T樣條曲面在B樣條曲面局部拼接中的應用

薛 翔，周來水

（南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京210016）

0 引 言

相鄰曲面的連續拼接對于自由曲面造型［1］非常重要，因此CAD 和CAGD 領域學者對曲面拼接問題進行了大量深入的研究，例如代數曲面間拼接［2，3］、Bezier曲面間拼接［4，5］、NURBS 曲 面 間 拼 接［6，7］、以 及B 樣 條 曲 面 間 拼接［8，9］。由于B樣條曲面被廣泛用于產品設計中的自由曲面造型，而且經常需要通過局部拼接來得到外形更靈活的B樣條組合曲面，因此B 樣條曲面間的局部連續拼接在產品設計時就顯得更為重要。

在實際拼接時，相鄰B 樣條曲面在拼接邊界上經常具有不同的邊界定義，所以無法直接進行連續拼接。通常采用曲面細分來恢復拼接邊界上的一致性，但B 樣條曲面在細分時只能加入整行、整列的控制點，其中大多數控制點對曲面拼接毫無用處，只會造成拼接后曲面上的控制點冗余。相對于B樣條曲面細分時控制點的成批加入，T 樣條曲面［10］在細分時可以更靈活地加入局部控制點。

因此，針對B樣條曲面在局部拼接時由于曲面細分而加入冗余控制點的問題，本文提出一種更有效的T樣條曲面局部拼接法。該方法利用T樣條曲面的局部均勻細分算法，將兩張B樣條曲面局部拼接為一張精簡的T樣條組合曲面，并通過實例驗證了該拼接法優于B樣條曲面細分拼接法。

1 T樣條曲面基礎

圖1 T 網格及其T 樣條曲面

任何一張B樣條曲面都可以精確轉換為一張均勻T網格上的全行列T樣條曲面，如圖2所示。轉換后的全行列T樣條曲面在曲面細分時可以加入局部控制點，而轉換前的B樣條曲面在曲面細分時只能加入整行、或者整列的控制點。

圖2 均勻T 網格及其全行列T 樣條曲面

2 局部均勻細分算法

T 樣條曲面通過靈活的細分算法來加入局部控制點，接下來將在T 網格上具體描述其中一種較為簡單的局部均勻細分算法。

給定一個T網格TMi，Bia／Bib／Bic／Bid為其上相鄰4個B樣條函數。如果這些B樣條函數在同一方向上具有相同的支持域，就可在T網格上加入一個新控制點和一個新B樣條函數Bi＋1e，如圖3 所示。此時，TMi就被局部均勻細分為TMi＋1，Bia／Bib／Bic／Bid也被細分為Bi＋1a／Bi＋1b／Bi＋1c／Bi＋1d／Bi＋1e。

圖3 T 網格上的局部均勻細分算法

利用局部均勻細分算法，就可在T 網格邊界上加入局部行的控制點。如圖4所示，通過對TM0進行水平方向上的局部均勻細分，可在TM0邊界上加入3行局部控制點，同時將TM0局部均勻細分為TM9。

圖4 T 網格邊界上的局部均勻細分

3 基于T樣條曲面的局部連續拼接

設兩相鄰B樣條曲面為A 和B ，它們需要沿其公共邊界Ab／Bb實現局部連續拼接，但Ab與Bb具有不同的邊界定義，并且在這兩張曲面的公共邊界上還存在間隙與重疊，如圖5 （a）所示。如果利用B 樣條曲面細分來連續拼接這兩張曲面，則會在拼接后的B 樣條組合曲面上加入不必要的冗余控制點。如圖5 （b）所示，曲面A 在局部拼接時加入了7個控制點，其中4個為冗余控制點，因為它們對曲面拼接沒有任何用處。如果利用T 樣條曲面的局部均勻細分算法來進行連續拼接，在曲面細分時則不加入任何冗余控制點，從而得到一張控制點更少的T 樣條組合曲面。如圖5 （c）所示，曲面A 在局部拼接時加入的3個控制點都不是冗余控制點，因為它們都用于曲面拼接。

