黎曼可積的測(cè)度論觀點(diǎn)

2015-12-30 09:19:20徐艷艷陳廣貴

科技視界 2015年14期

徐艷艷陳廣貴田萍

（1.數(shù)字空間安全保障四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610039；2.西華大學(xué)理學(xué)院，四川成都610039）

16世紀(jì)，迫于力學(xué)和天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展需求而創(chuàng)立的微積分學(xué)不僅帶動(dòng)了各個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展，也催生出了全新的數(shù)學(xué)學(xué)科——分析學(xué)，然而在18世紀(jì)末19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們逐漸發(fā)現(xiàn)了分析學(xué)中的種種問(wèn)題，看似強(qiáng)大的黎曼積分[1,3,7,9]已不足以滿足數(shù)學(xué)家們的追求乃至基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展需求，從黎曼積分的定義可以清楚的發(fā)現(xiàn)，黎曼積分關(guān)心的是一個(gè)在有限區(qū)間上有界的函數(shù)對(duì)于一個(gè)與它緊密相關(guān)的式子的極限是否存在的問(wèn)題，而尋求極限存在與否的條件成了重中之重，這時(shí)一個(gè)顯而易見(jiàn)的問(wèn)題浮現(xiàn)出來(lái)：函數(shù)要滿足怎樣的條件該極限才會(huì)存在？換句話說(shuō)函數(shù)需要滿足何種條件才能夠黎曼可積？黎曼積分理論中雖給出了一個(gè)判別定理但卻幾乎無(wú)實(shí)用性可言.為此我們將借助建立在測(cè)度論基礎(chǔ)上的Lebesgue積分理論對(duì)一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的黎曼可積性做出判斷，力圖尋求一個(gè)更為簡(jiǎn)單實(shí)用的判別定理，并利用他們解決了一些在數(shù)學(xué)分析中不易解決的問(wèn)題，這便是本文的核心.下面我們就用測(cè)度論的觀點(diǎn)來(lái)敘述黎曼可積條件.

設(shè)在[a,b]上定義函數(shù)f(x)（不一定是有限的），設(shè)δffgt;0，函數(shù)f(x)在(x0-δ,x0+δ)上的下確界與上確界分別記以mδ(x0)與Mδ(x0),即

(在(x0-δ,x0+δ)中，自然只考慮也含在[a,b]中的點(diǎn))

顯然的是mδ(x0)≤f(x0)≤Mδ(x0).

當(dāng)δ變小時(shí)，mδ(x0)決不減少而Mδ(x0)決不增加.因此有如下極限：

并且顯然有mδ(x0)≤m(x0)≤f(x0)≤M(x0)≤Mδ(x0).

定義1 函數(shù)m(x)與M(x)分別稱為f(x)的貝爾下函數(shù)與貝爾上函數(shù).

引理1[2]設(shè)f(x)在x0是有限的.函數(shù)f(x)在x0為連續(xù)的必要且充分的條件是

m(x0)=M(x0).

推論1 貝爾函數(shù)m(x)及M(x)都是可測(cè)的.

事實(shí)上，分點(diǎn){x(ki)}的全體是一可數(shù)集，其測(cè)度為0.因此由引理2，φi(x)幾乎處處收斂于m(x).因?yàn)棣読(x)是階梯函數(shù)，所以是可測(cè)的，因此m(x)也是可測(cè)的.同樣M(x)也是可測(cè)的.

推論2 假如引理2中的函數(shù)是有界的，那么

因此φi(x)與m(x)都是(L)可積函數(shù).

在此基礎(chǔ)上我們對(duì)推論2作進(jìn)一步解釋.注意到

其中si是由第i個(gè)分法所得的達(dá)布小和.于是，推論2表示

另一方面，在分析課程中，已證明有界函數(shù)f(x)為黎曼可積的必要且充分條件是Si-si→0.

所以有界函數(shù)f(x)為黎曼可積的必要且充分條件是

由（1）式當(dāng)M(x)-m(x)等價(jià)于0時(shí)是成立的.反之，由于M(x)-m(x)≥0，從條件（1）得M(x)?m(x). （2）

于是，有界函數(shù)f(x)為黎曼可積的必要且充分條件是（2）式成立.

由此便得出本文的中心論點(diǎn)：

定理1 （Lebesgue判別法）[a,b]上的有界函數(shù)f(x)為(R)可積的必要且充分的條件是f(x)在[a,b]上是幾乎處處連續(xù)的.

下面再給出Lebesgue判別法的另一種描述：

定理2 如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)，則f(x)在[a,b]上黎曼可積的充分且必要條件是它在[a,b]中不連續(xù)點(diǎn)所構(gòu)成的集合E的測(cè)度為0.

由定理1我們可以看出僅有那些較為連續(xù)的函數(shù)才可能黎曼可積，這里的較為連續(xù)應(yīng)理解為不連續(xù)點(diǎn)的測(cè)度不得大于0的函數(shù).因此從某種角度來(lái)說(shuō)，黎曼積分是專門為“連續(xù)”函數(shù)而創(chuàng)造的.相比之下Lebesgue積分表現(xiàn)出了巨大的優(yōu)勢(shì)，不僅對(duì)于黎曼積分能夠?qū)崿F(xiàn)的“連續(xù)”函數(shù)進(jìn)行積分，而且對(duì)于許許多多黎曼積分無(wú)可奈何的函數(shù)都能實(shí)現(xiàn)積分，較為出名的一個(gè)例子便是對(duì)于狄利克雷函數(shù)的積分（對(duì)于這個(gè)函數(shù)我們將在接下來(lái)的內(nèi)容中作出詳細(xì)介紹），這是一個(gè)極為不連續(xù)甚至可以說(shuō)和連續(xù)定義毫不沾邊的函數(shù)，但卻可以十分輕易的對(duì)它實(shí)現(xiàn)Lebesgue積分.這是黎曼積分難以企及的.

Lebesgue積分較黎曼積分的范圍要廣很多，不難得出：凡有界可測(cè)函數(shù)依照Lebesgue的意義是可積的.特別是，許多與判定可積性有關(guān)的問(wèn)題，到此就迎刃而解，不像黎曼積分中那樣麻煩.

下面我們來(lái)看看測(cè)度論的觀點(diǎn)在黎曼積分中的應(yīng)用.

例1 狄利克雷函數(shù)