δ沖擊條件下相關(guān)性競爭失效過程的系統(tǒng)可靠性建模

第一作者常春波男，博士生，1979年生

通信作者曾建潮男，博士生導(dǎo)師，1963年生

δ沖擊條件下相關(guān)性競爭失效過程的系統(tǒng)可靠性建模

常春波1，2，曾建潮2

(1.蘭州理工大學(xué)電信學(xué)院，蘭州730050；2. 太原科技大學(xué)工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所，太原030024)

摘要：研究系統(tǒng)受到δ沖擊時，考慮系統(tǒng)自然退化和沖擊兩個競爭性失效過程間具有相關(guān)性時，系統(tǒng)可靠性的建模問題。相關(guān)性一方面表現(xiàn)為沖擊造成系統(tǒng)退化量的增加，另一方面表現(xiàn)為系統(tǒng)的自然退化程度對沖擊結(jié)果的影響。假設(shè)系統(tǒng)因沖擊而失效的過程是δ沖擊過程，通過系統(tǒng)自然退化過程和沖擊過程的分布函數(shù)，導(dǎo)出了系統(tǒng)的可靠度函數(shù)，建立了系統(tǒng)可靠度模型的一般形式，并給出一種特例的具體形式，最后利用文獻中的具體參數(shù)進行仿真，以驗證模型的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：競爭性失效；δ沖擊；可靠性；相關(guān)性

基金項目：國家自然科學(xué)

收稿日期：2013-10-21修改稿收到日期：2014-05-10

中圖分類號:TB114.3文獻標(biāo)志碼：A

Reliability modeling for dependent competing failure processes under δ-shock

CHANGChun-bo1,2,ZENGJian-chao2(1. College of Electrical and Information Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China；2. Division of Industrial and System Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan030024, China)

Abstract:The system reliability modeling was studied considering the correlation between two s-dependent competing failure processes including degradation and shock when a system was subjected to δ-shock. On the one hand, shock process caused the additional abrupt degradation of the system; on the other hand, the degradation of the system affected the results of the shock process. Assuming that the system was subjected to δ-shock process, based on the distribution functions of the system natural degradation process and the shock process, the system’s reliability function was derived. The general form of the system’s reliability model was established and one of its specific forms was given. Finally, the simulation was preformed using parameters listed in a literature. The simulation results showed the correctness and validity of the model.

Key words:competing failure processes;δ-shock; reliability; dependent

系統(tǒng)在運行過程中，性能隨時間的推移不斷發(fā)生著退化，經(jīng)過一段時間的運行后，最終失效。在這一過程中，其功能也可能會在某一時刻由于外部沖擊突然喪失。即系統(tǒng)既會出現(xiàn)退化型失效(軟失效)，也可能會出現(xiàn)突發(fā)型失效(硬失效)，系統(tǒng)的失效則是這兩種失效模式競爭的結(jié)果[1]。

在有關(guān)系統(tǒng)可靠性建模的文獻中，最初僅考慮自然退化或沖擊單獨造成系統(tǒng)的失效。而對于高可靠性、長壽命的系統(tǒng)，基于退化過程的分布函數(shù)則能更有效的反映系統(tǒng)失效的機理過程，并且能提供一種間接的可靠性預(yù)測方法。因此，自20世紀90年代早期，大量的文獻用退化過程建模來分析系統(tǒng)的可靠性和統(tǒng)計特性[2-4]。對于那些易受到?jīng)_擊影響的系統(tǒng)，已有文獻對沖擊的建模也進行了廣泛的研究，并歸納為四種類型[5-8]：①極端沖擊模型。系統(tǒng)的失效是由于某個量級超過設(shè)定閾值的沖擊造成的；②累計沖擊模型。系統(tǒng)的失效是由于沖擊造成的退化量累計到一定程度造成的；③連續(xù)沖擊(run shock model)模型。系統(tǒng)的失效是由于k個連續(xù)的量級達到一定程度的沖擊造成的；④δ沖擊模型。系統(tǒng)的失效是由于兩個連續(xù)沖擊的間隔時間小于某一閾值δ而造成的。

