磁場下橢圓形量子線中電子與空穴的基態(tài)能量

磁場下橢圓形量子線中電子與空穴的基態(tài)能量

段秀芝1，王廣新2，常春蕊2

(1.華北理工大學(xué) 輕工學(xué)院，河北 唐山063000；2.華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山063000)

摘要：采用單電子近似方法求解薛定諤方程，研究了橢圓形量子線中電子和空穴的基態(tài)能量及其受磁場的影響.詳細(xì)描述了能量哈密頓算符在原子單位與國際單位之間的換算及處理粒子有效質(zhì)量失配及空穴有效質(zhì)量各向異性的一種方法，數(shù)值結(jié)果表明，磁場的約束使得粒子的基態(tài)能量增加，粒子的基態(tài)能量隨著橢圓坐標(biāo)中的參數(shù)的增大而減小.本文所用的方法可推廣到其他類似物理模型的薛定諤方程的求解中.

關(guān)鍵詞：磁場；橢圓形量子線；電子；空穴

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2015.05.004

中圖分類號：O469文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期:2015-01-25

基金項(xiàng)目：河北省科技計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(12210617)；華北理工大學(xué)輕工學(xué)院科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(qy201205)

Ground-state energy of electron and hole in elliptical

quantum wire in the presence of a magnetic field

DUAN Xiuzhi1, WANG Guangxin2, CHANG Chunrui2

(1.Qinggong College, North China University of Science and Technology, Tangshan 063000, China;

2.College of Science, North China University of Science and Technology, Tangshan 063000, China)

Abstract:Schrodinger equations of electron and hole in elliptical quantum wire have been solved by using single-active electron (SAE) approximation and the ground-state energies of electron and hole affected by the magnetic field applied along x-axis have been studied. The conversion of Hamilton between atomic unit and international unit and a method of dealing with the mass mismatch of the particles and anisotropic effective mass of the hole have been represented in detail. The confine of a magnetic field makes the ground-state energy of the particles increases and the ground-state energy of the particles decreases as the parameterin elliptic coordinate increases. The method used in this paper can be extended to the study of solving Schrodinger equation in other similar physical models.

Key words: magnetic field; elliptical quantum wire; electron; hole

第一作者：段秀芝(1982-)，女，河北邢臺人，華北理工大學(xué)講師，主要從事半導(dǎo)體超晶格物理研究.

E-mail：duanxiuzhi2001@126.com

量子線(quantum wire,QW)是(準(zhǔn))一維介觀納米結(jié)構(gòu)，電子和空穴的運(yùn)動在2個維度上被局限在介觀尺寸之內(nèi)，只能在1個維度上自由運(yùn)動.直到1989年才出現(xiàn)了一些關(guān)于量子線的實(shí)驗(yàn)報(bào)道.最早是采用在量子阱上再刻蝕的方法.后來出現(xiàn)了用分子束外延技術(shù)在各種自然表面上生長的方法，如在小偏角面、超臺階面、高指數(shù)面等，或者在由人工做出的襯底上生長，如V形槽、解理異質(zhì)結(jié)構(gòu)的側(cè)面生長、在掩膜表面上的局部生長、自組織生長等[1].隨后出現(xiàn)了大量相應(yīng)的理論研究，如量子線中類氫雜質(zhì)束縛能的研究[2]，V形和T形量子線中能帶結(jié)構(gòu)和光學(xué)各向異性的研究[3]，波函數(shù)對有限方形量子線中電子及雜質(zhì)的影響[4]，InP基量子線激光器的研究[5].尹新等[6]用變分法研究了階梯量子阱中類氫雜質(zhì)的束縛能受電場的影響.鄭冬梅等[7]對雙電子柱形量子點(diǎn)系統(tǒng)束縛能進(jìn)行了研究，其中考慮了內(nèi)建電場和雜質(zhì)態(tài)對束縛能的影響.丁朝華等[8]研究了磁場對量子線中束縛極化子激發(fā)態(tài)性質(zhì)的影響.在理論上，人們對量子線結(jié)構(gòu)中電子結(jié)構(gòu)、雜質(zhì)態(tài)、激子態(tài)等做了大量研究工作，并研究了外界擾動(電場、磁場、激光場等)對其物理性質(zhì)的影響.本文研究了橢圓形量子線中電子和空穴的基態(tài)能量及其受到的平行于截面的磁場影響.通過對波函數(shù)展開求解薛定諤方程，考慮了電子和空穴的質(zhì)量失配及空穴質(zhì)量的各向異性.

