纖維多孔金屬的流阻率分形模型研究

陳衛華,陳天寧,王小鵬,張超

(1.西安交通大學機械工程學院,710049,西安;2.蘭州理工大學機電工程學院,730050,蘭州)

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纖維多孔金屬的流阻率分形模型研究

陳衛華1,2,陳天寧1,王小鵬1,張超1

(1.西安交通大學機械工程學院,710049,西安;2.蘭州理工大學機電工程學院,730050,蘭州)

為了揭示纖維多孔金屬吸聲材料的流阻率與其孔隙率、孔直徑以及孔的彎曲度等主要幾何參數之間的變化規律,給纖維多孔金屬吸聲材料的結構設計提供基本的理論指導,提出了一種流阻率分形模型。通過對纖維多孔金屬的孔隙結構進行分形處理,結合材料內部空氣流體學分析,首先獲得了流經纖維多孔金屬材料截面總的空氣流量Q的表達式,該表達式是最大平均孔徑λmax、曲線分形維數DT和孔面積分形維數Df的函數,其次結合纖維多孔金屬吸聲材料流阻率的公式,獲得了流阻率分形模型。模型理論計算值與實驗測試值的最大偏差為13.9%,最小偏差為7.6%,平均偏差為10.6%,驗證了該理論模型的可靠性。分析結果表明:隨著孔隙率Φ的增大,纖維多孔金屬吸聲材料的流阻率減小;Φ和DT一定時,流阻率隨著Df的增大而減小;Φ和Df一定時,流阻率隨著DT的增大而增大。與通過實驗確定流阻率的經驗公式相比,文中所建流阻率分形模型能夠反映材料的幾何參數與流阻率之間的變化規律,為纖維多孔金屬吸聲材料的微觀結構設計提供了一定的依據。

流阻率;分形模型;曲線分形維數;孔面積分形維數

燒結纖維多孔金屬具有多功能復合特性,例如超輕、高強韌、耐撞擊、高比強度、高比剛度、高效散熱或隔熱以及吸聲性能優良等[1],其結構通常由金屬骨架和內部介質(通常為空氣)組成,金屬骨架由一定數量的金屬絲按層交錯排列高溫燒結形成,內部具有復雜的開孔或閉孔結構。與傳統的非金屬吸聲材料相比,纖維多孔金屬材料能夠耐高溫高壓,因此可以用作極端惡劣工況下的吸聲降噪材料。

聲波在纖維多孔金屬介質中的傳播主要考慮兩個方面:一是孔隙填充介質中波的傳播;二是多孔介質骨架內的彈性波傳播。本文假設金屬骨架為剛性體,只考慮聲波在孔隙空氣中的傳播。Allard等將纖維材料作為等效流體研究,指出流阻是反映多孔材料吸聲性能的一個重要參數[2];Delany等的研究表明,聲波在多孔介質中的傳播和衰減主要由孔隙中空氣的流阻決定,通過空氣流阻就能預測多孔介質的吸聲性能[3]。Bies等對多孔金屬纖維材料的流阻進行了測量,獲得了相關實驗結果[4]。上述文獻研究工作表明,纖維多孔金屬的流阻率是決定其吸聲性能優劣的一個重要聲學參數。

纖維多孔金屬介質的內部孔隙結構呈現無規則排列,孔的分布是雜亂無章的無序結構,使得纖維多孔金屬吸聲材料的設計難度很大。分形幾何學以非規則的幾何形態為研究對象,可以處理自然界和非線性系統中不光滑的具有自相似性且沒有特征長度的形狀和現象。因此,本文以分形幾何理論為基礎,對纖維多孔金屬材料的微觀孔隙結構進行描述,建立材料的流阻率與分形維數之間的聲學模型。

1 分形理論簡介

分形幾何學產生于20世紀70年代末80年代初,是一門以非規則幾何形態為研究對象的新興學科[5]。分形的概念是由美國學者Mandelbrot于1975年首先提出來的。在自然界中,大量的研究對象例如粗糙表面、海岸線、山脈以及島嶼等,都是無序和不規則的,它們不能用歐式幾何進行準確描述,這些對象被稱為分形,它們的維數不再是整數而是分數,稱為分形維數。這些分形對象滿足下式[6]

M(L)～LDf

(1)

式中:M可以是線的長度、平面面積、立方體體積或物體質量;L是測量尺度;Df是分形維數。式(1)表示分形對象的局部和整體具有精確的自相似性。然而,自然界具有精確自相似性的物體幾乎沒有,絕大部分研究對象都是統計自相似,因此本文中提到的分形維數均是指統計分形維數。