在由多個退化過程組成的競爭性失效過程的可靠性分析方面。Ye等[9]考慮了自然退化和極端沖擊共同作用時系統(tǒng)的可靠度模型。Wang等[10]考慮了一種包含兩種沖擊的雙沖擊過程。Li等[11-12]分析了由兩種退化過程和一種沖擊過程構(gòu)成的3個獨立的失效過程，考慮了3個失效過程間的競爭性，只要有任意一個過程達到失效閾值，就認為系統(tǒng)失效。在這些模型中，只考慮了多個退化過程間的競爭性，但均假設(shè)各個過程間是獨立的，互相不影響。

在考慮自然退化與沖擊過程有相互影響方面，Wang等[13]分別考慮了沖擊對自然退化的兩種影響方式，分別是沖擊導(dǎo)致系統(tǒng)失效率的增大和退化量的增加，在假設(shè)系統(tǒng)受到極端沖擊的條件下，給出了自然退化過程的可靠性模型。Peng等[14]認為系統(tǒng)的自然退化和累計沖擊是相關(guān)的，累計沖擊造成了的系統(tǒng)退化量的增加，在該假設(shè)條件下推導(dǎo)出了系統(tǒng)的可靠度函數(shù)。Jiang等[15-16]同樣考慮了沖擊導(dǎo)致退化量的增加，并在此基礎(chǔ)上提出了沖擊失效的閾值可變性，但閾值的變化不是與系統(tǒng)的退化程度有關(guān)，而是因沖擊自身滿足某種條件引起的閾值變化。

在現(xiàn)有的文獻中，大多數(shù)只考慮沖擊對自然退化的影響。關(guān)于自然退化對沖擊的影響，現(xiàn)有文獻并沒有過多考慮。然而，在實際的系統(tǒng)運行過程中，系統(tǒng)的自然退化程度對沖擊的結(jié)果也會有一定的影響。例如，新投入使用的電力設(shè)備，可靠度往往很高，當(dāng)電網(wǎng)發(fā)生波動或受到雷擊時，在一定的范圍內(nèi)(強度或頻率)，一般不會造成損壞。但經(jīng)過長時間的運行后，相同強度或頻率的沖擊，就可能造成設(shè)備的失效，設(shè)備只能承受強度較小或頻率較低的沖擊，即系統(tǒng)因沖擊而失效的閾值隨著系統(tǒng)的退化而降低。

在沖擊模型的四種類型中，極端沖擊、累計沖擊和連續(xù)沖擊模型均考慮的是沖擊的量級對系統(tǒng)可靠性的影響，而δ沖擊則考慮的是沖擊的間隔時間或頻率對系統(tǒng)的影響。Li等[17-18]研究了δ沖擊條件下復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性和壽命特性。Ery1lmaz[19]利用連續(xù)沖擊的思想推廣δ沖擊模型，推導(dǎo)了系統(tǒng)的生存函數(shù)和平均故障時間，并給出了同時考慮連續(xù)沖擊的量級和間隔時間下系統(tǒng)的生存函數(shù)。Yeh[20]考慮δ沖擊的失效閾值δ是可變的，隨著系統(tǒng)維修次數(shù)的增加，δ變大或變小。在實際的系統(tǒng)運行過程中，系統(tǒng)受到δ沖擊的情況也很常見，如雨季時多次密集降雨導(dǎo)致的泥石流、山體滑坡，多個洪峰對水庫大壩的影響，電網(wǎng)的頻繁波動對電力設(shè)備造成的損害等。

