絕對(duì)位移直接求解虛擬激勵(lì)法采用附加振型求解的理論研究

第一作者李永華男，博士，副教授，1972年生

通信作者桂國(guó)慶男，博士，教授，1966年生

絕對(duì)位移直接求解虛擬激勵(lì)法采用附加振型求解的理論研究

李永華1，桂國(guó)慶2,1，廖宇1

(1.南昌大學(xué)建筑工程學(xué)院，南昌330031； 2.井岡山大學(xué)建筑工程學(xué)院，江西吉安343009)

摘要：為提高已有絕對(duì)位移直接求解虛擬激勵(lì)法的求解效率及精度，對(duì)結(jié)構(gòu)支座節(jié)點(diǎn)附加大質(zhì)量塊并釋放支座約束，采用基于附加振型的振型分解法進(jìn)行求解，附加振型來(lái)源于附加大質(zhì)量塊。對(duì)附加振型、常規(guī)振型的振型特性和振型貢獻(xiàn)及計(jì)算效率進(jìn)行了理論分析，分析表明：通過(guò)構(gòu)建少量附加振型就可精確捕獲結(jié)構(gòu)擬靜位移，且只需采用與相對(duì)運(yùn)動(dòng)法同等數(shù)量的常規(guī)振型就可精確捕獲結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移，與Wilson位移輸入模式的絕對(duì)位移振型分解法相比，在保證計(jì)算精度的條件下可大大減少絕對(duì)位移求解所需的振型數(shù)。此外，對(duì)附加振型絕對(duì)位移求解法阻尼誤差進(jìn)行了理論分析，指出了附加振型法不存在由于阻尼假定不同而引起的誤差，計(jì)算精度及效率均優(yōu)于基于完全法的絕對(duì)位移直接求解法。

關(guān)鍵詞：附加振型；虛擬激勵(lì)法；絕對(duì)位移直接求解；振型分解；誤差分析

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)

收稿日期：2013-10-09修改稿收到日期：2014-04-30

中圖分類(lèi)號(hào):TU311.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Pseudo excitation method based on directly solving absolute diaplacements with addtional modes

LIYong-hua1,GUIGuo-qing1,2,LIAOYu1(1.School of Architecture and Civil Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China; 2. School of Architecture and Civil Engineering, Jinggangshan University, Ji’an 343009, China)

Abstract:Structures were solved using the pseudo excitation method with additional modes through adding big masses on support nodes in order to improve the calculation accuracy and efficiency of the old pseudo excitation method based on directly solving absolute displacements. The additional modes were caused by the added big masses. The contribution and characterisitics of additional modes and the conventional ones as well as the calculation efficiency of the new algorithm were analyzed. It was shown that constructing only few additional modes can capture the pseudo-static displacement responses of structures accurately, and adopting the same number of conventional modes obtained with the relative motion method can capture the same accurate dynamic relative displacement responses of structures; compared with the displacement input model presented by Wilson, the proposed method can lead to a significant reduction of the required modes for solving absolute displacements with the same accuracy; the calculation errors caused by different damping assumings don’t exist in the new algorithm, so it is superior to the old pseudo excitation method based on directly solving absolute displacements in accuracy and efficiency.

Key words:additional modes; pseudo excitation method; directly solving absolute displacement; mode decomposition; error analysis

李永華[1]提出了一種隨機(jī)振動(dòng)絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法，該方法通過(guò)在基底附加大質(zhì)量塊直接對(duì)絕對(duì)位移進(jìn)行一次性求解，避免了在構(gòu)建虛擬激勵(lì)的過(guò)程中需提取整體結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度矩陣的繁瑣，且可在通用有限元軟件中直接實(shí)現(xiàn),大大方便了多點(diǎn)激勵(lì)隨機(jī)振動(dòng)工程應(yīng)用[2-4]，該算法已得到較好的應(yīng)用和發(fā)展。Wilson[5]采用位移輸入模式進(jìn)行絕對(duì)位移求解時(shí)，發(fā)現(xiàn)振型分解法需要大量甚至全部高階振型組合才能達(dá)到所需的計(jì)算精度，受此影響李永華等在研究過(guò)程中，沒(méi)有采用振型分解法進(jìn)行求解，而是采用完整矩陣法(以下簡(jiǎn)稱(chēng)完全法)進(jìn)行諧響應(yīng)求解。

絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法在采用完全法進(jìn)行求解時(shí)面臨兩個(gè)問(wèn)題：①計(jì)算時(shí)間：隨機(jī)振動(dòng)虛擬激勵(lì)法需對(duì)大量離散頻率點(diǎn)(上百或上千個(gè))構(gòu)建虛擬諧響應(yīng)求解，當(dāng)結(jié)構(gòu)自由度較大時(shí)，采用完全法諧響應(yīng)求解時(shí)間較長(zhǎng)；②誤差問(wèn)題：誤差問(wèn)題分為兩方面，一方面是由于瑞利阻尼與振型阻尼之間的轉(zhuǎn)換所引起的誤差:采用完整矩陣法求解時(shí)，需形成整體結(jié)構(gòu)阻尼矩陣(通常采用瑞利阻尼模型構(gòu)建)，而瑞利阻尼系數(shù)只能由兩階自振頻率和對(duì)應(yīng)的阻尼比來(lái)確定，如指定ξi=ξi+1=0.05后，則更高振型(>i+1)或更低振型(

趙銀慶[3]在絕對(duì)位移直接求解過(guò)程中，嘗試了采用振型分解法進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)采用全部振型進(jìn)行組合時(shí)，絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)算法與傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)算法計(jì)算結(jié)果基本一致。但采用少量振型進(jìn)行組合時(shí)兩種算法計(jì)算結(jié)果是否一致并沒(méi)有進(jìn)行比較,也缺少相關(guān)的理論分析。如果必須采用大量或全部振型進(jìn)行組合才能達(dá)到所需的計(jì)算精度，采用振型分解絕對(duì)位移直接求解法就沒(méi)有任何優(yōu)勢(shì)。

張林等[9]采用大質(zhì)量法，對(duì)FR-4印制板進(jìn)行算例分析時(shí),發(fā)現(xiàn)是否選取與質(zhì)量點(diǎn)的剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的振型決定了結(jié)果是絕對(duì)解,還是對(duì)質(zhì)量點(diǎn)的相對(duì)解。

本文在上述文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，擬進(jìn)一步從理論上分析絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法，當(dāng)采用振型分解進(jìn)行求解時(shí)面臨的兩個(gè)核心問(wèn)題：①達(dá)到工程應(yīng)用所需的精度，需要的振型數(shù)量;②由于振型分解算法通常采用振型阻尼，在振型阻尼模型下，絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法與傳統(tǒng)的虛擬激勵(lì)算法由于阻尼假定不一致會(huì)引起一定誤差。

1基本思路

多點(diǎn)激勵(lì)地震響應(yīng)求解過(guò)程中，動(dòng)力方程求解方法可分為相對(duì)運(yùn)動(dòng)法和絕對(duì)位移直接求解法。相對(duì)運(yùn)動(dòng)法將結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)絕對(duì)位移分為擬靜位移和動(dòng)態(tài)位移兩部分分別進(jìn)行求解，這里擬靜位移為支座移動(dòng)引起的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移，動(dòng)態(tài)位移為支座移動(dòng)導(dǎo)致的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的慣性力所引起的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移[10-11]。

眾所周知，地震作用物理上是由于地面的振動(dòng)，帶動(dòng)上部結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)，無(wú)論是一致激勵(lì)還是多點(diǎn)激勵(lì)，地面實(shí)際上是運(yùn)動(dòng)的，圖1為上述兩種算法之間的物理模型與動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型示意圖。

圖1　物理模型與動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型示意圖 Fig.1 Comparison of physical and dynamic model

一致地震動(dòng)作用下，通常不采用絕對(duì)位移直接求解法進(jìn)行求解，而是采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法進(jìn)行求解,如圖1(a)所示，即固定支座，將地震動(dòng)加速度作用施加于結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上，以?xún)?nèi)部節(jié)點(diǎn)與支座節(jié)點(diǎn)之間的相對(duì)位移(動(dòng)態(tài)位移)為變量建立動(dòng)力方程。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)法的最大優(yōu)點(diǎn)是：由于動(dòng)力方程中不含擬靜位移，只有動(dòng)態(tài)相對(duì)位移，而動(dòng)態(tài)相對(duì)位移在物理上與振型密切相關(guān)，多數(shù)建筑結(jié)構(gòu)在地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)，動(dòng)態(tài)相對(duì)位移主要由低階振型確定，高階振型對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的貢獻(xiàn)不顯著。因此，通常只需采用較少數(shù)量的低階振型的貢獻(xiàn)就可得到工程所需的計(jì)算精度(90%以上的振型參與質(zhì)量)，大大提高了計(jì)算效率[12]。

