改進的基于能量的聲源定位算法

劉艷芳，張會芝，王鮮芳

（河南師范大學 計算機與信息工程學院，河南 新鄉453007）

0 引 言

信號源定位技術已廣泛應用于雷達、無線傳感器網絡、無線通信等領域［1－4］。分析國內外研究現狀，聲源目標定位的方法主要有3種：TDOA （time delay of arrival）［5］、DOA（direction of arrival）［6］和基于能量的方法。

空間分布的不同傳感器接收到的聲源能量大小與其和聲源的距離平方成反比，從而可以利用不同位置傳感器接收信號能量的不同來進行聲源位置的定位。Sheng等［7］提出了基于能量的最大似然算法 （ML）可以完成無線傳感網絡中單源或多源的定位，并推導出基于能量進行聲源定位的CRLB下限，這種方法雖然能達到CRLB 下限，但需要非常大的計算量，并且必須有個比較好的初始值，否則容易陷入局部最優；Ho等［8］利用兩步加權最小二乘方法提出了一種基于能量進行聲源定位的方法，這種方法給出了最后定位結果的代數表達式，因此，計算簡單，不會陷入局部最優，并且在高斯噪聲的信噪比不是很低的情況下，定位準確度高。

在實際應用中，當噪聲相對較大時，two－step WLS算法的誤差就會非常大。為了進一步提高two－step WLS算法的定位精度，本文提出了一種改進算法。創新之處在于，通過引入廣義矩陣，將文獻 ［8］中第一步中采用加權最小二乘方法，改進成最小化代價函數的問題，進而采用拉格朗日乘子法得到代數解。這種改進方法，一方面降低了定位誤差，另一方面提高了噪聲的門限值，使得算法具有更大的適用性。閉合代數表達式計算簡單，不需要初始值，不存在局部最優問題。

1 基于能量的聲源定位原理

基于能量定位的基本原理參見參考文獻 ［7］。信號在傳輸過程中會受到噪聲的干擾，這使得聲源的位置無法精確得知，存在估計誤差，當噪聲比較大時，將嚴重影響對目標的定位精度。這對聲源定位增加了很大的難度。因此，如何在噪聲比較大時，依然能夠對聲源位置進行有效定位是目前研究的難點。

為了研究方便以及便于各種算法之間的比較，各傳感器的能量測量值不是通過實測得到，而是通過下面能量衰減模型［7］計算得到。

定位場景是N 維空間 （本文仿真N＝3）中基于M 個麥克風傳感器所組成的網絡，它們的已知坐標為si＝ ［xiyizi］T，未知聲源位置為u0＝ ［x0y0z0］T。本文中（＊）0表示 （＊）的真實值，并假定傳感器和聲源之間是自由空間中的視距傳播。

第i個傳感器接收到的能量［8］為

αi為第i個傳感器的增益，＝ u0－si為第i 個傳感器和聲源之間的歐氏距離，S為距離目標一米距離處的能量。εi為接收信號的噪聲，服從高斯隨機過程，期望為零，方差為服從χ2分布，當觀察時間足夠長時，可認為服從高斯分布［7］，為簡單起見，可假定的均值已經從式 （1）中減去，因此其數學期望為零，方差為＝／τ，其中τ為觀察時間［8］。

為了消除未知數S對計算的影響，采用能量比的方法來估計聲源位置。以第一個傳感器為參考節點，則各傳感器相對于參考節點的能量比為

令q＝［q21，q31，…，qM1］，則q的協方差矩陣為

其中，i，j＝2，3，…，M。

基于能量的聲源定位步驟可概括如下：

（1）根據各傳感器位置si和目標聲源位置u0計算出各個傳感器距離聲源的真實位置；

（2）由式 （1）計算各傳感器測量值pi，在計算過程中加入高斯白噪聲；

（3）由式 （2）計算出能量比向量q。

通過下節基于能量的聲源定位算法，由q 估計出聲源位置u。

2 基于能量的two－step WLS算法

2.1 two－step WLS算法

K.C.Ho 等［8］提出的two－step WLS 算法主要包括兩步。

（2）考慮u0和之間的關系后得到更精確的估計值

其中，Φ2＝（u－s1）⊙（u－s1），⊙表示矩陣對應元素相乘的運算

B 中u0的真實值用Φ1（1：N）來代替，這樣替代帶來的誤差非常小，可以忽略［9］。

聲源位置的最后估計值

在上述給出的步驟中，并沒有考慮各向量的物理意義。Φ1向量中，第N＋1個元素是參考節點與目標聲源距離的平方，所以，理論上應該為正值。但是當噪聲超過一定值時，通過上述方法求得的Φ1（N ＋1）可能為負，這就會導致最后的結果突然急劇偏離CRLB 下限。因此對第一步解空間可以添加約束，約束條件為Φ1（N ＋1）＞0。

