改進的灰色GM（1，1）預測模型

謝錦彪，歐毓毅，凌 捷

（廣東工業大學 計算機學院，廣東 廣州510006）

0 引 言

GM（1，1）模型［1－3］本身的預測公式存在局限性［4］，且對于高增長序列的預測精度不高，有許多學者對其進行了改進［5－9］，這些改進主要是單一地改進模型的背景值或初始（值）條件，或者同時改進模型的背景值和初始條件。近幾年研究的重點逐步偏向于同時改進背景值和初始條件，但是模型的模擬精度和預測精度還有待進一步提高。

本文在文獻 ［10］優化傳統GM（1，1）模型的背景值構造公式的基礎上，進一步優化背景值的計算公式，并基于最小二乘法原理對預測初始條件進行改進，將背景值的改進和最優初始條件的選擇結合在一起，以文獻 ［5，10］共同使用的低增長序列x（0）（k）＝e－ak（k＝1，2，3，4，5）以及文獻 ［10］中高增長序列為例進行模擬分析實驗，提出的預測模型比文獻 ［5，10］具有更高的模擬精度以及預測精度。

1 經典GM（1，1）預測模型及缺陷分析

1.1 經典GM（1，1）模型

設非負序列X（0）＝ ｛x（0）（k），k＝1，2，3…n｝為原始序列。

（1）對原始序列X（0）作一次累加生成序列X（1）＝ （x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n））。即：X（1）（k）＝（i）（k＝1，2，…，n）；

（2）建模。由X（1）得到GM（1，1）模型的背景值Z（1）＝ ｛z（1）（k），k＝1，2，3…n｝，其中Z（1）（k）＝μ （x（1）（k）＋x（1）（k－1））（k＝2，3，…，n），一般μ取0.5。將白化方程＋ax（1）＝b 離散化，由微分變差分，得到GM（1，1）的灰微分方程如下所示

（3）求解發展系數a和灰色作用量b。按照最小二乘法原理解式 （1）可得參數a和b。其中則可得式 （2）

（4）建立預測公式。累加序列X（1）的預測公式為：（k＋1）＝＊e－ak＋，其中k＝0，1，…，n－1；令C ＝則x.（1）（k ＋1）＝Ce－ak＋，其中C 為待定常數；由初始條件（1）＝x（1）（1）＝x（0）（1），有C ＝x（0）（1）－，故

根據式 （3）累減可得原始序列X（0）的預測值：（k＋1）＝（x（0）（1）－）（1－ea）e－ak，（k＝1，2，…，n－1），且（1）＝x（0）（1）。

1.2 GM（1，1）模型的缺陷分析

GM（1，1）模型對白化方程的兩邊在 ［k－1，k］對t積分，化簡可得再由式 （1）可得（1，1）模型背景值的構造誤差［11］主要因為用Z（1）（k）＝0.5（x（1）（k）＋x（1）（k－1））代替了即用圖1中的梯形abcd面積代替了X（1）（t）在區間 ［k－1，k］與t軸圍成的面積，從而導致了誤差△S。當數據為高增長序列時，誤差就比較大。再者，GM（1，1）模型解白化方程時，其假設條件是原始數據序列的第一點值等于預測數據序列的第一點值，即（1）＝x（0）（1），得到的擬合曲線必定經過 （1，x（0）（1））。但是按照最小二乘法原理可知，擬合的曲線未必經過原始數列的第一點。

圖1 背景值構造公式誤差

2 背景值的優化

從模型的預測公式可以看出，模擬和預測的精度取決于發展系數a和灰色作用量b，而a，b的求解取決于背景值。文獻 ［10］在對背景值的優化過程中，在區間 ［k－1，k］上對白化方程兩邊求積分，設x（1）（t）＝BeAt，并記但是對比假設的x（1）（t）的表達式和GM（1，1）的一般過程中的x.（1）（k ＋1）＝Ce－ak＋表達式可以發現文獻 ［10］在假設過程中做了簡化，忽略了常數項，這在一定程度上影響了背景值的逼近效果，從而影響模型的模擬和預測精度。為了避免由此引起的誤差，在其假設的基礎上設x（1）（t）＝BeAt＋p，x（0）（t）＝beAt。

