切換系統自適應鎮定控制

切換系統自適應鎮定控制

唐予軍,王霞,王培光

(河北大學 電子信息工程學院，河北 保定071002)

摘要：研究含有不確定參數切換系統的自適應鎮定問題．為子系統分別設計自適應控制器，通過設計依賴于切換信號的子適應律，避免了由共用狀態引起的各子適應律之間的耦合問題．采用多Lyapunov函數設計系統控制器，不要求子系統的確定性等價鎮定控制器存在，通過切換律的設計可以保證閉環切換系統的漸近穩定性．

關鍵詞：切換系統；自適應控制；切換律設計；多Lyapunov函數

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2015.05.012

中圖分類號：TP273文獻標志碼：A

收稿日期：2015-03-20

基金項目：河北大學自然科學研究計劃項目(2010Q04)；河北省高等學?？茖W技術研究資助項目(QN20131056)；河北省自然科學基金資助項目(F2015201088)； 國家青年科學基金資助項目(61403118)

Adaptive stabilizing control of switched systems

TANG Yujun, WANG Xia, WANG Peiguang

(College of Electronic and Informational Engineering, Hebei University, Baoding 071002,China)

Abstract:The adaptive stabilization problem is studied for switched systems with uncertain parameters. Sub-adaptive controllers are designed respectively for the subsystems of the switched system. Adaptive laws are made dependant on the switching signal in order to avoid the coupling between the adaptive laws which is caused by sharing a common state. Multiple Lyapunov functions method is used to design the controllers. There is no need for subsystems to have certain equivalent controllers because a properly designed switching law can ensure the asymptotical stability of the closed-loop switched system.

Key words: switched systems; adaptive control; switching law design; multiple Lyapunov function

第一作者：唐予軍(1979-)，男，江蘇泰州人，河北大學講師，主要從事傳感器技術及其自適應控制方向研究．

E-mail:tangyujunhbu@gmail.com

切換系統由一系列連續或離散的子系統以及1個支配子系統切換的切換律組成．許多的物理系統，如多工作點的非線性系統、切換控制器作用下的閉環系統、網絡系統等都可建模成為切換動態系統[1]． 作為控制系統的基本問題，切換系統鎮定問題得到廣泛的研究[2-5]．主要分析工具有共同Lyapunov函數、單Lyapunov函數和多Lyapunov函數等方法，其中多Lyapunov函數條件最為寬泛，保守型較小，其主要思想是為每個子系統分配1個能量函數，保持子系統激活時段能量函數遞減，并且每個子系統激活時間處構成的能量函數序列是遞減的，從而得到整個切換系統的穩定性[6-7]．

與非切換系統一樣，在切換系統控制中，同樣存在不確定性．針對切換系統的非參數不確定性，應用魯棒方法已經得到了大量的結果．對于線性不確定參數，自適應控制具有較強的處理能力．因此，近年來，切換系統的自適應控制成為了新的研究熱點[8-9],并取得的初步的成果[10-12]．切換系統自適應控制的難點主要在于未知參數的存在．傳統的方法是使Lyapunov函數同時含有參數誤差與狀態，通過設計自適應律將參數誤差在Lyapunov導函數中消去．切換系統的穩定性分析中，需要檢驗子系統激活時間點Lyapunov函數值，而當Lyapunov函數中存在未知參數時，其函數值是不可計算的．如何在Lyapunov函數含有未知參數的情況下設計自適應子控制器以及切換律來鎮定系統是個重要的問題．

自適應控制系統可以看成由原系統和非線性自適應控制律所構成的級聯系統．切換級聯系統的穩定性分析已有結果報道[13]，其中的方法可以應用到切換系統自適應控制問題中．本文基于級聯系統的思想，設計出使不確定切換系統穩定的自適應控制器和切換律．

文中的結果有2方面的特點：1)設計按照狀態切換的切換信號，而現有文獻都是采用駐留時間的方法；2)不同于非切換系統的自適應控制，文中結果不要求子系統一定存在確定性等價鎮定控制器．因為通過切換信號的設計可以使切換系統具有穩定性等子系統不具有的特性．

1問題描述

考慮如下的切換系統

(1)

其中x∈Rn為狀態向量，u∈Rm為控制輸入,σ(t):[0,∞)|→Λ為分段右連續函數,Λ={1,2,…,N}，N為整數，Ai∈Rn×n,Bi∈Rn×m為未知常數矩陣．

注：考慮每個子系統都不可能通過設計自適應控制器進行鎮定．因為如果這樣，只需要令能夠鎮定的子系統一直激活即可，問題就變成了傳統的自適應鎮定控制器設計．

(2)

其中βij≥0，Pi為正定矩陣．

假設2存在已知矩陣Si∈Rnm和正定矩陣Γi,i∈Λ滿足

(3)

2主要結果

如果系統(1)中的矩陣Ai，Bi已知，則可以設計子控制器

(4)

在切換律

σ(t)=argmin(xTPix)