圖5 相鄰曲面在局部邊界上的連續拼接

接下來就對基于T 樣條曲面的局部拼接法進行具體描述：

步驟1 先將B樣條曲面A 和B 精確轉換為兩張全行列T 樣條曲面A 和B ，它們分別定義在均勻T 網格uTMA與uTMB上。uTMA的節點距向量為DA／EA，uTMB的節點距向量為DB／EB。拼接邊界Ab與Bb也分別定義在兩個邊界T 網格uTMAb與uTMBb上，其各自節點距向量為DAb／EAb與DBb／EBb。由于uTMAb≠uTMBb，Ab與Bb則定義在不一致的邊界T 網格上，如圖6所示。因此，曲面A和B 無法直接沿其公共邊界Ab／Bb實現連續拼接。

圖6 拼接前不一致的邊界T 網格

步驟2 通過局部均勻細分算法在T 網格邊界上加入局部控制點，不僅可使Ab與Bb重新定義在一致的邊界T網格上，而且還不加入任何冗余控制點。如圖7 所示，通過在uTMA邊界上加入一局部行的控制點，將uTMA局部均勻細分為TMA，就可使Ab與Bb的邊界T 網格重新恢復一致，也即uTM′Ab＝uTMBb，其中DAb＝DBb和E′Ab＝EBb。此時只要重合Ab與Bb的控制點，就可將曲面A 和B沿其局部邊界連續拼接為一張精簡的T 樣條組合曲面，如圖5 （c）所示。

4 造型實例

圖7 局部均勻細分后一致的邊界T 網格

本文在VC＋＋與VTK 渲染庫的基礎上實現了基于局部均勻細分的T 樣條曲面局部拼接法，并將其用于車尾部的后圍板曲面造型。圖8 （a）為待拼接的3張相鄰B 樣條曲面A／B／C。由于曲面A 與曲面B 和C 在各自拼接邊界上具有不同的邊界定義，因此這3張曲面無法直接實現局部連續拼接。為得到圖8 （b）中連續拼接后的組合曲面，接下來將利用B樣條曲面細分拼接法與T 樣條曲面局部拼接法分別構建后圍板的曲面模型。

在圖9 （a）中，B樣條曲面A 通過曲面細分使其與曲面B 和C 在拼接邊界上具有一致的邊界條件，從而實現曲面間的連續拼接。但B樣條曲面A 在細分時必須加入兩整行的控制點，總共為40個控制點，其中28 個控制點對曲面拼接沒有任何用處。拼接后的后圍板曲面模型將由一張B樣條組合曲面來描述。

圖8 后圍板曲面模型的構建

圖9 基于曲面細分的后圍板曲面拼接

如果將這3張B 樣條曲面轉換為全行列T 樣條曲面，就可利用局部均勻細分來得到拼接邊界上的一致性，從而將這些曲面局部連續拼接在一起，如圖9 （b）所示。此時只需在全行列T 樣條曲面A 的兩側分別加入兩行局部控制點，一共為12個控制點，這些控制點全部用于曲面拼接，并且只有圖9 （a）中B樣條曲面細分拼接時所加控制點的30%。此時，后圍板曲面模型就可由一張更精簡的T 樣條組合曲面來描述，其上的控制點更少。

5 結束語

本文提出的T 樣條曲面局部拼接法較好地解決了相鄰B樣條曲面在局部拼接時由于曲面細分而加入冗余控制點的問題。該拼接法利用T 樣條曲面的局部均勻細分來實現拼接邊界上的一致性，同時不加入任何冗余控制點，因此在局部拼接后可以得到一張更精簡的組合曲面。最后，通過實例驗證了該拼接法比B 樣條曲面細分拼接法更有效，并且還具有較好的工程應用價值。

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