記

又因為

得

且

將式 （6）、式 （7）代入式 （5）可得

由式 （4）及假設條件x（1）（t）＝BeAt＋p 可得z（1）（k）＝［x（1）（k）－x（1）（k－1）］＋p，由于一次累加序列X（1）累減后有x（0）（k）＝x（1）（k）－x（1）（k－1），故

將式 （7）、式 （9）代入式 （10）可得新的背景值計算公式

其中 （k＝2，3，…，n）。

3 預測初值的優化

由以上公式并根據實際意義可知，離差平方和S最小時，其對G 的導數為零，故可以解得

4 實驗與結果分析

根據以上改進的結果，由式 （2）、式 （11）、式 （12）、式 （13）即可得到本文提出的GM（1，1）模型，記為新模型。記文獻 ［5］改進的模型為模型1；記文獻 ［10］改進的模型為模型2。本文實驗仍然采用文獻 ［5，10］共同使用的例子，以x（0）（k）＝e－ak（k＝1，2，3，4，5）并分別取－a＝0.1、0.2、0.4、0.5、0.6、0.8、1.0、1.5、2.0、2.1、2.5、3.0，得到原始序列如下所示：

以上各式，k＝1，2，…，6。

為更清楚表示改進后的結果，新模型得出的數據小數點后保留的位數以文獻 ［5，10］中相應的數據小數點后保留的位數為參考。

實驗1：按照模型1 使用的數據，?。璦＝0.1、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0。比較模型1與新模型取不同發展系數時模擬數據與原始數據的平均相對誤差和平均絕對誤差。兩種模型的模擬精度對比結果見表1。

從表1可以看出，－a從0.1到0.4，新模型的平均相對誤差整體在增加，－a＞0.6以后，相對誤差在逐漸減小，但是新模型的平均絕對誤差以及平均相對誤差都要小于模型1，從表1對比的結果可以得出新模型比模型1具有更好的模擬效果。

表1 新模型與模型1模擬精度比較

實驗2：按照模型2 使用的數據，?。璦＝0.1，0.5，1.0，2.1。比較模型2與新模型取不同發展系數時模擬數據與原始數據的平均相對誤差S以及k＝6時的預測精度。兩種模型的模擬精度對比結果見表2。k＝6時，模型2和新模型得出的模擬值序列以及對應的相對誤差分別為X模型2，X新，S模型2，S新，兩種模型的預測精度對比結果見表3。

表2 新模型與模型2模擬精度比較

表3 新模型與模型2預測精度比較

通過表2的數據可以看出，無論是發展系數小還是發展系數比較大時，新模型的模擬精度始終高于模型2的模擬精度，而且隨著模擬精度的提高，新模型的預測精度也同樣高于模型2的預測精度，兩種模型預測精度的對比結果見表3。

實驗3：取模型1的高增長序列的前5個數據預測后2個數據。原始序列 X（0）＝ （2.718，7.389，20.086，54.598，148.41，403.43，1096.6）。由序列的前5個數據并結合本文提出的改進模型，得到時間響應函數如下

模型1和新模型關于此高增長序列的模擬精度以及預測精度對比結果見表4，其中S為平均相對誤差。

由表4可以清晰地看出，對于高增長的序列，新模型的模擬和預測精度都比模型1有顯著的提高。

表4 高增長序列模擬精度及預測精度比較

5 結束語

本文提出了一種改進的GM（1，1）預測模型，進一步地優化了預測模型的背景值構造公式并改進了模型初始值參數的選取策略。分別以低增長序列和高增長序列為例進行了模擬分析實驗，實驗結果表明，改進的模型同時適用于低增長序列和高增長序列建模，不管是在發展系數較小時還是當發展系數超過經典GM（1，1）方法的適用范圍（－2，2）時，都具有很高的模擬精度和預測精度。

［1］Wang Zi，Dang Yaoguo.Research on carbon emission prediction in Jiangsu Province based on an improved GM （1，1）model［C］//IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services，2013：93－97.