(5)

(6)

估計參數的適應律設計為

(7)

注：適應律中含有狀態x，而切換系統的子系統是共用狀態的．一個子系統激活時，為了避免其他非激活子系統的控制器參數受到影響，采用了切換信號依賴型的適應律，在子系統未被激活的時候，其對應的子控制器參數不做調整．

定理1適應律(7)和子控制器(6)應用于系統(1)，在切換信號(5)下，能夠保證系統(1)時全局漸近穩定．

證明：將控制器(6)代入系統(1)，得到

(8)

考慮正定函數

(9)

對Vσ沿系統(8)求導得

(10)

考慮到式(7)、(3)以及

(11)

(12)

根據條件(2)，可知

(13)

3算例

3.1　數值算例

考慮如下的切換非線性系統：

子系統1

子系統2

設計參數

系統初始狀態

K10=[0.10.5],K20=[0.70.3],x0=(12)．

系統的切換信號和狀態軌跡分別如圖1和圖2所示．

圖1系統的切換信號σ圖2系統的狀態響應

Fig.1Switching signal Fig.2 State response

3.2　飛行編隊實例仿真

本文利用1個飛行編隊的例子說明文中算法的有效性．考慮1個2架飛機組成的由地面視覺系統導航的編隊．小攻擊角下，飛機的縱向模型可以表示為[14]

其中?為俯仰角，ω為俯仰角速度，α為小攻擊角度,μ為升降舵偏角，ηω,η?和η為系統參數．

在爬升過程中，要求所有的飛機具有相同的俯仰角速度．在適當的控制器下，俯仰角速度的動態方程可以表示為[15]

子系統1(只與第1架飛機通信)

子系統2(只與第2架飛機通信)

假設a1=a2=8,有

設計

圖3系統的切換信號圖4系統的狀態響應

Fig.3Switching signalFig.4 State response

4結論

對于子系統不可鎮定的不確定切換系統，提出了一種設計自適應控制器和切換律的方法．自適應律在其對應的子系統激活時段調整控制參數．雖然子系統不存在收斂的Lyapunov函數，切換律可以保證整個切換系統切換之后的能量函數收斂，從而保證系統的穩定性．切換信號的設計放寬了對系統的要求，在子系統都不可鎮定的極端情況下，仍有可能找到使系統穩定的自適應控制器和切換律．

參考文獻:

[1]LIBERZON D. Switching in systems and control[M]. Boston, MA: Birkhauser, 2003.

[2]DAFOU U, RIEDINGE P, IUNG C. Stability analysis and control synthesis for switched systems: a switched Lyapunov function approach[J]. IEEE Trans Automat Contr, 2002, 47:1883-1887.

[3]SUN Z D. Switched linear systems-control and design[M]. New York: Springer-Verlag, 2004.

[4]KAI Wulff, FABIAN Wirth, ROBERT Shorten. A control design method for a class of switched linear systems [J]. Automatica, 2009, 45:2592-2596.

[5]SUN Zhendong, PENG Yuping. Stabilizing design for switched linear control systems: a constructive approach [J]. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2010, 32( 6 ):706-735.

[6]BRANNICKY M S. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems [J]. IEEE Trans on Automatic Control, 1998, 43(4): 475-482.

[7]ZHAO Jun, DAVID J Hill. On stability, L2-gain and H∞ control for switched systems[J]. Automatica, 2008, 44:1220-1232.

[8]CHENG Daizhan, ZHANG Lijun. Adaptive control of switched systems [Z]. Decision and Control, 2003 Proceedings 42nd IEEE Conference, Beijing, 2003.

[9]EL Rifai K, YOUCEF Toumi K. Robust adaptive control of a class of switched systems[Z]. American Control Conference, Maui US, 2008.

[10]MING Li chiang, LI Chenfu. Adaptive control of switched systems with application to HVAC System[Z]. CCA 2007 IEEE International Conference, Singapore, 2007.

[11]BERNARDO Di M, MONTANARO U, SANTINI S. Minimal control synthesis adaptive control of continuous bimodal piecewise affine systems[J]. Siam J Control Optim, 2010, 48(7):4242-4261.

[12]SANG Qian, TAO Gang. Adaptive control of piecewise linear systems: the state tracking case[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2012, 57(2):522-528.

[13]WANG Min, ZHAO Jun, DIMIROVSKI. Variable structure control method to the output tracking control of cascade non-linear switched systems[J]. Control Theory & Applications, 2009, 3(12): 1634-1640.

[14]MU Xu, ZHANG Weiguo. An adaptive backstepping designfor longitudinal flight path control[Z]. Proc 7th World Congress Intell Control Autom Chongqing, 2008.

[15]YANG Hao, JIANG Bin. Stabilization of switched nonlinear systems with all unstable modes: application to multi-agent systems [J]. IEEE Trans Automat Contr, 2011,56(9):2230-2235.

(責任編輯：王蘭英)