絕對(duì)位移直接求解法有3種加載形式，如圖1(b)所示，其中:a模式為常見(jiàn)的Wilson位移輸入模式，即把地震作用轉(zhuǎn)化為首層力和首層彎矩進(jìn)行施加，詳細(xì)理論見(jiàn)文獻(xiàn)[5]第22章；b模式為位移直接輸入模式，多數(shù)商用有限元軟件都不支持位移直接輸入模式的振型分解求解法，相關(guān)算法理論及誤差分析詳見(jiàn)文獻(xiàn)[8]；c模式為本文重點(diǎn)研究的大質(zhì)量法輸入模式。

Wilson位移輸入模式必須采用大量甚至全部高階振型才能達(dá)到絕對(duì)位移響應(yīng)所需的計(jì)算精度,下面分別從物理和數(shù)學(xué)上來(lái)進(jìn)行分析：

(1)由于絕對(duì)位移中包含擬靜位移，而擬靜位移在物理上與振型無(wú)關(guān)，只與結(jié)構(gòu)剛度矩陣有關(guān)，與結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣并沒(méi)有任何關(guān)系，因而物理上無(wú)法保證采用少數(shù)低階振型的組合就可確保擬靜位移計(jì)算結(jié)果的精度。

(2)從數(shù)學(xué)上講，任何n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的n維向量都可以是向量空間Rn的一個(gè)基[13]，也就是說(shuō)，如果想用常規(guī)振型來(lái)表示空間結(jié)構(gòu)的擬靜位移，空間結(jié)構(gòu)有n個(gè)自由度，就必須采用n個(gè)振型去組合，數(shù)學(xué)上才能保證計(jì)算精度，這就解釋了Wilson教授的算例中，即使是一個(gè)很簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)模型，采用Wilson位移輸入模式時(shí)，需要大量甚至全部振型才能達(dá)到絕對(duì)位移所需的計(jì)算精度。

從上面分析可以看出，采用Wilson位移輸入模式，想通過(guò)少量振型的組合來(lái)獲取結(jié)構(gòu)的絕對(duì)位移是行不通的，必須進(jìn)行一定的修正[14]。

大質(zhì)量法輸入模式的振型與Wilson位移輸入模式的振型是不同的，由于大質(zhì)量塊的引入，相應(yīng)的支座約束被取消，增加了部分振型(本文稱(chēng)這部分增加的振型為附加振型，支座固定模式的結(jié)構(gòu)振型為常規(guī)振型)，故振型參與的理論基礎(chǔ)不一樣。本文的基本思路為：

(1)能否通過(guò)釋放結(jié)構(gòu)支座自由度約束并附加大質(zhì)量單元構(gòu)建少量附加振型，且這些附加振型就能精確捕獲結(jié)構(gòu)的全部擬靜位移，其余的常規(guī)振型只需貢獻(xiàn)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)相對(duì)位移。

(2)由于常規(guī)振型只需貢獻(xiàn)動(dòng)態(tài)位移，這就類(lèi)似于相對(duì)運(yùn)動(dòng)法中的動(dòng)態(tài)位移計(jì)算，能否采用與相對(duì)運(yùn)動(dòng)法相同數(shù)量的常規(guī)振型組合就能得到相同精度的動(dòng)態(tài)相對(duì)位移。

2附加振型的特性分析

2.1　單自由度結(jié)構(gòu)的振型特性分析

先以一單自由度結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行振型特性分析，其計(jì)算模型如圖2所示。

圖2　彈簧-質(zhì)量模型圖 Fig.2 Spring-mass model

圖2中，模型A為支座固定的單自由度彈簧-質(zhì)量體系；模型B取消了支座約束，在支座處附加大質(zhì)量塊M(取m、k的105以上[9])，同時(shí)釋放支座水平方向的自由度約束；模型C在模型B的基礎(chǔ)上取消了質(zhì)量塊m的質(zhì)量。

