數(shù)學(xué)軟件Mathematica在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

孔祥強(qiáng)

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274015）

Mathematica軟件是一款集符號(hào)計(jì)算、數(shù)值運(yùn)算和繪圖功能于一身的數(shù)學(xué)類軟件.其主要特點(diǎn)有：(1)入門簡(jiǎn)單，命令多樣，易操作；(2)軟件的編程語(yǔ)言簡(jiǎn)單，便于編程；(3)強(qiáng)大的繪圖功能，可繪制平面圖形和空間圖形；(4)可與MATLAB軟件、Maple軟件之間互相調(diào)用[1].高等數(shù)學(xué)是高等院校學(xué)生重要的基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)生專業(yè)課的學(xué)習(xí)有很好的輔助作用，而高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容比較抽象，概念較難理解，計(jì)算較繁瑣，使得部分同學(xué)不知如何學(xué)這門課.為了提高學(xué)習(xí)的積極性，調(diào)動(dòng)起學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，在大學(xué)課堂里引入數(shù)學(xué)軟件是一種非常好的教學(xué)模式.通過(guò)Mathematica軟件，將抽象的內(nèi)容以圖形的方式展現(xiàn)出來(lái)，方便觀察或驗(yàn)證一些規(guī)律和結(jié)論[2].Mathematica軟件學(xué)生版的出現(xiàn)，學(xué)生們使用起來(lái)會(huì)更加方便[3].

文章通過(guò)案例，說(shuō)明了軟件在函數(shù)極值、立體體積、中值定理和二次型中的具體應(yīng)用.

1 Mathematica軟件在求函數(shù)極值中的應(yīng)用

一元函數(shù)求極值，主要的是利用一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，一般計(jì)算量不大.而二元函數(shù)求極值，用到二階偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算量大.利用軟件，可快速求出駐點(diǎn)，判斷在二階偏導(dǎo)處的值，得出極值點(diǎn)，通過(guò)作圖，直觀理解所求的極值點(diǎn)在圖形上的位置，加深對(duì)多元函數(shù)極值點(diǎn)的理解.

案例1 求s(x,y)=x3-2y3+6x2+3y2+9x-9的極值，并通過(guò)作圖對(duì)結(jié)果進(jìn)行說(shuō)明.源程序如下

求出駐點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)，(-3,1)，(-1,0)，(-1,1).

求出在駐點(diǎn)處的AC-B2的值、A的值、s(x,y)的值為

{-36,-6,-9}，{36,-6,-8}，{36,6,-13}，{-36,6,-12}

在點(diǎn)(-3,0)處，AC-B2=-36<0，故不是極值點(diǎn)；

在點(diǎn)(-3,1)處，AC-B2=36>0，故是極值點(diǎn)，又 A=-6<0，是極大值點(diǎn)；

在點(diǎn)(-1,0)處，AC-B2=36>0，故是極值點(diǎn)，又 A=6>0，是極小值點(diǎn)；

在點(diǎn)(-1,1)處，AC-B2=-36<0，故不是極值點(diǎn).

因此s(x,y)在(-3,1)處取得極大值，為-8；在(-1,0)處取得極小值，為-13.

作出函數(shù)s(x,y)的圖形

從圖1明顯得出，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).在Mathematica窗口下，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊圖形，任意改變視角，可方便觀察兩個(gè)極值點(diǎn)的位置，比較極值點(diǎn)和周圍點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，深刻理解極值的概念.

除了上面的方法，還可用等高線研究s(x,y)的極值.調(diào)用ContourPlot命令，

圖1 s(x,y)=x3-2y3+6x2+3y2+9x-9圖形

圖2 函數(shù)s(x,y)的等高線圖

從上圖看出，s(x,y)有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為(-3,1)和(-1,0)，驗(yàn)證了所求的結(jié)論是正確的.

2 Mathematica軟件在求空間立體體積中的應(yīng)用

要求空間立體的體積，首先應(yīng)作出立體圖形，再選擇用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo).利用軟件，可方便作圖.

案例2 求由平面x=0,y=0,z=0,x+y=-1及曲面z=8-3x2-3y2所圍成的立體Ω的體積，并作圖.