本文假設(shè)系統(tǒng)因沖擊而失效的過程是δ沖擊過程，自然退化和沖擊過程的相關(guān)性一方面表現(xiàn)為沖擊造成系統(tǒng)退化量的增加，另一方面表現(xiàn)為自然退化過程對系統(tǒng)因沖擊而失效的閾值的影響。文中通過系統(tǒng)自然退化過程和沖擊過程的分布函數(shù)，推導(dǎo)出了系統(tǒng)的可靠度函數(shù)，建立了系統(tǒng)可靠度模型的一般形式和一種特例的具體形式，最后利用文獻中的具體參數(shù)進行了數(shù)值仿真。

1系統(tǒng)可靠性問題的描述

假設(shè)系統(tǒng)在服役期內(nèi)，受到包括自然退化和沖擊兩個退化過程的影響。系統(tǒng)受到的沖擊過程為δ沖擊，即兩次沖擊的間隔時間小于某一閾值時，系統(tǒng)失效。系統(tǒng)的運行過程根據(jù)退化程度劃分為運行前期和運行后期兩個區(qū)間，在每個區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)因沖擊而失效的閾值不同，以反映系統(tǒng)的實際運行情況。沖擊對系統(tǒng)的另一個影響是每次沖擊都會造成系統(tǒng)退化量的增加。

系統(tǒng)總的退化量包括自然退化的退化量和每次受到?jīng)_擊時造成的退化量，隨著服役時間的增加，其退化量不斷增大，當(dāng)退化量超過某一閾值時，認為系統(tǒng)不再適合服役，這一閾值稱為系統(tǒng)的失效閾值，達到失效閾值的系統(tǒng)認為是已經(jīng)失效的系統(tǒng)。

這樣，系統(tǒng)的失效就有兩種情況：系統(tǒng)總的退化量達到失效閾值或受到的沖擊的間隔時間小于某一閾值。其中任何一個條件符合，系統(tǒng)均會失效。系統(tǒng)的失效則可以看作是兩種失效模式競爭的結(jié)果。

圖1　δ沖擊下系統(tǒng)退化過程的示意圖 Fig.1 Schemes of system degradation process subject to δ-shock

系統(tǒng)有兩種失效模式，即，系統(tǒng)的退化量達到某一閾值H或沖擊的間隔時間小于閾值δ或bδ，其中任何一個條件符合，系統(tǒng)均會失效。

系統(tǒng)的退化量由兩部分構(gòu)成，包括系統(tǒng)自然退化的退化量和沖擊造成的退化量，當(dāng)總的退化量達到H時，系統(tǒng)失效(軟失效)。

2對自然退化過程和沖擊過程的一些具體假設(shè)

2.1　系統(tǒng)自然退化過程的假設(shè)

系統(tǒng)的自然退化過程假設(shè)為一隨機過程，可以為任意一種退化類型,包括線性和非線性退化過程，這里假設(shè)系統(tǒng)的退化量X(t)在某時刻t的分布函數(shù)為G(x,t)。

2.2　沖擊過程的假設(shè)

若t時刻沖擊到達的個數(shù)為N(t)，則在t時刻由沖擊造成的退化量的總量為：

(1)

FX(x,t)=P(Xs(t)

G( x, t)exp(- λt)+

(2)

其中第一項為沖擊的個數(shù)為0時，系統(tǒng)的退化量小于x的概率，第二項為沖擊的個數(shù)為i,i=1,2…，∞時系統(tǒng)總的退化量小于x的概率。

若系統(tǒng)的失效閾值為H，則在時刻t系統(tǒng)不發(fā)生軟失效的概率為

P(Xs(t)

(3)

如圖1所示，系統(tǒng)不發(fā)生硬失效的條件為所有沖擊的幅值均小于閾值，間隔時間均大于閾值，設(shè)第i次沖擊后系統(tǒng)不發(fā)生硬失效的概率為：

P(Wibδ)=FW(D1)exp(-λbδ),b≥1

式中i=1,2,…,∞,FW(w)為Wi的累積分布函數(shù)。

在沖擊和自然退化競爭失效的條件下，系統(tǒng)在t時刻的可靠度為：

(4)

