高等數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法

夏 靜

（巢湖學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 238000）

在高等數(shù)學(xué)中，不等式證明的學(xué)習(xí)是一項重點和難點內(nèi)容.由于其方法靈活多樣，技巧性較高，使得不等式的證明成為各類考試的熱點題型[1].

1 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

定理1 函數(shù)單調(diào)性判定定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)：

（1）如果在(a,b)內(nèi) f'(x)>0，那么函數(shù) y=f(x)在[a,b]單調(diào)增加；

（2）如果在(a,b)內(nèi) f'(x)<0，那么函數(shù) y=f(x)在[a,b]單調(diào)減少[2]；

例1 證明：當(dāng)x>0時，x>ln(1+x)

證明 設(shè)f(x)=x-ln(1+x)，由于當(dāng)x>0時，有

又由于f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(x)在[0,+∞)上嚴(yán)格遞增，從而當(dāng)x>0時，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0，即x>ln(1+x).

由于是利用導(dǎo)數(shù)來說明函數(shù)的單調(diào)性，再來證明不等式，所以不等式兩邊的函數(shù)必須可導(dǎo)，對所構(gòu)造的輔助函數(shù)應(yīng)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，然后通過在開區(qū)間內(nèi)的符號來判斷 在閉區(qū)間上的單調(diào)性.

2 利用函數(shù)的極值和最值

例2 試證明當(dāng)x>0時，有x5>5x+4

分析 由于f(x)在(0,+∞)上不是單調(diào)函數(shù)（因?qū)θ我鈞1,x2>0,且 x1>x2，f(x1)-f(x2)=(x15-x25)-5(x1-x2)，不能判斷 f(x)的符號），所以不能用可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，但所設(shè)函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則可采用函數(shù)的極值方法試之.

證明 構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=x5-5x-4，x2>0，則有：

令f;(x)=0，解得x=±1，其中只有x=1在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)，由，有 f(x)在 x=1點連續(xù)，因當(dāng) 01時，f'(x)>0，則 f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù)；所以f(x)在x=1處取得極小值，即f(1)=0為區(qū)間(0,+∞)上的最小值，所以當(dāng) x>0，有 f(x)≥f(1)=0.故x5-5x-4≥0(x>0)，即 x5≥5x+4(x>0).

3 利用拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理反映了函數(shù)或函數(shù)增量和可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系[3].

證明 構(gòu)造函數(shù)f(t)=lnt，因f(t)在[1，1+x](x>0)上連續(xù)，在（1，1+x）上可導(dǎo)，f(t)在[1，1+x](x>0)上滿足拉格朗日條件，于是存在 ξ∈(1,1+x)，使

注：當(dāng)所證的不等式中含有函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與一階導(dǎo)數(shù)時，可試用拉格朗日中值定理來證明.

4 利用函數(shù)的凸凹性

函數(shù)的凸凹性定理反映了二階可導(dǎo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號與凸凹函數(shù)之間的關(guān)系[4].

將不等式寫成函數(shù)凹凸性定義的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)，并討論f(x)在所給區(qū)間上的凸凹性，從而得證.

分析 不等式等價于：

不等式兩邊含有相同“形式”：tlnt，可設(shè)輔助函數(shù)f(t)=tlnt(t>0)，因此原不等式可化為要證，只要證明f(t)在(0,+∞)上為凸函數(shù)，即證f(t)在t>0時f"(t)<0.

證明 設(shè) f(t)=tlnt(t>0)，有 f'(x)=lnt+1，則 f(t)在(0,+∞)為凸函數(shù).對任意 x>0，y>0（x≠y），有，因此

注：當(dāng)不等式可寫成或改寫成凸函數(shù)定義的形式或能夠構(gòu)造凸函數(shù)的不等式時適用.

5 利用泰勒公式

泰勒公式反映了函數(shù)與多項式之間的關(guān)系，利用泰勒公式證明不等式的一般方法步驟為：

（1）根據(jù)已知條件，圍繞證明目標(biāo)，選取恰當(dāng)?shù)狞c將函數(shù)在該點展成泰勒展式；

（2）根據(jù)已知條件，向著有利于證明目標(biāo)不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶幚恚钡娇梢越Y(jié)合已知條件證出不等式為止[5].

例 5 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)=f(1)，且|f"(x)|≤2，試證明 f'(x)≤1.

分析 根據(jù)題設(shè)條件，f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，且函數(shù)值f(0)=f(1)，|f"(x)|≤2，可寫出函數(shù)f(x)在 x處的一階泰勒公式，并取考察點0或1，利用相應(yīng)的泰勒公式，對f'(x)作估計.

證明 取0≤x≤1

由于f(0)=f(1)，則將以上兩式做差，整理得：

注：當(dāng)遇到含有導(dǎo)數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)，有函數(shù)增量與高階導(dǎo)數(shù)，有要證的是導(dǎo)數(shù)（一階或二階）不等式時，可考慮利用泰勒公式來證明有關(guān)的不等式.

6 利用冪級數(shù)展開式

根據(jù)幾個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式證明.

幾個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下[6]：

在某些初等函數(shù)冪級數(shù)的展開式中添加或刪除某些項時，可很快證明出某些含冪級數(shù)的不等式.

則要證不等式左邊的一般項為2xn，右邊一般為因此當(dāng)

注：當(dāng)不等式中含有上面幾個重要初等函數(shù)之一時，可考慮用冪級數(shù)展開式法來證明.

以上六種方法是高等數(shù)學(xué)中證明不等式的一些常用方法，不等式的證明問題靈活多變，這就需要我們在學(xué)習(xí)過程中要具體的問題具體分析，深刻掌握每種題型內(nèi)在特征，學(xué)會舉一反三，觸類旁通，靈活運用各種方法和技巧.

〔1〕馬德炎．常見的代數(shù)不等式的證明[J]．高等數(shù)學(xué)研究,2006（5）：27-29.

〔2〕華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．北京：高等教育出版社,1991．

〔3〕盛祥耀．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社,1992．

〔4〕張國玳．高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)——內(nèi)容、方法、思路、注釋[M]．北京：機械工業(yè)出版社,2003．

〔5〕趙樹嫄．微積分[M]．北京：中國人民大學(xué)出版社,1999.

〔6〕饒漢昌，芳明一.全日制普通高中數(shù)學(xué)教材第三冊（選修Ⅱ）[M].北京：人民教育出版社，2007.