2 纖維多孔金屬的分形研究

纖維多孔金屬材料內部孔隙結構隨著纖維直徑、長度以及纖維的相對排列方式而異,實際燒結而成的纖維多孔金屬,其纖維的形狀與堆積均是無序的。圖1為纖維多孔金屬的宏觀和微觀結構圖。

(a)宏觀結構 (b)截面微觀結構圖1 纖維多孔金屬

纖維多孔金屬內部具有不同尺寸的孔,可以看作由一簇具有不同截面積的彎曲毛細管組成,假設毛細管的直徑為λ,沿著聲波傳播方向的長度為Lt(λ),參照毛細管長度為L0,則根據Wheatcraft等的研究[7]可知,纖維多孔金屬內部毛細管的直徑和長度滿足如下分形關系

Lt(λ)=λ1-DTL0DT

(2)

式中:Lt(λ)為毛細管的長度;λ為毛細管的直徑;L0為參照毛細管長度;DT為曲線分形維數,1

對于纖維多孔金屬材料內部結構來說,除了毛細管的彎曲特性以外,孔直徑大于λ的毛細管通道的數量也是一個重要參數。考慮垂直于聲波傳播方向的一個橫截面上分布著直徑從λmin到λmax的大小不一的孔,則直徑大于λ的毛細管通道數量可以表示為[8]

N(L≥λ)=(λmax/λ)Df

(3)

式中:N為毛細管通道數量;λmax為毛細管的最大直徑。考慮從λ到λ+dλ這一段孔的分布,孔的數量為

-dN=DfλmaxDfλ-(Df+1)dλ

(4)

式中:Df為孔面積分形維數。式(4)中負號表示毛細管通道的數量與孔的直徑成反比關系。

3 纖維多孔金屬的流阻率模型

3.1 空氣流量

聲波通過纖維多孔金屬材料傳播時,受到流阻率、聲壓以及空氣的黏性系數等影響,而流阻率與纖維多孔金屬的幾何結構即孔隙率、毛細管通道的曲線分形維數以及孔面積分形維數相關。下面將首先推導流經材料橫截面的空氣流量表達式,然后根據達西定律[9]來推導纖維多孔金屬的流阻率分形模型。

流經纖維多孔材料空氣的總流量為所有毛細管通道空氣流量的總和,因此首先考慮單根毛細管通道的空氣流量,根據Hagen-Poiseulle方程[10],流經單根毛細管通道的空氣流量表達式為

(5)

式中:μ為空氣黏性系數;ΔP為聲壓差;gq為孔形狀因子。

總的空氣流量Q可以通過對截面孔直徑從λmin到λmax范圍內的流量進行積分獲得[11],聯立式(2)、(4)和(5),可得

(6)

式中:10。根據纖維多孔金屬的分形特征,其孔徑尺寸應該滿足λmin/λmax～10-2,(λmin/λmax)Df=0[11],因此,0<(λmin/λmax)3+DT-Df<1。式(6)又可以寫成

(7)

上式即為聲波入射纖維多孔金屬時空氣流經纖維多孔介質的總流量表達式。

3.2 流阻率分形模型

根據達西定律,單位時間內流體流經多孔介質的總流量為

(8)

(9)

將式(7)、(8)代入(9),可得

(10)

通常情況下,為了便于計算,我們取L0=l,因此式(10)又可以寫為

(11)

從式(11)中可以看出,流阻率σ為分形維數DT、Df以及材料結構參數A、L0和λmax的函數。假設毛細管通道是直的,即DT=1,則式(11)又可以寫成

(12)

上式表明當聲波通過直的纖維多孔金屬毛細管通道時,流阻率是孔面積分形維數Df和孔的最大直徑λmax的函數,并且跟孔的最大尺寸的4次方成反比。

4 流阻率相關參數的計算

4.1 纖維多孔金屬最大平均孔徑λmax的計算

纖維多孔金屬材料可以看作由纖維束組成,而纖維束由纖維絲聚集形成,入射聲波在纖維束之間的孔隙傳播,如圖2所示。本文利用三角形孔隙近似表征纖維多孔金屬內部的微觀孔隙結構,纖維束呈三角形排列形成孔隙,取一個三角形結構單元進行分析。

圖2 纖維束間孔隙示意圖

對于圖2中所示三角形結構單元,孔隙率為

Φ=(A′-πR2/2)/A′

(13)

式中:A′為三角形單元總面積;R為纖維束的半徑。A′的表達式為

A′=πR2/[2(1-Φ)]

(14)