3系統(tǒng)可靠度函數(shù)的建立

系統(tǒng)因沖擊而失效的模式為：當(dāng)退化量XS(t)δ,j=2,3…∞；當(dāng)退化量Lbδ,j=2,3…∞，b≥1為常數(shù)。對沖擊的幅值也有相應(yīng)的限制條件，要求在所有的沖擊中，沖擊的幅值不能大于閾值，否則系統(tǒng)就失效。

根據(jù)t時刻系統(tǒng)受到?jīng)_擊的個數(shù)，系統(tǒng)的可靠度函數(shù)可以分以下幾種情況討論：

(1)t時刻沖擊的個數(shù)為0，此時主要考慮系統(tǒng)不發(fā)生軟失效的概率：

R(t|N(t)=0)=P(XS(t)

P(X(t)

(5)

(2)t時刻沖擊的個數(shù)為1。由于只有一次沖擊，不存在時間間隔的問題，所以只考慮沖擊的幅值和系統(tǒng)總退化量小于閾值的概率：

R(t|N(t)=1)=P(W1

XS(t)

P(W1

(6)

(3)t時刻沖擊的個數(shù)大于1。由于系統(tǒng)在運行的前期和后期，發(fā)生硬失效的閾值不同，因此，根據(jù)系統(tǒng)的退化量又可分為兩種情況：

1)t時刻系統(tǒng)的退化量XS(t)

R(t|N(t)=i,2≤i≤[t/δ]+1)=

(7)

2)t時刻系統(tǒng)的退化量L≤XS(t)

R(t|N(t)=i≥2)=

XS(tj)≥L,L≤XS(t)

(8)

若已知t時刻系統(tǒng)受到i個沖擊，且系統(tǒng)的退化量在L和H之間，這時系統(tǒng)不失效的概率應(yīng)包括：所有的沖擊的幅值都小于D1的概率，第j-1個沖擊時系統(tǒng)的退化量小于L的概率，第j個沖擊時系統(tǒng)的退化量大于L的概率，前j-1個沖擊的間隔時間大于δ的概率，剩余沖擊的間隔時間大于bδ的概率，系統(tǒng)總的退化量在L和H之間的概率。

其中I(A)為指示函數(shù)，當(dāng)A成立時，I(A)=1，反之I(A)=0。

綜合以上三種情況，系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為：

R(t)=P(X(t)

(9)

將式(2)代入，可得系統(tǒng)可靠度函數(shù)的一般形式為：

(10)

式(10)為沖擊的到達服從速率為λ的泊松過程{N(t),t≥0}時,系統(tǒng)可靠度函數(shù)的一般形式。

在該式中，系統(tǒng)的退化量X(t)在某時刻t的分布函數(shù)以符號G(x,t)表示，系統(tǒng)的退化可以為線性退化過程，也可以為非線性退化過程，G(x,t)的具體形式則取決于系統(tǒng)的實際退化過程。

根據(jù)系統(tǒng)的實際情況，不同的退化過程采用不同的具體形式。

式(10)中tj-1為第j-1個沖擊到達的時刻，tj為第j個沖擊到達的時刻，均為隨機變量，考慮用各自的均值代替。

設(shè){N(t),t≥0}是參數(shù)為λ的泊松過程，如果已知在[0,t)內(nèi)有i個沖擊到達，則i個沖擊的到達時刻τ1<τ2<…τi和i個相互獨立同服從[0,t)上均勻分布的隨機變量U1,U2,…Ui的次序統(tǒng)計量U(1)

對于次序統(tǒng)計量的密度函數(shù)，有如下結(jié)論[22]：

設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個次序統(tǒng)計量x(k)的密度函數(shù)為：

pk(x)=

(11)

若總體X服從[0,t)內(nèi)的均勻分布，則第k個次序統(tǒng)計量x(k)的密度函數(shù)為：

(12)

根據(jù)期望值(均值)的定義求x(k)的期望：

4實例分析

4.1　可靠度函數(shù)形式的具體化

第3節(jié)中得到的可靠度函數(shù)為沖擊的到達服從速

(13)