1理論模型

研究的InAs/InP橢圓形截面量子線模型如圖1所示，橢圓形截面在x-o-y面上，磁場沿x軸方向，z軸方向?yàn)榱孔泳€的生長方向磁場沿x軸，粒子(電子和空穴)滿足的薛定諤方程為

圖1　橢圓形量子線 Fig.1　Cross section of a elliptical quantum wire

Ve,h(xe,h,ye,h)]ψe,h(xe,h,ye,h)=Ee,hψe,h(xe,h,ye,h)，

(1)

首先討論電子基態(tài)能量的求解，電子的電量q=-e，量子線內(nèi)電子的哈密頓算符為

(2)

(3)

在線外，電子的哈密頓有如下形式：

(4)

橢圓坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的關(guān)系

x=achξcosθ；y=ashξsinθ.

(5)

在極坐標(biāo)系下

(6)

考慮到橢圓邊界

(7)

(8)

選擇合流超幾何函數(shù)為基函數(shù)

(9)

可將波函數(shù)展為如下形式

(10)

其中，anm為展開系數(shù).通過對角化的計(jì)算方法求解微分方程，矩陣元可表示為

(11)

其中，a2(sh2ξ+sin2θ)為橢圓坐標(biāo)的度規(guī)系數(shù).通過在橢圓坐標(biāo)系下求解久期方程可得出電子的基態(tài)能量.

求解空穴的基態(tài)能量時，空穴的帶電量q=e，空穴的有效質(zhì)量具有各向異性，沿著x軸、y軸取不同值，空穴在量子線內(nèi)、外的有效質(zhì)量也不同，取量子線內(nèi)空穴沿著x軸、y軸的有效質(zhì)量分別為mh1x和mh1y，量子線外空穴的有效質(zhì)量沿著坐標(biāo)軸的取值可描述為mh2x和mh2y，量子線內(nèi)，空穴的哈密頓算符為

(12)

(13)

量子線外，空穴的哈密頓算符為

(14)

(15)

2計(jì)算與討論

本文采用原子單位計(jì)算了電子和空穴的基態(tài)能量隨量子線尺寸的變化關(guān)系及其受磁場的影響，考慮了電子和空穴的有效質(zhì)量失配及空穴有效質(zhì)量的各向異性.考慮到材料的晶格失配，將電子和空穴的壘高分別取為0.513和0.430 eV[9].表1為材料中的參數(shù)[10].

表1　InAs/InP量子線中的參數(shù)

圖2　橢圓形量子線中電子的基態(tài)能量隨磁場的變化關(guān)系 Fig. 2　Electron ground-state energy changes with magnetic field in elliptical quantum wire

圖3　橢圓形量子線中空穴的基態(tài)能量隨磁場的變化關(guān)系 Fig. 3　Hole ground-state energy changes with magnetic field in elliptical quantum wire

圖4　橢圓形量子線中電子的基態(tài)能量隨參數(shù)a e的變化關(guān)系 Fig. 4　Electron ground-state energy changes with parameter a e in elliptical quantum wire

圖5　橢圓形量子線中空穴的基態(tài)能量隨參數(shù)a h的變化關(guān)系 Fig. 5　Hole ground-state energy changes with parameter a h in elliptical quantum wire

3結(jié)論

本文詳細(xì)描述了原子單位與國際單位的換算過程和一種處理粒子有效質(zhì)量失配及有效質(zhì)量各向異性的方法，運(yùn)用在橢圓形量子線中得出了規(guī)律性結(jié)論.這種方法還可以運(yùn)用在其他類似物理模型的薛定諤方程求解之中.

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(責(zé)任編輯：孟素蘭)