生產商提供價格折扣的供應鏈合作廣告模型

陶 勝，劉慧琴

(閩南理工學院信息管理系，福建石獅362700)

Newsvendor型產品供應鏈協調問題是當今學界研究的熱點問題，以往研究者在建模過程中均沒有考慮廣告費用，或者考慮了廣告費用只是一方投入而另一方不愿投入的方式，這不滿足市場競爭的需求，現實社會中廣告費用都是由雙方共同承擔的，因此應對合作廣告費用問題進行研究.謝金星等人(2006)［1］不僅考慮了制造商與銷售商之間的Stackelberg合作廣告博弈而且還考慮了制造商與銷售商之間的垂直Nash博弈.Jin Feng Yue等人(2006)［2］將上述學者的工作推廣到允許制造商提供價格折扣以刺激需求的情形，其假設了需求函數不僅與制造商和銷售商各自的廣告投入有關，而且還與制造商給予顧客的直接價格折扣有關.孫衍林(2007)［3］考慮在隨機需求條件下，供應鏈上下游無合作時，需求方承擔全部庫存風險，其個體理性決策無法實現供應鏈的整體優化.Berk(2007)［4］根據缺貨需求概率密度函數服從貝葉斯分布研究Newsvendor型產品，Lau A H和Lau H S(2007)［5］討論的是價格折扣方面問題;Weng Z K(2004)［6］就制造商與銷售商之間訂貨量的協調問題作了相關研究;王圣東(2008)［8］首次將直營店的模式引入到Newsvendor型產品合作廣告問題中，給出了一種協調策略，使得制造商和銷售商都愿意達成廣告合作.

1 模型的建立與求解

本文考慮了由單一生產商與單一銷售商組成的兩層供應鏈，生產商生產某種Newsvendor型產品給銷售商.在主從博弈假定下，生產商一方面要分攤銷售商的一部分地方廣告費用，另一方面要直接提供價格折扣給顧客，分析得出生產商最優地方廣告費用的分攤比例以及最優價格折扣率的范圍，并通過算法算出最優價格折扣率以及雙方的最優利潤.

關于Newsvendor型產品需求率，可從以下兩方面來考慮:第一，需求率的不確定性;第二，廣告宣傳的影響，即與生產商的品牌廣告投入和銷售商的地方促銷廣告支出大小有關.此外，根據市場調查可知，若這兩家的廣告費用投入的越多，則消費者對該產品品牌的了解就越多，從而促使潛在消費者來購買該產品.但潛在消費者也是有限的，所以靠廣告投入來影響需求不可能是無限增加的，最終會逼近于某個上界值.因此，假設Newsvendor型物品的期望需求是關于m和r增加的凹函數，其他研究者均采用了如下需求函數.

D(m，r)= α－βr－um－v.(1)

這里D(m，r)是關于r和m的不減函數，當地方促銷廣告費或品牌廣告費用逼近零時或者兩者同時逼近零時，則需求量D逼近常數α.

上述這種需求形式能全面地反映廣告效應對需求的影響.但生產商為了提高利潤，就會將品牌廣告費用、地方促銷費用、價格折扣三者聯系起來加以考慮.本模型考慮生產商是直接提供價格折扣給消費者以刺激需求，設需求函數為

即需求的概率密度函數可表示為

則銷售商的期望利潤為

生產商的期望利潤為

整個供應鏈的期望利潤為

在獨立決策下，生產商與銷售商將遵從以生產商為主的Stackelberg博弈.因此生產商要先告知銷售商，他所承擔的品牌廣告費用m以及地方促銷廣告費比例t;而銷售商則要根據生產商的決策來確定使利潤最大化的最優地方廣告投入r以及最優訂貨量Q*.

當Q∈(0，+∞)時，有

即E(ΠR(r，Q))是關于變量Q是上凸函數，則存在唯一的最優訂貨量Q*，滿足方程E(ΠR(r，Q))Q=0.

則有

于是

Q*=D(m，r，ε)Φ，其中

將(10)代入(4)，可得

又因為

令

即E(ΠR(r))是關于地方促銷廣告費用r的凹函數.

而

接下來將給出生產商的最優策略.先將(2)和(10)代入(5)，有

可得

又由

將(14)代入(15)，則有

令

將(17)、(18)代入(10)、(12)，則有

Q*=S(m*(ε)，r*(ε)，ε)Φ.則有

若 m*(ε)，r*(ε)都是關于 ε 的增函數，則令h(ε)=(1－ε)－e［(w－εP0－ c)Φ－Au］，有即 e［(w －c)Φ －Au］－P0Φ －P0Φε(1 －e)＞ 0.