由于Ω為空間立體，首先應(yīng)該清楚Ω的形狀和在坐標(biāo)面上的投影，然后用二重積分來(lái)求Ω的體積.調(diào)用Mathematica軟件的ParametricPlot3D命令，作出三個(gè)坐標(biāo)面x-0,y=0,z=0、柱面x+y=-1、拋物面z=8-3x2-3y2的圖形.程序如下

圖3 立體Ω的圖形

Ω在坐標(biāo)面x=0上的投影為直角三角形，見(jiàn)圖4.

圖4 立體Ω在xoy面上的投影

分析清楚Ω的空間形狀和在坐標(biāo)面上的投影后，利用Integrate命令，就可求出Ω的體積，

3 Mathematica軟件在中值定理中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中的泰勒定理非常抽象，較難掌握.麥克勞林公式作為泰勒定理的特例[4]，一般考察函數(shù)的麥克勞林展式.

若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0=0的某領(lǐng)域內(nèi)U(x0)內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，f(x)在x0=0處的n階麥克勞林展式為

調(diào)用Series命令，得展開(kāi)式.

調(diào)用Plot命令，作出圖形.

圖5 f(x)=1/(1+x)2的各階麥克勞林展開(kāi)式

在Mathematica窗口下，可動(dòng)態(tài)觀察各階曲線與函數(shù)f(x)=1/(1+x)2的逼近程度，階數(shù)越高，和函數(shù)的逼近程度越好，誤差很小.

4 Mathematica軟件在二次型中的應(yīng)用

二次型是大學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其中化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是重要的題型.這類題目的特點(diǎn)是用到的知識(shí)點(diǎn)多，計(jì)算繁瑣.利用Mathematica軟件和多媒體技術(shù)，作起來(lái)非常輕松.

案例4 用正交變換的方法化二次型f(x1,x2,x3)=x12-2x22-2x32-4x1x2+4x1x3+8x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并指出f(x1,x2,x3)=1表示何種二次曲面[5].

針對(duì)這種題型，一般先求出二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣A，再求A的所有特征值和屬于每一個(gè)特征值的特征向量，然后用Schmidt正交化過(guò)程[6]，將特征向量正交化、單位化，從而得到正交矩陣P，正交變換為x=Py，最終得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.這個(gè)計(jì)算過(guò)程非常復(fù)雜，稍有不慎就會(huì)出錯(cuò).引入Mathematica軟件，調(diào)用Eigenvalues和Eigenvectors命令分別得特征值和特征向量，用Orthogonalize命令進(jìn)行Schmidt正交化過(guò)程.

故二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f(x1,x2,x3)=-7y12+2y22+2y32，f(x1,x2,x3)=1即-7y12+2y22+2y32=1，表示單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.

通過(guò)Mathematica軟件中幾個(gè)簡(jiǎn)單的命令，避免了冗長(zhǎng)繁雜的計(jì)算，快速、高效的解決了問(wèn)題.數(shù)學(xué)軟件與多媒體技術(shù)結(jié)合的教學(xué)模式，能增加學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性，更能深刻的理解所學(xué)的知識(shí)，掌握解題的整體框架結(jié)構(gòu)，全面把握問(wèn)題.

5 結(jié)語(yǔ)

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中引入Mathematica軟件，加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)概念的直觀理解，真正的學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué).華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”，可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合的重要性，而軟件就是通過(guò)圖形深刻揭示表達(dá)式中隱含的數(shù)學(xué)聯(lián)系.軟件的演示功能，活躍了課堂氣氛，增進(jìn)了師生的交流，促進(jìn)了學(xué)生的積極思考，激發(fā)了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.

〔1〕李尚志，陳發(fā)來(lái).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2004.10-186.

〔2〕李士恒.Mathematica在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J].中央民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，23（3）：14-17.

〔3〕許和乾，杜煒.基于數(shù)學(xué)軟件Mathematica的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014,32(3):76-78.

〔4〕李偉.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2011.131-160.

〔5〕徐仲，陸全，張凱院，等.高等代數(shù)考研教案[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2009.200-271.

〔6〕王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2013.355-393.

〔7〕馬千里.Mathematica軟件在微積分教學(xué)中的應(yīng)用[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，37（Sup）:135-136.