三種模型下彈簧-質(zhì)量模型的自振頻率分別為：

(2)模型B的質(zhì)量和剛度矩陣分別為：

式中，頻率ω下標(biāo)a表示附加頻率，余同。

(3)模型C的質(zhì)量和剛度矩陣分別為：

通過(guò)對(duì)上述三種模型的自振頻率分析可以看出：

(1)模型B由于在支座處增加了兩個(gè)大質(zhì)量塊，故多出了兩階振型，本文稱(chēng)多出的兩階振型為附加振型。當(dāng)大質(zhì)量塊M質(zhì)量大于內(nèi)部質(zhì)量塊m質(zhì)量的105倍時(shí)，模型B的常規(guī)振型頻率ω1與模型A的頻率ω1基本一致，誤差小于萬(wàn)分之一，這個(gè)誤差在工程應(yīng)用中是完全可以接受的。

(2)模型C由于取消了內(nèi)部節(jié)點(diǎn)質(zhì)量塊，只有2階附加振型，且附加振型頻率與模型B的附加振型頻率完全一致，均為低階頻率。

對(duì)于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，阻尼比約為5%，鋼結(jié)構(gòu)約為2%～3%，由于結(jié)構(gòu)的阻尼比較小，因此計(jì)算結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，可以不考慮阻尼比的影響。

2.2　多自由度結(jié)構(gòu)的振型特性分析

假設(shè)一個(gè)空間多自由度結(jié)構(gòu)體系，內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)數(shù)為s,自由度為p，支座質(zhì)點(diǎn)數(shù)為t,自由度為q，如圖3所示，采用上述3種計(jì)算模型進(jìn)行分析。

圖3　多自由度結(jié)構(gòu)模型 Fig.3 Structural model with multi-degree of freedom

圖3中，模型A為常規(guī)結(jié)構(gòu)體系模型，支座節(jié)點(diǎn)固定,內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi,自由度為p；模型B取消支座約束，在支座節(jié)點(diǎn)附加大質(zhì)量塊Mi,大質(zhì)量塊質(zhì)點(diǎn)自由度為q，整個(gè)結(jié)構(gòu)自由度為p+q；模型C在模型B的基礎(chǔ)上取消了內(nèi)部節(jié)點(diǎn)質(zhì)量，只留下支座節(jié)點(diǎn)質(zhì)量Mi，整個(gè)結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)自由度為q。

對(duì)于具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由度的結(jié)構(gòu)，共有n階振型，且振型間有以下關(guān)系：

(1)

(2)

式中，γj為第j階振型的振型參與系數(shù)，xji為j振型i質(zhì)點(diǎn)水平相對(duì)位移，mi為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，r為質(zhì)點(diǎn)數(shù)。

式(1)是抗震設(shè)計(jì)中常見(jiàn)的基本公式[15]，式(2)為振型參與質(zhì)量計(jì)算公式[11]，是式(1)的另一種表現(xiàn)形式，但式(2)具有明顯物理意義。對(duì)于n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)體系，當(dāng)選擇所有振型(n個(gè)振型)參與組合時(shí)，振型參與質(zhì)量為100%。

下面對(duì)模型A、B、C的振型特性進(jìn)行分析：

(1)先對(duì)模型A進(jìn)行分析：

A模型內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)數(shù)為s，自由度數(shù)為p，結(jié)構(gòu)共有p階常規(guī)振型，由式(1)可知:

(3)

(2)再對(duì)模型C進(jìn)行分析：

模型C內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)數(shù)為0，支座質(zhì)點(diǎn)數(shù)為t，結(jié)構(gòu)雖然有p+q個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度，但只有q個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由度。由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)相關(guān)知識(shí)可知:q個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由度的結(jié)構(gòu)只有q階振型。為了與后述模型B分析結(jié)果進(jìn)行比較，振型編號(hào)為p+1,p+2,…，p+q，支座質(zhì)點(diǎn)編號(hào)為要s+1,s+2,…，s+t。

由式(1)可知，對(duì)于模型C：

(4)

(3)最后對(duì)B模型進(jìn)行分析：

B模型內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)數(shù)為s，內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)自由度為p，支座質(zhì)點(diǎn)數(shù)為t，支座質(zhì)點(diǎn)自由度為q，故結(jié)構(gòu)體系共有p+q階振型，由式(1)可得：

(5)

將上式振型參與系數(shù)具體化并拆分后可寫(xiě)成：

(6)