則若e＜1時，有

若e＞1時，有

當0≤t*＜1時，有

生產商分攤地方促銷廣告費用［1－t*(ε)］r*(ε)是關于ε的單調遞增函數.因此，當生產商向消費者提供價格折扣時，銷售商就會增加地方促銷廣告費用.

生產商愿意向消費者提供價格折扣主要基于以下因素:擴大市場占有份額;迫于同行業的競爭壓力等.接下來，我們將研究生產商取得最大利潤的價格折扣率ε*，為接近現實情況，下面只考慮在0≤t*＜1的情形.

證明 因為

而函數E*(ΠM(ε))在ε=0的導數為

又因為0＜ε＜1，則有

因此，存在唯一的價格折扣率ε*使得制造商的利潤達到最大.

在滿足定理1的條件下，生產商需要決定當價格折扣率ε是多少時自己能獲得最大利潤，可由方程求出ε*.但由于計算比較復雜，這里我們僅能得到ε*的一個取值范圍.

定理2 在定理1的條件下，ε*可被限制在ε1≤ε*≤ε2，其中

證明 因為

下面給出求解ε*的算法:

步驟1 在定理1的條件下，如果價格折扣能夠使得制造商的利潤增加，進入下一步，否則，ε*=0;

步驟2 定義θ為任意小的正常數，令ε=ε1;

步驟3 通過(21)計算E*(ΠM(ε));

步驟4 如果ε+θ＞ε2，令ε*=ε停止.否則，通過(21)計算E*(ΠM(ε+θ));

步驟5 如果E*(ΠM(ε+θ))≤E*(ΠM(ε))，令ε*=ε停止.否則，令ε =ε+θ，進入步驟4.

上述算法將會得到一個價格折扣率，它通過θ的值得到最優的價格折扣率ε*.然后將ε*代替ε代入(17)、(18)、(19)，得到生產商的最優品牌廣告投入、地方促銷廣告費用、生產商的地方促銷費用的投入比例.類似地，將ε*代替ε代入(4)和(21)，我們能分別得到生產商和銷售商的最優利潤，以及整個供應鏈的利潤.

2 應用舉例

為說明本模型的現實性，現設模型中的參數值如下:c=40，w=60，P0=105，s=10，α =5000，β =4*107，u=0.4，v=0.55，e=2，且 X 是期望為 1.

利用本模型提供的算法可得，在制造商與銷售商的獨立決策下的最優策略及有關的期望利潤值是:ε*=0.15760，t*=0.17912，r*=18837.65，m*=25901.78，Q*=1578.71，E*(ΠM)=2371.52，E*(ΠR)=3789.73，E*(Πs)=6161.25.

3 結語

本文提出生產商分擔銷售商的地方促銷廣告費用，且生產商直接讓利于消費者，并證明了生產商的利潤存在唯一最大值，由數值計算能夠得出最優價格折扣率和該模型問題中的其他最優值，對解決實際問題有一定的參考價值.

［1］Xie J，Ai S.A note on“Cooperative advertising，game theory and manufacturer－ retailer supply chains”［J］.Omega，2006，34(5):501－504.

［2］Yue J，Austin J，Wang M C，et al.Coordination of cooperative advertising in a two－level supply chain when manufacturer offers discount［J］.European Journal of Operational Research，2006，168(1):65 －85.

［3］孫衍林，徐學軍.單周期隨機需求下供應鏈庫存協調機制設計［J］.工業工程，2007，10(3):15－19.

［4］Berk，et al.Bayesian demand updating in the lost sales newsvendor problem:A two moment approximation［J］.European of Operational Research，2007，182(1):256 －277.

［5］Lau A H，Lau H S，Wang J C.Designing a quantity discount scheme for a newsvendor type product with numerous heterogeneous retailers［J］.European of Operational Research，2007，180(2):585 －600.

［6］Weng Z K.Coordinating order quantities between the manufacturer and the buyer:A generalized newsvendor model［J］.European of Operational Research，2004，156(1):148 －161.

［7］王圣東，周永務.帶有兩種營銷模式的供應鏈合作廣告協調模型［J］.系統工程學報，2008，23(6):674－682.