根據fR，fG，fB，設計如下迭代復數模型

式中：Ai代表迭代第i次的復數矩陣；j＝代表復數參量。

（4）引入Logistic 映射，獲取隨機序列x ＝（x1，x2，…xn）。Logistic 模型如下

式中：μ∈［0，4］為系統參量。

（5）基于x ＝（x1，x2，…xn），擾亂A1，fB的位置

（6）再利用IDCT 函數，將復合矩陣A2轉變成一個復合圖像IRGB。IDCT 函數如下

其中，所有參數的物理意義與模型 （1）相同。

（7）輸入初始值x0，迭代模型 （5），產生混沌相位掩碼CPRM1，如圖4所示；再結合FrFT （fractional fourier transform）變換，形成正則函數LCT

式中：f（x，y）——RGB 復合圖像IRGB；λ——復雜常量；CPRM1（x，y）——混沌相位掩碼；

圖4 混沌相位掩碼 （相位模板種子x0 ＝0.45）

（8）聯合混沌掩碼與LCT ，對復合圖像IRGB進行擴散，構造雙重加密函數，輸出密文I′。加密函數如下

式中：I′——最終灰度密文；IRGB——復合圖像；LCT ——正則函數。

依據本文算法可知，本文將彩圖RGB分量以復數模型疊加成一個復合圖像，有效克服了頻譜切割與壓縮思想帶來的丟失圖像信息與失真等不足；結合混沌掩碼，構造雙重加密函數，將彩色圖像變成一幅灰度密文，有效降低了傳輸負載，減小了傳輸帶寬壓力；再提取復數矩陣的實部與虛部，即可得到解密圖像，消除了串擾效應。

2 仿真結果與分析

在MATLAB平臺上對本文單通道彩圖RGB同步無損加密算法以及其它幾種最新的算法進行測試。仿真條件為：戴爾2.5Hz，雙核CPU，8GB的內存，運行系統Windows XP。所設立的對照均為：文獻 ［6－8］，分別記為A、B、C算法。其中，Logistic 映射初值x0＝0.45；μ＝3；λ＝5。

2.1 加密質量對比分析

輸入尺寸為227×227 的明文圖像，如圖5（a）所示。經不同算法加密后，結果如圖5（b）～圖5（e）所示。從圖中可知，經不同加密算法處理后，圖像的信息得到了充分混淆與擴散，沒有任何信息泄露，這些算法的加密質量都很好；其中，本文算法和A算法得到的灰度密文，顯著降低了傳輸負載，如圖5（b）～圖5（c）所示；而B、C算法是彩色密文，增大了傳輸帶寬壓力，如圖5（d）～圖5（e）所示。

圖5 加密仿真結果

為了量化加密質量，本文計算了不同算法對應的密文信息熵值。為了密文具有更高的安全性，其信息熵應該接近8。其計算公式如下［10］

式中：H（s）——熵值；P（si）——變量si出現的概率。

依據文獻 ［11］提供的方法對圖5 （b）～圖5 （e）進行測試30次，以測試其密文的平均熵值和最大熵值。實驗結果見表4。從表4中可知，3種算法的信息熵比較接近。這顯示其都具有較高的安全性。

2.2 雪崩效應分析

高度安全的加密算法應具備強烈的密鑰敏感性能。當密鑰發生微小波動時，所產生的解密圖像差異是巨大的。本文測試了Logistic 映射初值x0＝0.45的敏感度。利用擾動因子δ＝10－16來改變x0。即：（x0－δ）與（x0＋δ）。研究其解密效果，并測試了x0的均方差MSE（mean square error）曲線。仿真結果如圖6所示。從圖6 （a）與圖6 （b）可知，當y0發生極其微小變動時，無法對密文進行解密；而正確密鑰得到的解密圖像，清晰可見圖6 （c）；且其MSE 曲線波動劇烈，如圖6 （d）所示。這顯示了本文算法滿足嚴格的雪崩準則。

表4 不同加密系統處理后密文的信息熵值

圖6 算法敏感度仿真結果

2.3 相鄰像素點間的相關性分析

高度安全的加密算法應能夠顯著消除相鄰像素點間的相關性。從圖5 （a）與圖5 （b）中擇取3000對像素點，來計算其相關系數RXY。RXY模型如下［11］

圖7是X 軸線上的加密前后圖像里任意兩個相鄰像素點的相關性測試結果。如圖7 （a）、（c）、（e）所示，明文RGB分量的相鄰像素值聚集為一條對角線，這顯示其相鄰像素點間的相關性很高；而經過本文算法加密后，其像素值呈現均勻分布，如圖7 （b）、（d）、（f）所示，說明本文算法顯著破壞了其相關性。

圖7 彩圖RGB分量相關性仿真結果

其它方向的相關性見表1。從表中可知，本文算法的相關性更低。以B分量來說，加密前后，水平線上的RXY分別為0.9792、0.0023，大幅度降低了RXY值。

表1 加密前后圖像相鄰像素間的相關性

2.4 解密質量對比分析

通過分析不同加密算法的解密質量來體現算法的消除失真性能。仿真結果如圖8所示。從圖8 中可知，從視覺上看，3種不同的加密算法的解密質量都可接受；但本文算法與C算法得到的解密質量最佳，二者的解密圖像細節清晰可見，無串擾效應，不存在失真，如圖8 （a）、圖8（b）所示。而A、B算法存在一定的失真，如圖8 （c）、圖8 （d）中箭頭所指，存在輕微的串擾效應。主要是由于A、B算法是基于壓縮思想來實現多圖像加密，而壓縮會造成顯著的串擾效應；且A、B 算法都采用了頻譜切割機制，丟失了圖像高頻信息［12］，使其解密質量較差；而本文算法設計了迭代復數模型，以復數形成復合圖像，C 算法采用索引格式，形成索引矩陣，徹底避開了頻譜切割與壓縮思想，繼而有效解決了失真問題。