當(dāng)附加質(zhì)量Mi遠(yuǎn)大于內(nèi)部節(jié)點(diǎn)質(zhì)量mi時(shí)，模型B內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量mi可近似忽略，模型B與模型C的附加振型形狀應(yīng)基本相同，所以式(6)可寫(xiě)為：

(7)

將式(4)代入式(7)右邊第二項(xiàng)可得：

(8)

式中，

將式(8)移項(xiàng)整理可得：

(9)

要使式(9)恒成立，只有：

(10)

從式(10)可以看出：模型B前p階常規(guī)振型中，支座節(jié)點(diǎn)處位移恒為零，這與支座固定模型A的常規(guī)振型一致。

從上面分析可以得出如下結(jié)論：當(dāng)大質(zhì)量塊的質(zhì)量遠(yuǎn)大于內(nèi)部質(zhì)量點(diǎn)的質(zhì)量時(shí)，模型B的附加振型與模型C的附加振型基本一致；模型B的常規(guī)振型與模型A的常規(guī)振型基本一致。

2.3　振型參與系數(shù)分析

文獻(xiàn)[7]在式(18)、式(23)已經(jīng)推導(dǎo)了隨機(jī)地震動(dòng)激勵(lì)下虛擬動(dòng)態(tài)位移的計(jì)算公式，從文獻(xiàn)[7]中上述兩式可以看出：與振型分解反應(yīng)譜法一樣，結(jié)構(gòu)虛擬動(dòng)態(tài)位移主要由結(jié)構(gòu)的振型參與系數(shù)和振型形狀確定。

前面已經(jīng)得出了模型B的常規(guī)振型中支座處位移為零，與模型A的常規(guī)振型基本一致；模型B的附加振型與模型C的附加振型基本一致，現(xiàn)對(duì)三種模型的振型參與系數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析。

從以上分析可以看出，模型B的常規(guī)振型與模型A的常規(guī)振型的振型參與系數(shù)基本一致；模型B的附加振型與模型C的附加振型的振型參與系數(shù)基本一致。

3基于附加振型的虛擬激勵(lì)求解方法

絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法采用附加振型進(jìn)行求解時(shí)，虛擬激勵(lì)的構(gòu)建與文獻(xiàn)[1]基本一致，故不再贅述，現(xiàn)重點(diǎn)闡述附加振型的求解原理。

3.1　附加振型求解過(guò)程分析

為便于理解，現(xiàn)把圖3中空間結(jié)構(gòu)模型C抽象成圖4所示等效模型圖，由于模型C中內(nèi)部節(jié)點(diǎn)沒(méi)有質(zhì)量，故可將模型C等效成大質(zhì)量塊間采用廣義彈簧連接的結(jié)構(gòu)體系，如圖4所示。

圖4　模型C等效模型圖 Fig.4 Equivalent model of model C

(11)

由于模型C中不考慮內(nèi)部節(jié)點(diǎn)質(zhì)量,所以附加振型數(shù)量只需由支座節(jié)點(diǎn)附加大質(zhì)量塊的自由度數(shù)來(lái)確定。雖然也需要全部附加振型參與計(jì)算才能保證擬靜位移的計(jì)算精度，但對(duì)于大型實(shí)際工程來(lái)說(shuō)，附加大質(zhì)量塊數(shù)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)內(nèi)部質(zhì)量點(diǎn)數(shù)(比如大跨度橋梁，支座附加大質(zhì)量塊自由度數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)自由度數(shù))，相應(yīng)的附加振型的數(shù)量遠(yuǎn)小于常規(guī)振型的數(shù)量，所以采用附加振型來(lái)計(jì)算擬靜位移，計(jì)算效率遠(yuǎn)高于Wilson位移輸入模式。

3.2　振型貢獻(xiàn)

基于附加振型的絕對(duì)位移直接求解虛擬激勵(lì)法采用模型B進(jìn)行求解，模型B與模型A的常規(guī)振型形狀、振型參與系數(shù)基本一致；模型B與模型C的附加振型形狀、振型參與系數(shù)基本一致。