如果按上述第一步無約束求解Φ1時得到的Φ1（N＋1）為正，則滿足約束條件，對Φ1不做修改；如果Φ1（N＋1）為負，則令Φ1（N＋1）為零，此時Φ1前N 個元素值調整為

其中G′1＝G1（：，1：N）。

同樣，第二步驟的Φ2中各元素都是平方項，理論上應該為非負值。但當噪聲比較大時，達到某個閾值時，Φ2會出現負值解，負值導致最后的定位估計解出現復數，使得無法得到可使用解，誤差曲線上表現為，在某一個噪聲閾值點，曲線突然急劇偏離CRLB 下限。為了使算法的使用范圍擴展到噪聲閾值之外，對第二步的使用WLS算法求解Φ2時同樣添加一個非負的約束條件。Φ2的求解過程變為［8］

本文在最后仿真中，同時給出算法加約束和不加約束的仿真結果分析。

2.2 改進的two－step WLS算法

為了進一步提高two－step WLS算法的定位精度，并使算法在噪聲比較大時，依然可以提供可使用解，本文提出了一種改進算法。

在two－step WLS算法中，第一步Φ1的結果決定著Φ2及最后定位估計值，所以定位的誤差主要來源于第一步。對于Φ1的求解，本文提出了一種改進算法，來減少誤差。

從文獻 ［8］中，可以得到求解Φ1誤差方程為

two－step WLS算法對誤差方程 （7）直接采用最小二乘方法求解Φ1，并沒有考慮h1和G1中噪聲對數據的影響。本文采用一種新的方法，通過引入廣義矩陣，將有噪數據中噪聲項分離出，將其做為約束條件求解最小化代價函數。通過拉格朗日乘子法來求解Φ1。

首先引入增廣矩陣A 和vo，令

則式 （7）可以化為

A 中包含著由于噪聲引起的誤差，所以將A 分解為A ＝A0＋ΔA，將h1和G1的真實值代入后，可以得到

構造代價函數ε＝vTATW1Av，將A＝A0＋ΔA 代入后可得

式中：第一項為理想項，后兩項是由于ΔA 中噪聲的影響使得求解的值偏離真實值

Δq均值為零，所以ΔA 均值為零，上式中第三項期望為零。

為了使ε最小，將第二項作為約束條件，使其為常數。因此用下面的式子來求解v0

其中Ω＝E ［ΔATW1ΔA］為約束矩陣，k 可以為任意常數。v一旦求出，則它的前N＋1個元素即Φ1。

利用拉格朗日乘子法，構造代價函數vTATW1Av＋λ（k－vTΩv），令其求導后等于零，可以得到

v為廣義特征向量，λ廣義為特征值。將約束矩陣Ω分塊

式 （14）可以分解為

式 （15）前N 行可以得到

代入式 （15）后兩行得

令

則可以得到方程組

解式 （18）可以得到

由式 （16）可得

Φ2及聲源位置的最后估計值的求解同two－step WLS算法。

3 算法仿真及性能分析

為了驗證本文算法的性能，對近距離和遠距離聲源目標分別進行了一系列的仿真實驗。為了和文獻 ［8］的文章進行對比，本文采用了相同的麥克風傳感器節點布局，如表1所示。聲源位置uo＝ ［3 4.5 3.5］、［7.5－7.5 8］分別記為A、B。傳感器和聲源位置的空間分布如圖1所示。

表1 麥克風傳感器位置／m

圖1 定位系統幾何分布

圖2給出了當聲源位置為A 時，文獻 ［8］中two－step WLS算法和本文算法定位精度隨噪聲的變化曲線。從圖中可以看出，在接收信號噪聲比較小時，文獻 ［8］中算法和本文算法的準確度都達到CRLB 下限。隨著噪聲的增大，當傳感器接收信號的噪聲達到－29 （10log）時，兩種算法都開始偏離CRLB 下限，當噪聲達到－26 （10log）時，文獻 ［8］算法由于解出現復數使得曲線突然偏離CRLB。本文算法的估計誤差一直比two－step WLS算法小，且突然偏離CRLB 的噪聲門限值也提高了很多，接收信號的噪聲達到－24 （10log）時，出現復數解偏離CRLB下限。可以看出本文提出的算法相比two－step WLS算法具有較小的估計誤差，噪聲容忍性也更好。