4.2　參數(shù)的選取

為了分析可靠度函數(shù)的正確性，采用文獻[15]中的參數(shù)進行仿真。文獻[15]的參數(shù)選自美國圣地亞國家實驗室微機電系統(tǒng)可靠性試驗時記錄的參數(shù)值，具有典型的競爭性失效過程。

表1　可靠度分析的參數(shù)值

仿真的參數(shù)如表1所示。表中假設(shè)的參數(shù)可以根據(jù)系統(tǒng)的實際情況進行設(shè)定，仿真過程中分析了這些參數(shù)改變時對系統(tǒng)可靠性的影響。

將表1中的參數(shù)代入式(13)，得到的系統(tǒng)可靠度曲線如圖2所示。圖中曲線“有L”為采用本文可靠度模型得到的曲線，曲線“無L”為文獻[15]中可靠度模型的曲線。可以看到，在加入系統(tǒng)中后期的控制線L后，系統(tǒng)的可靠度有所降低，反映了對于相同間隔時間的沖擊，系統(tǒng)運行的前期和后期會有不同的沖擊結(jié)果這一現(xiàn)象。

圖2　系統(tǒng)的可靠度曲線 Fig.2 System reliability curve

圖3為沖擊失效閾值的系數(shù)b分別為1、3、5、7時系統(tǒng)的可靠度曲線，可以看到，隨著b的增加，系統(tǒng)的可靠度隨之降低。b增大，意味著系統(tǒng)進入后期時，要求沖擊的間隔時間更長，因此，在沖擊的到達速率保持不變的前提下，系統(tǒng)更容易失效，即系統(tǒng)的可靠度會降低。

圖3　失效閾值系數(shù)b變化時 系統(tǒng)的可靠度曲線的變化趨勢 Fig.3 Trend of reliability curve with b changes

圖4為系統(tǒng)中后期的控制線L分別為0.001 05、0.000 85、0.000 65和0.000 45時系統(tǒng)的可靠度曲線，可以看到，隨著控制線L的降低，系統(tǒng)的可靠度也隨之降低，且可靠度降低的時間點提前了，對應(yīng)實際運行時系統(tǒng)更早的進入中后期。L對可靠度曲線的影響主要集中在系統(tǒng)運行的中后期。

圖4　控制線L變化時系統(tǒng)的可靠度曲線的變化趨勢 Fig.4 Trend of reliability curve with L changes

圖5　δ變化時系統(tǒng)的可靠度曲線的變化趨勢 Fig.5 Trend of reliability curve with δ changes

圖5為δ變化時，對可靠度曲線的影響。δ的取值分別為1 000、1 500、2 000和2 500時，系統(tǒng)的可靠度曲線。由于系統(tǒng)的設(shè)定是兩個連續(xù)沖擊的間隔時間小于δ時，系統(tǒng)失效，所以當(dāng)沖擊的速率不變，δ變大時，沖擊的間隔時間更容易小于δ，即系統(tǒng)更容易失效，表現(xiàn)為系統(tǒng)的可靠度降低。

5結(jié)論

本文根據(jù)系統(tǒng)退化量的不同，將系統(tǒng)的運行過程分為運行前期和運行后期兩個區(qū)間。在不同的區(qū)間，對δ沖擊設(shè)定不同的失效閾值，即對于相同間隔時間的沖擊，系統(tǒng)運行的前期和后期會有不同的沖擊結(jié)果。利用系統(tǒng)和沖擊的分布函數(shù)，建立系統(tǒng)可靠度模型的一般形式，并給出了一個具體的形式，通過仿真驗證，可靠度模型達到了本文設(shè)定的目的。

本文的后續(xù)工作是將沖擊的失效閾值設(shè)定為系統(tǒng)退化量的函數(shù)研究其可靠性，這樣能更準(zhǔn)確、及時的反映沖擊的失效閾值隨系統(tǒng)退化量變化的現(xiàn)象。

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