(15)

(16)

式中:dmax為孔隙最大直徑。將式(16)代入式(15),得到最大孔隙直徑dmax的表達式為

dmax=R[2Φ/(1-Φ)]1/2

(17)

式中:Φ為三角形結構單元的孔隙率。聲波在實際入射時,不僅要穿過纖維束之間的中心孔隙,而且還要穿過兩個相鄰的纖維束之間的狹縫,則孔隙最大平均直徑還要考慮狹縫的大小,ΔL的表達式為

ΔL=R[(2π)1/23-1/4(1-Φ)-1/2-2]

(18)

同時考慮纖維束之間的中心孔隙和相鄰兩個纖維束之間的狹縫,則單元結構孔隙的最大平均直徑λmax近似表示為[11]

λmax=(dmax+ΔL)/2

(19)

4.2 分形維數DT和Df

下面采用盒計數方法來確定分形維數DT和Df的值。

4.2.1 曲線分形維數DT對于纖維多孔金屬來說,其內部孔結構非常復雜,聲波不能沿著直線向前傳播。因此,計算聲波傳播的流阻率就需計算聲波傳播的毛細管通道的曲線分形維數DT。由于纖維多孔金屬內部聲波傳播路徑類似于各向異性介質中的彎曲流道[7],其分形維數可以利用盒計數法來進行計算。圖3所示為纖維多孔金屬介質中任意3條聲波傳播路徑,假定聲波從左向右傳播。

利用分形軟件FractalFox采用盒計數法分別對圖3中3條聲波預傳播路徑曲線分形維數DT進行計算,結果如圖4所示。

圖3 聲波在纖維多孔金屬內的預傳播路徑

4.2.2 孔面積分形維數Df對于纖維多孔金屬孔面積分形維數的計算,本文同樣采取盒計數法利用分形軟件FractalFox進行計算。首先取纖維多孔金屬垂直于聲波入射方向的一個微小截面,然后利用電子掃描顯微鏡獲得該截面的微觀結構圖,接著選取邊長為L的盒子計算不同L值覆蓋截面的盒子個數N(L),再以lnL為橫坐標,lnN(L)為縱坐標描出點(lnL,lnN(L)),最后由這些數據點的擬合線的斜率便可以估算出孔面積分形維數Df。

(a)DT=1.14

(b)DT=1.13

(c)DT=1.15圖4 3條聲波預傳播路徑的曲線分形維數DT

下面分別對纖維多孔金屬的3種試樣進行孔面積分形維數Df的計算,表1為試樣參數。

表1 纖維多孔金屬試樣參數

圖5為3種試樣的微觀結構圖,放大倍數為100倍。針對3種試樣,取盒計數法中盒子尺寸為3～70 mm,步長為10 mm,取自然對數,計算結果如圖6所示。

(a)試樣1 (b)試樣2

(c)試樣3圖5 纖維多孔金屬的微觀結構

(a)Df=1.43

(b)Df=1.50

(c)Df=1.54圖6 3種纖維多孔金屬試樣的孔面積分形維數Df

圖7 流阻率隨孔隙率的變化

5 模型預測結果分析

為了驗證本文流阻率分形模型的可靠性,分別將3種試樣的模型預測結果與文獻[12]中流阻率實驗測試值進行了對比,相關參數為:空氣黏性系數μ為1.8×10-5Pa·s(18 ℃);樣品長度L0為2.5×10-2m;曲線分形維數DT為1.14;孔面積分形維數Df為1.4;纖維束半徑R為3.6×10-4m;試樣1、試樣2和試樣3的孔形狀因子gq取為1.11。圖7給出了孔隙率分別為80%、85%和90%的3種纖維多孔金屬試驗樣品的流阻率隨孔隙率的變化曲線。表2中σcal為流阻率計算值,σexp為流阻率測試值,由表2可見,3種樣品流阻率的相對偏差分別為13.9%、7.6%和10.4%,理論計算結果與實驗結果吻合得比較好。但是,本文流阻率分形模型是以三角形孔隙近似表征纖維多孔金屬材料內部的微觀孔結構,尚存在一定誤差,后續研究將進一步考慮對纖維多孔金屬材料的真實微觀結構進行表征,逐步提高模型的估計精度。