由于模型A的常規(guī)振型主要貢獻(xiàn)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移，模型C的附加振型主要貢獻(xiàn)結(jié)構(gòu)擬靜態(tài)位移，所以模型B的常規(guī)、附加振型組合在一起可貢獻(xiàn)結(jié)構(gòu)的絕對(duì)位移。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)法采用常規(guī)振型來(lái)貢獻(xiàn)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移，采用靜力法求解擬靜位移；Wilson位移輸入模式采用常規(guī)振型來(lái)貢獻(xiàn)絕對(duì)位移；而基于附加振型的絕對(duì)位移直接求解法采用常規(guī)振型來(lái)貢獻(xiàn)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移，采用附加振型來(lái)貢獻(xiàn)擬靜位移，這是上述算法本質(zhì)區(qū)別。

3.3　奇異剛度矩陣求解方法

基于附加振型的振型分解法在支座增加了大質(zhì)量塊，且釋放了支座約束，故整體結(jié)構(gòu)振型分析時(shí)多出了一些附加振型，且這些附加振型中有一些是剛體運(yùn)動(dòng)振型，這種情況在旋轉(zhuǎn)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，飛機(jī)或?qū)椀目傮w振動(dòng)中很常見(jiàn)。在這一類(lèi)結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析時(shí)，總體剛度矩陣是奇異的或病態(tài)的，這給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)困難，解決上述問(wèn)題的最有效的方法就是特征值平移法，動(dòng)力學(xué)教材中大多有該方法介紹，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[16]。新版本ANSYS軟件在稀疏矩陣求解器中嵌入了該算法，能精確求解含病態(tài)矩陣的結(jié)構(gòu)特征值和振型。

4基于附加振型求解的誤差分析

(12)

由于振型分解法是將多自由度體系結(jié)構(gòu)解耦成互不耦聯(lián)的單自由度體系進(jìn)行求解，對(duì)于單自由度體系，Ksb=-Kss，Csb=-Css，式中，Css=2ξωnM，所以式(12)可寫(xiě)為：

(13)

(14)

(15)

從式(15)可以看出，基于附加振型絕對(duì)位移求解法與相對(duì)運(yùn)動(dòng)法之間不存在由于阻尼假定不同而引起的阻尼誤差。

5算例論證

算例采用一大跨度弦支穹頂，結(jié)構(gòu)模型如圖5所示，跨度為120 m，采用ANSYS建模，上部網(wǎng)殼如圖5(a)所示，環(huán)向一共16圈桿件，下部預(yù)應(yīng)力拉索由外到內(nèi)隔圈布置，一共布置4圈環(huán)向預(yù)應(yīng)力拉索(圖5(b))。網(wǎng)殼桿件單元采用Beam188模擬，撐桿與徑向拉桿采用Link8單元模擬，拉索采用Link10單元模擬，更多相關(guān)參數(shù)詳文獻(xiàn)[17]。分別采用計(jì)算模型A(固定支座模型)、計(jì)算模型B(支座附加大質(zhì)量塊模型)、計(jì)算模型C(支座附加大質(zhì)量塊，取消內(nèi)部節(jié)點(diǎn)質(zhì)量模型)三種計(jì)算模型進(jìn)行分析。

圖5　大跨度弦支穹頂模型 Fig.5 Models of large-span suspend-dome

本算例為多支座結(jié)構(gòu)，但行波地震激勵(lì)分析時(shí)并不需要在每個(gè)支座節(jié)點(diǎn)都附加大質(zhì)量塊，而是將相鄰的支座節(jié)點(diǎn)先分為16組，每組節(jié)點(diǎn)自由度進(jìn)行耦合，然后在每組增加一個(gè)可水平雙向運(yùn)動(dòng)的大質(zhì)量塊，故模型B、模型C的附加振型都為32階，三種力學(xué)計(jì)算模型下的結(jié)構(gòu)自振頻率見(jiàn)表1，表1給出了三種計(jì)算模型下的結(jié)構(gòu)前8階附加振型頻率和前10階常規(guī)振型頻率，式中fa表示附加頻率，從表1可以看出，模型A只有常規(guī)振型頻率，模型B同時(shí)擁有附加振型與常規(guī)振型頻率，且模型A的常規(guī)振型頻率與模型B的常規(guī)振型頻率基本一致；模型C由于取消了內(nèi)部節(jié)點(diǎn)質(zhì)量，故只有附加振型，且模型B的附加振型頻率與模型C的附加振型頻率基本一致，這與前面的理論分析完全吻合，證明了前面理論分析的正確性。