［2］XIE Weiguo，SHI Huaji.Demand forecasting with GM（1，1）optimized by game theory in supply chain ［J］.Computer Engineering and Applications，2013，49 （9）：243－246 （in Chinese）.［謝偉國，施化吉.博弈改進的GM（1，1）在供應鏈需求預測中的應用 ［J］.計算機工程與應用，2013，49 （9）：243－246.］

［3］SUN Qiang，WANG Qiuping.Water supply quantity forecast of Xi’an via combination rough sets with GM（1，N）model［J］.Computer Engineering and Applications，2013，49 （11）：237－240 （in Chinese）. ［孫強，王秋萍.融合粗糙集和灰色GM（1，N）的西安市供水量預測 ［J］.計算機工程與應用，2013，49 （11）：237－240.］

［4］YU Huafeng，CHEN Pengyu.Based on pattern search method optimized GM（1，1）model［J］.Statistics and Decision，2010（7）：154－155 （in Chinese）.［俞華鋒，陳鵬宇.基于模式搜索法優化的GM（1，1）模型 ［J］.統計與決策，2010 （7）：154－155.］

［5］HU Yanbing，CHEN Yongming，ZHAO Yue，et al.Iterative optimal background value of GM（1，1）model［J］.Statistics and Decision，2013 （21）：34－36 （in Chinese）. ［胡炎丙，陳勇明，趙月，等.迭代優化背景值的GM（1，1）模型改進［J］.統計與決策，2013 （21）：34－36.］

［6］XU Huafeng，FANG Zhigeng.GM（1，1）model with optimization winterization equation ［J］.Mathematics in Practice and Theory，2011，41 （7）：163－167 （in Chinese）.［徐華鋒，方志耕.優化白化方程的GM（1，1）模型 ［J］.數學的實踐與認識，2011，41 （7）：163－167.］

［7］LI Weihua，WANG Shujuan.The initial value based optimization GM（1，1）model in dam deformation monitoring ［J］.Guangdong Water Resources and Hydropower，2010 （8）：40－42 （in Chinese）. ［李衛華，王淑娟.基于優化初始值的GM（1，1）模型在大壩變形監測中的應用 ［J］.廣東水利水電，2010 （8）：40－42.］

［8］LI Wei.GM（1，1）model with optimal parameters［J］.Computer Engineering and Applications，2011，47 （14）：25－27（in Chinese）.［李蔚.參數最優化的GM（1，1）模型 ［J］.計算機工程與應用，2011，47 （14）：25－27.］

［9］ZHANG Bing，XI Guiquan.GM（1，1）model optimization based on the background value and boundary value correction［J］.Systems Engineering Theory and Practice，2013，33（3）：682－688 （in Chinese）.［張彬，西桂權.基于背景值和邊值修正的GM（1，1）模型優化 ［J］.系統工程理論與實踐，2013，33 （3）：682－688.］

［10］LUO Gongzhi，CUI Jie，XIE Naiming.A new improved method of grey GM（1，1）model［J］.Statistics and Decision，2008 （22）：11－13 （in Chinese）. ［駱公志，崔杰，謝乃明.灰色GM（1，1）模型新的改進方法 ［J］.統計與決策，2008（22）：11－13.］

［11］WANG Zhengxin，DANG Yaoguo，LIU Sifeng.An optimal GM（1，1）based on the discrete function with exponential law［J］.Systems Engineering Theory and Practice，2008 （2）：61－67 （in Chinese）.［王正新，黨耀國，劉思峰.基于離散指數函數優化的GM（1，1）模型 ［J］.系統工程理論與實踐，2008 （2）：61－67.］