2.5 解密效率對比分析

解密效率是衡量傳輸延遲的重要指標。較高的解密效率間接體現了較低的傳輸延遲。測試了本文算法以及對照組的解密效率，測試對象：如圖5 （b）～圖5 （e）所示。仿真結果見表2。從表中可知，本文算法與A 算法的解密效率接近，分別為0.53s、0.517s；而B、C算法的解密效率較低，分別為1.83s、1.66s。原因是本文算法和A 算法所解密的是一幅灰度密文；而B、C算法則是彩色密文。

圖8 解密質量仿真結果

表2 各算法的解密效率測試結果

綜合上述實驗數據表明：本文算法在具備高度安全性能前提下，顯著降低了傳輸延遲；且消除了串擾效應，使得解密圖像無失真。

3 結束語

本文設計一種全新的單通道彩圖RGB分量同步無損加密算法。避開壓縮思想，設計迭代圖像復數模型，將多個明文以復數形式成復合圖像；結合混沌掩碼，構造雙重加密函數，獲取灰度密文，降低傳輸負載；設計了混沌掩碼耦合迭代復數模型的單通道彩圖RGB分量無損加密算法研究。通過提取復數矩陣的實部與虛部，可得到解密圖像，徹底消除了失真現象。仿真結果表明，本文加密算法高度安全；密文解密質量優異，不存在失真，顯著消除了串擾效應。

［1］XU Chao，ZHANG Xuefeng.Image encryption algorithm based on improved bits plane ［J］.Computer Engineering and Design，2014，35 （2）：451－456 （in Chinese）. ［徐超，張雪峰.改進的基于位平面的圖像加密算法 ［J］.計算機工程與設計，2014，35 （2）：451－456.］

［2］REN Hong’e，DAI Linlin，ZHANG Jian.Image encryption algorithm based on chaotic sequence transform ［J］.Computer Engineering and Design，2013，34 （5）：1615－1619（in Chinese）.［任洪娥，戴琳琳，張健.基于混沌數列變換的圖像加密算法 ［J］.計算機工程與設計，2013，34 （5）：1615－1619.］

［3］XIE Tao，HE Xing.Color image encryption algorithm based on chaotic sequence transform ［J］.Computer Application and Research，2013，30 （1）：318－320 （in Chinese）. ［謝濤，何興.一種新的基于混沌的彩色圖像加密方案 ［J］.計算機應用研究，2013，30 （1）：318－320.］

［4］CHAI Xiuli，LI Wei，SHI Chunxiao.A new Color image encryption algorithm based on super chaotic system ［J］.Transducer and Microsystem Technologies，2013，32 （8）：131－134（in Chinese）.［柴秀麗，李偉，史春曉.基于超混沌系統的彩色圖像加密新算法［J］.傳感器與微系統，2013，32 （8）：131－134.］

［5］ZHAO Pengtao，LIU Gang，PENG Jieli，et al.Color image encryption algorithm based on multi－scroll chaotic maps ［J］.Journal of Computer Application，2013，15 （A02）：177－179 （in Chinese）.［趙鵬濤，劉剛，彭接力，等.基于多渦卷混沌映射的彩色圖像加密算法［J］.計算機應用，2013，15（A02）：177－179.］

［6］GONG Lihua，ZENG Shaoyang，ZHOU Nanrun.Color image encryption based on 2D Arnold transform and spectrum cutting［J］.Computer Application，2012，32 （9）：2599－2602 （in Chinese）.［龔黎華，曾紹陽，周南潤.基于頻譜切割和二維Arnold變換的彩色圖像加密算法 ［J］.計算機應用，2012，32（9）：2599－2602.］

［7］LUO Xianzhe.Transform and fractional cosine transform ［D］.Nanchang：Nanchang University，2012：25－29 （in Chinese）.［羅賢哲.基于分數階傅里葉變換和分數余弦變換的多圖像及彩色圖像加密算法 ［D］.南昌：南昌大學，2012：25－29.］

［8］Joshi M，Shakher C，Singh K.Logarithms－based RGB image encryption in the fractional Fourier domain：A nonlinear approach［J］.Optics and Lasers in Engineering，2009，47 （6）：721－727.

［9］Jawad LM，Sulong GB.A review of color image encryption techniques［J］.International Journal of Computer，2013，10（6）：266－275.

［10］Wu J，Guo F，Zhou N.Single－channel color image encryption using the reality－preserving fractional discrete cosine transform in YCbCr space［J］.Journal of Computers，2013，8（11）：2816－2822.

［11］Wang Zhen，Huang Xia，Li Yuxia，et al.A new image encryption algorithm based on the fractional－order hyperchaotic Lorenz system ［J］.Chinese Physics B，2013，22 （1）：010504－1－7.

［12］WANG Lei，XU Liang，HUANG Chuan.Influence of spectrum segmentations ASE bandwidth on performance of injection locking FP－LD ［J］.Optical Communication Technology，2011，35 （2）：115－119 （in Chinese）. ［王磊，徐量，黃川.頻譜分割ASE帶寬對注入鎖定FP－LD性能的影響 ［J］.光通信技術，2011，35 （2）：115－119.］