表1　弦支穹頂自振頻率

圖6為3種計(jì)算模型下的弦支穹頂結(jié)構(gòu)振型對(duì)比，從圖6可以看出，模型A的前4階常規(guī)振型與模型B的前四階常規(guī)振型基本一致，模型B的前4階附加振型與模型C的前4階附加振型基本一致，模型C由于內(nèi)部節(jié)點(diǎn)無(wú)質(zhì)量，故在振型圖上沒(méi)有顯示出灰色的小質(zhì)量塊點(diǎn)。

采用文中論述的基于附加振型的虛擬激勵(lì)法，對(duì)模型B進(jìn)行行波地震激勵(lì)分析，視波速取600m/s，結(jié)構(gòu)阻尼比取5%；然后采用ANSYS內(nèi)嵌的傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析模塊對(duì)模型A進(jìn)行行波激勵(lì)分析，最后將上述兩種方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，需說(shuō)明的是，ANSYS內(nèi)嵌的傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析模塊采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法求解，其計(jì)算精度等同于林家浩教授提出的傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法，只不過(guò)是計(jì)算效率很低。

圖6　3種模型下的弦支穹頂結(jié)構(gòu)振型對(duì)比 Fig.6 Mode comparison of suspend dome with three dynamic models

圖7　白噪聲行波激勵(lì)下單元剪力、位移響應(yīng)功率譜密度對(duì)比 Fig.7 Comparison of shear and displacement power spectrum density under traveling-wave excitation based on white noise model

在對(duì)A模型采用傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，內(nèi)力、位移響應(yīng)取前38階常規(guī)振型的組合(38階常規(guī)振型參與質(zhì)量能達(dá)95%以上)；傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)方法求解過(guò)程在文獻(xiàn)[1]已進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，本文不再贅述。在采用基于附加振型虛擬激勵(lì)法對(duì)B模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，擬靜力內(nèi)力、位移響應(yīng)取前32階附加振型的組合；動(dòng)態(tài)內(nèi)力、位移響應(yīng)取前38階常規(guī)振型的組合，絕對(duì)內(nèi)力、位移響應(yīng)取前32階附加振型和前38階常規(guī)振型的組合，兩種算法下的單元內(nèi)力和節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算結(jié)果比較見(jiàn)圖7。

隨機(jī)抽取了15根桿件內(nèi)力和節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩種算法計(jì)算結(jié)果基本一致，圖7給出了2根桿件內(nèi)力和2個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移對(duì)比，圖7(a)為E1單元?jiǎng)討B(tài)軸力響應(yīng)功率譜密度對(duì)比；圖7(b)為E2單元絕對(duì)軸力響應(yīng)功率譜密度對(duì)比；圖7(c)為N1節(jié)點(diǎn)絕對(duì)位移響應(yīng)功率譜密度對(duì)比；圖7(d)為N2節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)功率譜密度對(duì)比。從圖7可以看出，除圖7(b)中E2單元的絕對(duì)軸力響應(yīng)功率譜在0.5Hz附近略有差別外，其余圖形的結(jié)構(gòu)響應(yīng)在兩種計(jì)算方法下的計(jì)算結(jié)果基本一致。從圖7還可以看出，大跨度弦支穹頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)內(nèi)力或位移響應(yīng)并不是完全由低頻控制，有時(shí)候高階振型的貢獻(xiàn)更大，不可忽略。

6結(jié)論

(1)絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法可以采用完全法進(jìn)行求解，也可采用基于附加振型的振型分解法進(jìn)行求解，采用完全法求解通常采用瑞利阻尼，采用振型分解法時(shí)通常采用振型阻尼。

(2)采用完全法進(jìn)行求解時(shí)，計(jì)算效率相對(duì)較低，且瑞利阻尼模型下，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼較大,或當(dāng)激勵(lì)頻率較低時(shí)，與傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法相比，兩種算法存在一定的質(zhì)量阻尼誤差[7-8]。

(3)采用基于附加振型的虛擬激勵(lì)法求解時(shí)，構(gòu)建少量附加振型組合就可精確獲得擬靜位移，選擇與傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法相同數(shù)量的常規(guī)振型組合就能獲得與之相同精度的動(dòng)態(tài)位移。

(4)與傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法相比，基于附加振型的虛擬激勵(lì)法大大方便了工程應(yīng)用，且只需求解一次，不存在阻尼誤差，計(jì)算效率高于傳統(tǒng)的虛擬激勵(lì)算法，計(jì)算精度與傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法相當(dāng)。

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