圖2 聲源位置A 無非負約束誤差分析

圖3給出了當聲源位置為B時，文獻 ［8］中算法和本文算法定位精度隨著接收信號噪聲的增大而變化的曲線。隨著噪聲的增加，可以看出，本文算法雖然沒有比較明顯的誤差減小，但是誤差突然偏離CRLB 的噪聲門限值相比文獻［8］中的算法也提高了很多，所以具有更大的噪聲容忍性。

圖3 聲源位置B無非負約束誤差分析

圖4和圖5分別給出了目標位置為A 和B時，two－step WLS算法和本文算法加上非負約束條件后誤差曲線圖，從圖上可以明顯的看出，加上非負約束條件后，兩條曲線都從原來的突然偏離CRLB變成逐漸偏離，這樣就為噪聲閾值之外也提供了可使用解，使得算法的實用性更強。且本文算法的定位誤差值一直比two－step WLS算法的誤差要小。

圖4 聲源位置A 非負約束下誤差分析

圖5 聲源位置B非負約束下誤差分析

4 結束語

本文基于能量衰減模型改進了基于能量的兩步加權最小二乘定位算法。將噪聲對數據的影響考慮進來，并給出噪聲項作為約束條件的最小化代價函數的推導過程，給出了閉合代數表達式。仿真實驗給出了近場和遠場兩種情況的誤差分析結果，表明在一定的信噪比下，本文算法定位準確度相比two－step WLS算法有了一定的改善，且突然偏離CRLB的噪聲門限值也明顯提高了很多。如果考慮到Φ1和Φ2對應元素值的物理意義，對兩步Φ1和Φ2都加上非負約束條件，可是使得原來突然偏離CRLB 的曲線變為逐漸偏離，這樣對噪聲閾值之外也可提供參考可使用解。對于多聲源位置的定位算法是下一步的研究內容。

［1］Khan UA，Kar S，Moura JMF.DILAND：An algorithm for distributed sensor localization with noisy distance measurements［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2010，58 （3）：1940－1947.

［2］JIANG Xiaojie，SUN Zhi.A refined DV－hop algorithm based on RSSI［J］.Computer Simulation，2011，28 （12）：122－125（in Chinese）.［姜曉潔，孫志.無線傳感器網絡節點自定位算法仿真研究 ［J］.計算機仿真，2011，28 （12）：122－125.］

［3］QI Huaiqin，HUA Xiaohui.Research on greenhouse fire positioning technology based on wireless sensor network ［J］.Computer Engineering and Design，2013，34 （2）：745－749 （in Chinese）.［齊懷琴，花曉慧，基于無線傳感器網絡的油田火災定位技術研究 ［J］.計算機工程與設計，2013，34 （2）：745－749.］

［4］LIU Xiaoli，LIAO Guisheng.Multitarget localization and estimation of gain－phase error for bistatic MIMO radar［J］.Acta Electronica Sinica，2011，39 （3）：596－601 （in Chines）. ［劉曉莉，廖桂生.雙基地MIMO 雷達多目標定位及幅相誤差估計 ［J］.電子學表，2011，39 （3）：596－601.］

［5］Yang K，An J，Bu X，et al.Constrained total least－squares location algorithm using time－difference－of－arrival measurements［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2010，59（3）：1558－1562.

［6］Guvenc I，Chia－Chin Chong.A survey on TOA based wireless localization and NLOS mitigation techniques［J］.Communications Surveys ＆Tutorials.IEEE，2009，11 （3）：107－124.

［7］Sheng X，Hu YH.Maximum likelihood multiple－source localization using acoustic energy measurements with wireless sensor networks［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2005，53 （1）：44－53.

［8］Ho KC，Sun M.An accurate algebraic closed－form solution for energy－based source localization ［J］.IEEE Transactions on Audio，Speech and Language Processing，2007，15 （8）：2542－2550.

［9］Lin L，So HC，Chan FKW，et al.A new constrained weighted least squares algorithm for TDOA－based localization ［J］.Signal Processing，2013，93 （11）：2872－2878.

［10］Ho KC.Bias reduction for an explicit solution of source localization using TDOA ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2012，60 （5）：2101－2114.