適應物理競賽內容新調整提升對多普勒效應的認識

2016-01-12 06:41:45吳慶華

物理通報 2015年9期

關鍵詞：效應物理

吳慶華

(江蘇省沭陽高級中學　江蘇宿遷　223600)

適應物理競賽內容新調整提升對多普勒效應的認識

吳慶華

(江蘇省沭陽高級中學江蘇宿遷223600)

摘要：2013年全國中學生物理競賽委員會執行新的《全國中學生物理競賽內容提要》，多普勒效應是復賽題和決賽題新增補的內容之一，本文利用初等數學分別對機械波和電磁波的多普勒效應公式進行推導，并應用聲波和光波的多普勒效應規律求解全國中學生高中物理競賽題．

關鍵詞：多普勒效應公式推導競賽考綱調整奧賽題解析

1問題的提出

2011年全國中學生物理競賽委員會對原有的《全國中學生物理競賽內容提要》進行了調整和補充，復賽題和決賽題增補的內容多達42處，從2013年開始執行，多普勒效應就是新增補的內容之一，2014年全國物理奧賽復賽壓軸題就考查了光的多普勒效應．光的多普勒效應定量計算屬于邊緣性知識，奧賽輔導教材基本沒有涉及，大學普通物理也因為繁而沒有對電磁波的多普勒效應公式進行推導，因此，有必要對多普勒效應作較為全面的認識．

2多普勒效應

波源的頻率等于單位時間內波源發出的完全波的個數，觀測者接收到的頻率等于觀測者單位時間內接收到的完全波的個數．當波源和觀測者之間有相對運動時，觀測者接收到的頻率與波源的振動頻率不同，這種現象物理學上稱為多普勒效應．多普勒效應是波動過程的共同特征，不僅機械波有多普勒效應，電磁波也有多普勒效應．

2.1機械波的多普勒效應的公式推導

簡單起見，我們只討論波源S和觀察者的運動方向與聲音的傳播方向共線的情況. 設波源頻率fS，觀察者接收到的頻率為fR，介質中的波速為V．若波源和觀察者都不動時，單位時間內波源發出的完全波個數等于觀察者接收到的完全波個數，觀察者接收到的頻率

(1)波源靜止，觀察者運動

如圖1所示，靜止點波源發出的球面波波面是同心的，若觀察者以大小為v的速度靠近或離開聲源，則機械波相對于觀察者的傳播速度變為

v′=V+v

或

v′=V-v

于是觀察者接收到的頻率為

圖1

(2)聲源運動，觀察者靜止

若聲源以大小為u的速度運動，它發出的球面波波面不再同心，如圖2所示，兩圓分別是時間相隔一個周期T的兩個波面，它們中心之間的距離為uT，從而對于迎面而來或背離而去的觀察者來說，在一個周期時間內接收到的波長為

λ′=λ?uT=(v?u)T

觀察者接收到的頻率為

圖2

(3)聲源和觀察者都運動

這時，有效波速和波長都發生了變化，觀察者接收到的頻率為

說明：機械波總在一定的介質中傳播，上面所說的靜止和運動，都是相對于介質而言的，在這里波源速度u和觀察者速度v在公式里的地位不對稱：若波源和觀察者相向運動或者波源和觀察者均逆著波的傳播方向運動時，上式中取“+v”、“+u”；若波源和觀察者相背運動或者波源和觀察者均沿波傳播的方向運動時，上式中取“-v”、“-u”.

經典的多普勒效應物理中只有縱向效應，沒有橫向效應，如果運動速度不在波源與觀測者的連線上，只要考慮在連線方向的速度分量即可．

2.2電磁波的多普勒效應的公式推導

因為電磁波以光速傳播，光速c與參照系無關，電磁波的傳播不依賴彈性介質，所以波源與觀測者之間的相對運動速度決定了接收到的頻率．在涉及相對運動時必須考慮相對論時空關系．在相對論中，除縱向外，還有橫向多普勒效應，考慮到物理競賽要求，本文僅討論波源與觀測者在同一直線上運動的情況．

(1)若波源遠離觀測者運動

假設某一波源以速度v遠離地球運動,波源和地面的接收器的連線與波源的運動方向在同一直線上，在此過程中波源向地面接收器發出兩個電磁脈沖，在波源參考系S′看來，其時間間隔為Δt′，由于時間膨脹效應，在地球參考系S看來這兩個電磁脈沖的時間間隔

(1)

考慮到波源在發射兩個電磁脈沖時又退行了vΔt,所以地球接收到的這兩個脈沖的時間間隔

(2)

由(1)、(2)兩式得

因此，一個相對觀察者退行速度為v的波源，若它所發出的電磁波的本征周期為TS，本征頻率為νS，則觀察者觀測到的電磁波的周期

頻率

(3)

當波源遠離觀測者運動，νR<νS，觀察者接收到的電磁波的頻率比波源發射的頻率低，稱為紅移．

(2)若波源向觀測者運動

將式(3)中的v用-v表示，得到

(4)

當波源與觀測者相互靠近時，νR>νS，觀察者接收到的頻率比波源發射的頻率高，稱為紫移.

3奧賽題解析

3.1聲波的多普勒效應

【例1】(第22屆全國中學生物理競賽復賽第6題)兩輛汽車A與B，在t=0時從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進，如圖3所示．汽車A持續地以固定的頻率ν0鳴笛，求在任意時刻t汽車B的司機所檢測到的笛聲頻率．已知聲速為u，且有u>vA，u>vB．

圖3

圖4

由幾何關系可知

即

其解為

令

有

(1)

(2)

令v表示B車司機接收到的笛聲的頻率，由多普勒效應可知

(3)

由式(1)、(2)、(3)，得

點評：在經典物理中，只有縱向多普勒效應，沒有橫向多普勒效應，所以需將笛聲沿著在A與B兩車連線進行分解．

3.2光波的多普勒效應

6.141×1014Hz．由于這兩條譜線處于可見光頻率區間，可假設它們屬于氫原子的巴爾末系，即為n>2的能級向k=2的能級躍遷而產生的光譜．(已知氫原子的基態能量E0=-13.6 eV，真空中的光速c=2.998×108m/s)．普朗克常量h=6.626×10-34J·s，電子電荷量e=1.602×10-19C

(1)該星系發出的光譜線對應于實驗室中測出的氫原子的哪兩條譜線？它們在實驗室中的波長分別是多少？

(2)求該星系發出的光譜線的紅移量z和該星系遠離我們的速度大小v.

(3)求該星系與我們的距離D.