基于運動學基礎知識的多普勒效應公式推導

基于運動學基礎知識的多普勒效應公式推導*

黃海銘楊俊濤

(湖北汽車工業學院理學院湖北 十堰442002)

*湖北汽車工業學院“本科教學質量工程”研究項目，課題編號：JX201440，JX201441

摘 要：通過最基礎的運動學知識，對機械波沿波源和觀察者連線方向直線傳播的多普勒效應公式進行了推導，所得結果與其他推導方法得到的結論一致，本推導方法所涉及的理論知識較為簡單，顯得淺顯易懂.

關鍵詞：多普勒效應波信號速度頻率

作者簡介：黃海銘(1978-)，男，副教授，主要從事磁性材料研究及物理教學.

收稿日期：(2014-12-25)

多普勒效應是指由于觀察者(接收器)或波源，或二者同時相對于媒質運動，而使觀察者接收到的波的頻率與波源發出的頻率不同的現象，這種現象在生活中可以被廣泛地觀察到.然而，目前使用的物理教材和參考資料中，對多普勒效應結論公式的推導主要是從波數、相位的角度得到，作為初學者而言，要理解其推導過程，還有一定難度.本文將從最基礎的運動學規律出發，建立一種更容易理解的多普勒效應結論公式的推導方法.

1推導過程

為了簡單起見，本文主要討論機械波沿著波源和觀察者連線直線傳播的情況.如圖1(a)所示，設在t=0時刻，波源和觀察者之間相距x，從t=0時刻開始波源和觀察者之間有相對運動.波源所發出的波信號在靜止媒質中的傳播速度大小為u，波源和觀察者相對靜止媒質運動的速度大小分別為vs和vo，波源發出波信號的周期和頻率分別為T和f.下面以波源和觀察者沿同向運動為例作推導.

如圖1(b)所示，假設在t=tn時刻，波源發出第n個波信號，在0～tn時間內，波源運動的距離為vstn，觀察者運動的距離為votn.從tn時刻波源發出第n個波信號開始到觀察者接收到第n個波信號的時間間隔為

(1)

圖1　波源和觀察者在一條直線上運動

同樣如圖1(c)所示，假設在t=tn+1時刻，波源發出第n+1個波信號，在0～tn+1時間內，波源運動的距離為vstn+1，觀察者運動的距離為votn+1.從tn+1時刻波源發出第n+1個波信號開始到觀察者接收到第n+1個波信號的時間間隔為

(2)

以t=0時刻為參考，觀察者接收到第n+1個波信號和第n個波信號的時間間隔T′為

T′=(tn+1+Δt2)-(tn+Δt1)

(3)

因為tn+1-tn=T，將式(1)和式(2)代入式(3)并整理得到

(4)

于是觀察者接收到波信號的頻率f′為

(5)

以上是以波源和觀察者同向運動為例得到的多普勒效應公式，如果定義vow=u-vo為波信號相對于觀察者的速度大小，vsw=u-vs為波信號相對于波源的速度大小，式(5)的結論對在波源和觀察者連線情形下直線傳播的其他多普勒效應也適用.

2結果討論

在實際中，有可能出現波源或觀察者靜止時的多普勒效應，下面結合式(5)對這種情形作以下討論：

(1)波源靜止，觀察者向著波源方向運動，此時有

vs=0vow=u+vovsw=u

(2)波源靜止，觀察者遠離波源方向運動,此時有

vs=0vow=u-vovsw=u

(3)觀察者靜止，波源向著觀察者方向運動,此時有

vo=0vow=uvsw=u-vs

(4)觀察者靜止，波源遠離觀察者方向運動,此時有

vo=0vow=uvsw=u+vs

3結束語

本文采用較為簡單的運動學基礎知識，對波信號沿著波源和觀察者連線直線傳播時的多普勒效應公式進行了推導，結論與其他方法得到的結論一致.但整個推導過程并不包含對初學者而言難以理解的波數、相位等概念，使得其推導過程更易于為讀者所理解和掌握.

參 考 文 獻

1張秀梅. 多普勒效應公式的一種新的推導方法. 錦州醫學院學報, 2001 (2): 70～71

2黃偉, 陸天明. 巧推經典和相對論多普勒效應公式. 物理通報, 2010 (7): 95

3周美建. 淺談多普勒效應. 物理教學, 2010 (12):16～18