利用Matlab軟件求解積分問題

楊靜俐

（泉州師范學院 軟件學院，福建 泉州 352000）

積分的計算是高等數學中非常重要的內容，是學習后續課程最主要的工具，掌握積分的計算對二重積分、三重積分及微分方程的學習均有很大的幫助.對于不定積分的求解問題，學生能理解它是微分（導數）的逆運算，但需要學生逆向思維，將不定積分的計算公式理解為微分（導數）的逆運算，對一些數學基礎不好的學生來說，比較難以掌握.而定積分的計算，主要利用不定積分的換元積分法和分部積分法，采用牛頓-萊布尼茨公式求出其原函數，從而求出定積分的值[1].

對于常用的數學軟件，我們比較熟悉的有Maple、Mathematics和Matlab.而對于Matlab軟件，由于它具有強大的數值計算功能和繪圖功能，同時它的操作界面友好，可視化技術強，被眾多高校所采用[2].本文利用Matlab軟件求解積分，通過可視化技術，同時與傳統的求解積分的方法進行比較，讓學生明白利用Matlab軟件可以快速簡捷的求解不定積分和定積分.

1 利用Matlab軟件求解不定積分

如果已知某一個函數F(x)的導數為f(x)，如何求F(x)？根據已有的理論知識，F(x)稱為f(x)的一個原函數，而且f(x)存在無窮多個原函數，這無窮多個原函數之間相差一個常數C.把這無窮多個原函數記為f(x)的不定積分.具體記為 乙f(x)dx=F(x)+C，此公式表明不定積分實質上是求微分（導數）的逆運算.在介紹求不定積分的計算方法時，幾乎所有的教材都介紹了利用基本積分公式求解不定積分和求不定積分的換元積分法和分部積分法[3-6].本文利用Matlab軟件求解不定積分，不管被積函數具有什么特點，只需要用一個命令就可以求解出不定積分.

現在介紹利用Matlab軟件求解不定積分的命令.利用Matlab軟件求解不定積分的庫函數為int，.具體操作命令為：int(f,x)：f指被積函數，x為積分變量，其中積分變量x也可以省略.但是需要注意的是：利用Matlab軟件求解出的不定積分只包含被積函數f的一個原函數，要表示其所有原函數，需要編程人員自己加上常數C.

輸入命令：

>>s y m s x；

>>i n t(x^4,x)

顯示結果：

>>ans=1/5*x^5

輸入命令：

>>s y m s x；

>>i n t(e x p(x)*s i n(e x p(x)))

顯示結果：

>>a n s=-c o s(e x p(x))

輸入命令：

>>syms x；

>>int(1/sqrt(x^2-4*x-5),x)

顯示結果：

>>ans=log(x-2+(x^2-4*x-5)^(1/2))

需要計算五部，比較復雜，但是用Matlab軟件求解，只需要輸入這樣一個命令int(x^2*log(x),x)，按回車鍵，結果就出來了.具體的程序編寫為：

輸入命令：

>>syms x；

>>int(x^2*log(x),x)

顯示結果：

>>ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3

2 利用Matlab軟件求解不定積分

絕大部分高等數學教材在介紹定積分的概念時，首先給出兩個引例，求解曲邊梯形的面積和變速直線運動物體的路程，利用“微元法”的思想，通過分割、近似、求和、取極限四個步驟，得出曲邊梯形的面積和和變速直線運動物體的路程都是一個和式的極限.剔除它的實際背景，抽象出其數學模型，將這樣一個和式的極限定義為定積分.具體表示為：

下面介紹利用Matlab求定積分的命令.它的庫函數仍然是int.具體命令為int(f,x,a,b)，與求解不定積分的命令比較，多了積分下限a和積分上限b.然后再介紹一個命令vpa，它用來求解定積分的近似值.因為有時候不定積分的結果無法用初等函數表示，這樣它的定積分的結果也無法用解析解表示.可以用vpa這個命令求出其近似解.而在工程中，很多時候并不要求一定要求出其精確解，只需用近似解即可.

下面來介紹關于定積分的應用.定積分在幾何上的應用主要是求解平面圖形的面積和旋轉體的體積.在中學數學中，學習了一些比較簡單的圖形的面積公式，但是不知道橢圓的面積公式.那是因為橢圓的面積無法用初等數學的知識求解.但是，在學習了定積分的知識之后，就可以求解橢圓的面積了.來看例子：

圖1

利用Matlab軟件的繪圖功能，可以繪制出橢圓的圖形如圖1.

根據圖形可以發現，橢圓的圖形是關于兩條對稱軸對稱的，那么它的總面積就是等于第一象限面積的4倍，而它的第一象限的部分為一個退化的曲邊梯形，而定積分的幾何意義即為曲邊梯形的面積，選取x為積分變量，根據橢圓函數關系式，得，那么橢圓的總面積就為

利用Matlab軟件求解

輸入命令：

>>syms x y a b；

>>4*int(b/a*sqrt(a^2-x^2),x,0,a)

顯示結果：

>>b/a*(a^2)^(1/2)*pi/(1/a^2)^(1/2)%表示πab

而任何一個圖形，都可以分割成一些規則的圖形和若干個曲邊梯形.會求解曲邊梯形的面積，也就可以求解出任何一個圖形的面積.而求平面圖形的面積在工程中應用非常廣泛，這也讓學生能更進一步的理解數學知識在工程中有非常廣泛的應用，激發他們學習數學的興趣.

下面來介紹最后一個例題.也是定積分在幾何上的應用，求解旋轉體的體積.

橢圓繞x軸旋轉一周，圍成一個橢球.在中學數學中，只學習了一些規則幾何體的體積，對于橢球的體積，不知道怎么求解.首先利用Matlab軟件的三維繪圖功能繪制橢球圖形如圖2.

圖2

根據理論知識的學習，平面圖形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體的體積公式為

則所要求的橢球體的體積為

利用Matlab軟件求解

輸入命令：

>>syms x y a b；

>>pi*int(b^2/a^2*(a^2-x^2),x,-a,a)顯示結果：

>>4/3*pi*b^2*a%表示4/3πab2

3 結束語

Matab軟件不僅可以求解常用的不定積分與定積分，對于一些廣義積分，同樣可以求解，如的積分結果是誤差函數，無法用初等函數表示.但仍然可以利用Matlab軟件求解廣義積分，在Matlab軟件中，用inf表示無窮大，所以只需要把積分下限改用-inf表示，把積分上限改用+inf表示即可，求出其積分結果為，這是一個泊松積分，在概率論中泊松分布和正態分布中應用非常廣泛.而如果要用理論知識求解這個定積分，需要學習二重積分之后，才能求解.同時Matlab軟件還可以求解二重積分，其庫函數仍然是int.

〔1〕李水育.高等數學[M].北京：人民郵電出版社，2013.10.

〔2〕楊靜俐.提高高等數學教學質量的對策[J].佳木斯教育學院學報，2013,11(133)：201.

〔3〕張書欣.利用MATLAB求解數值積分[J].中國商界,2010,11(212)：464.

〔4〕朱孝春.一元函數不定積分中換元積分法與分部積分發的教學研究[J].數學教學研究,2011,11(30)：51-53,56.

〔5〕高卓瑪.一道不定積分題的多種換元積分解法[J].青海大學學報（自然科學版）,2006,5(24)：71-72.

〔6〕周在瑩.第二類換元積分法中三角函數換元的簡便處理[J].湖南理工學院學報（自然科學版）,2011,12(24)：25-28.