表2 流阻率實驗結果和計算結果

為了分析孔隙率Φ、曲線分形維數DT和孔面積分形維數Df對聲波在纖維多孔金屬中傳播時流阻率的影響,分別取DT=1.14以及Df=1.5,計算了流阻率隨孔隙率的變化曲線,如圖8所示。由圖8a可見,聲波在纖維多孔金屬中傳播時,當聲波傳播的孔通道曲線分形維數DT(DT=1.14)一定時,材料的流阻率隨著孔隙率的增大而減小,當孔隙率一定時,流阻率隨著孔面積分形維數的增大而減小。這是因為當孔面積分形維數和孔隙率增大時,纖維介質中總的孔隙面積也會增大,因此流阻率減小。在圖8b中,當孔面積分形維數Df(Df=1.5)一定時,材料的流阻率隨著孔隙率的增大而減小,而孔隙率一定時,流阻率隨著曲線分形維數的增大而增大。孔隙率和孔面積分形維數一定,當纖維多孔金屬的曲線分形維數增大時,聲波在介質中傳播的路徑更曲折,因此流阻率會增大。

(a)σ隨Φ及Df的變化

(b)σ隨Φ及DT的變化圖8 σ隨Φ及分形維數的變化

通過本文所建立的流阻率分形理論模型,可以對纖維多孔金屬吸聲材料的微觀孔隙結構進行設計。根據流阻率與孔隙率的變化關系,可在制備纖維吸聲材料試樣時通過控制孔隙率的大小來獲得相應的流阻率變化范圍。另外,通過纖維絲的排列可以獲得所要求的纖維束尺寸和孔徑,從而得到具體的孔面積分形維數,進而估算出流阻率大小。最后,可以對燒結制備纖維吸聲材料時每層纖維的疏密程度進行控制,以得到聲波在吸聲材料中的傳播路徑,通過流阻率與曲線分形維數的變化關系可以預估流阻率的大小。在實際應用中,可以根據具體降噪的工況要求,按照上述方法來設計相應的纖維多孔金屬吸聲材料。

6 結 論

本文基于分形幾何理論和流體力學理論對聲波在纖維多孔金屬介質中傳播的流阻率進行了研究,建立了流阻率分形模型。模型理論計算值與實驗測試值的最大偏差為13.9%,最小偏差為7.6%,平均偏差為10.6%,驗證了理論模型的可靠性。同時,在此模型的基礎上對相關參數的影響進行了研究,纖維多孔金屬材料流阻率隨著孔隙率的增大而減小;材料的孔隙率和曲線分形維數一定時,流阻率隨著孔面積分形維數的增大而減小;當孔隙率和孔面積分形維數一定時,流阻率隨著曲線分形維數的增大而增大。本文研究工作為纖維多孔金屬吸聲材料的微觀結構設計提供了一定的依據。

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(編輯 武紅江)

A Fractal Model of Flow Resistivity for Fibrous Porous Metals

CHEN Weihua1,2, CHEN Tianning1, WANG Xiaopeng1, ZHANG Chao1

(1.School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2.College of Mechano-Electronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

A fractal model of flow resistivity is proposed to investigate the relations of flow resistivity with some geometric parameters of fibrous porous metals such as porosity, pore diameter and tortuosity, and to obtain a theoretical guidance for the design of sound-absorption materials.First of all, a mathematical expression of the flowQis obtained based on the theory of fractal geometry and fluid mechanics, and the expression is a function of the maximal mean diameter of poreλmax, the fractal dimensionDTof tortuosity and the pore area fractal dimensionDf.Then, the fractal model of flow resistivity is acquired in terms of the flow resistivity formula.The maximum error, the minimum error and the mean error between experimental results and calculation results from the model are 13.9 %, 7.6 % and 10.6 %, respectively, which verifies the accuracy of the model.The calculation results show that the flow resistivity decreases as the porosityΦincreases.When the porosityΦand the tortuosity fractal dimensionDTare fixed, the flow resistivity decreases as the pore area fractal dimensionDfincreases.However, when the porosityΦand the pore area fractal dimensionDfare fixed, the flow resistivity increases as the tortuosity fractal dimensionDTincreases.The relations between the flow resistivity and the geometric parameters are revealed more clearly by the fractal flow resistivity model than by the empirical model.It can be concluded that the results provide a reliable and theoretical guidance for the design of sound-absorption materials.

flow resistivity; fractal model; tortuosity fractal dimension; pore area fractal dimension

2014-11-23。 作者簡介:陳衛華(1976—),男,在職博士生,蘭州理工大學講師;王小鵬(通信作者),男,副教授。 基金項目:國家重點基礎研究發展規劃資助項目(2011CB610306);陜西省自然科學基金資助項目(2015JM5154)。

時間:2015-03-23

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150323.1713.001.html

10.7652/xjtuxb201506021

TB535

A

0253-987X(2015)06-0132-06