只有充類至盡 才能觸類旁通*——談物理教學中如何做到觸類旁通

只有充類至盡 才能觸類旁通*
——談物理教學中如何做到觸類旁通

羅賢輝

(南京市第十二中學江蘇 南京210011)

*江蘇省中小學教學研究2013年度第十期課題“基于新課程標準的高中物理深度備課行動研究”，項目編號：2013JK10-L002

摘 要：舉例說明教學中對新知識的外延部分作充分的推究，是深化知識的一種途徑，促使學生遇到問題時能夠做到觸類旁通.只有對知識 “充類至盡”才能做到“觸類旁通”.

關鍵詞：知識外延推論觸類旁通

收稿日期：(2014-12-01)

“充類至盡”，語出《孟子》，即推究同類事理到極精密處，指就事理作充分的推論.“觸類旁通”，語出《周易》，指掌握了某一事物的規律，就能推知同類事物.

教學活動中，教師通常會對相似的問題做歸納，找出共性歸為一類，形成專題，期望學生以后面對這類問題時，能做到“觸類旁通”，舉一反三.這顯然是一種很高效的教學方法.筆者認為，對問題歸類時，既要看到共性，更要看到差異和細節，見微知著方能弄清本質.這要求教師在教學中須對知識點外延部分作細致推究，做到“充類至盡”，使學生理解問題的方方面面，才能讓學生在面對同類問題時做到“觸類旁通”.

下面舉一個靜力學的例題說明這個道理，難度從“高考要求”過渡到“競賽水平”，效果從“筆算”過渡到“口算”.目的不是為了解題，而是強調細致推究可以起到事半功倍的效果，遇到類似問題時也不必從頭再來.推究過程做到“充類至盡”，使缺乏數學基礎的高一學生接受起來也能輕松愉快，毫不費力.

【例題】靜止于水平面上質量為m的物體，受到一個與豎直方向成θ角的力F的作用，無論F為多大，都不能推動該物體，求物體與地面間的動摩擦因數至少為多大(最大靜摩擦力按滑動摩擦力計算).

這是一道普通的靜力學問題，高一學生既沒有三角變換知識，又缺乏處理復合函數的能力，需要教師做大量的點撥.即使學過三角函數后，學生可以借助數學工具解出正確結果，卻又難以理解其力學本質，只能就題論題，無法做到觸類旁通推及其他.先看常規解法的局限性.

圖1

正交分解法：物體受力如圖1，因其處于靜止狀態，故水平方向

Fsinθ=f

豎直方向

N=mg+Fcosθ

又

f=μN

所以

F(sinθ-μcosθ)=μmg

因與F無關，所以

sinθ-μcosθ=0

即

μ=tanθ

正交分解法公正平和，四平八穩，是中學物理中重要的解題方法，其對學生的教育意義是多力平衡時要養成進行正交分解的習慣.不足之處是過于機械，不利于發散思維的培養.

推究1:分析力的作用效果.既是力學平衡問題，自然要從力的作用效果出發.與外力F的大小無關，說明在外力增大了ΔF的過程中，因外力變大而增加的動力效果與增加的阻力效果抵消，即

ΔFsinθ=μΔFcosθ

所以

μ=tanθ

推究1著眼于施加外力后，對物體產生的影響互相抵消這一力學本質，理解容易，計算簡單，不需要三角函數作前提，比正交分解法簡潔高效得多.這一物體靜止現象稱為“力學自鎖現象”，理解其原理，學生便可以輕松地解釋“螺栓與螺母”間的關系、螺旋式千斤頂等機械的工作機理.

觸類旁通1:如圖2，質量為m的物體靜止于傾角為θ的斜面上，現用一豎直向下的力F壓物體，能否使物體沿斜面下滑？

圖2

物體能靜止在斜面上，說明

mgsinθ=μmgcosθ

而外力F的方向豎直向下，與重力方向相同，故

Fsinθ=μFcosθ

增加的動力效果與阻力效果互相抵消，所以無法推動物體下滑.學生只需看一眼便可得出結論.若用正交分解法，豈不要從頭再來？當然，此題也可以把壓力等效為增大了物體的重量來理解，思路也很簡單.

推究2:分析力的作用特征.例題中提示最大靜摩擦力可當成滑動摩擦力來計算，而滑動摩擦力與正壓力成正比，即摩擦力與支持力的合力T的方向保持不變，如圖3所示.從圖中看出，如果推力F沿著T的反方向推動，則無論F多大，其增加的動力效果ΔFsinθ總與其增大的阻力效果μΔFcosθ相抵消，若θ<α，則Fsinθ<μFcosθ總成立，無論多大的力都無法推動物體，故臨界位置處

即

μ=tanθ

圖3

推究2著眼于一個細節，即“滑動摩擦力與正壓力成正比”，由此可以推出“摩擦力與支持力的合力方向保持不變”這一結論，可謂小中見大出奇制勝！合力與豎直方向不變的夾角稱為“摩擦角”，這一概念原屬于競賽內容，近些年高考中卻屢有提及，從發展學生思維角度出發并不過分，畢竟不是十分繁難的內容，只要合理安排，學生接受起來并無障礙.

觸類旁通2:用力拉著一個物體沿水平面勻速前進，已知水平面與物體間的動摩擦因數為μ，問拉力沿什么方向時最省力？

高一學生沒有學過利用三角函數求極值的數學方法，掌握摩擦力特征的上述推論后，可以成功避開數學障礙.先把摩擦力與支持力合成一個力T，且T的方向不變.然后應用熟悉的“圖解法”求得正確結果，如圖4所示.當拉力的方向與T垂直，即拉力與水平面的夾角

時即拉力最小.

圖4

不難看出，這一能力要求較高的靜力學問題，經過分析，最終可以“口算”出結果來，否則就需要借助于艱澀的數學推導來求函數的極值了.

可見，方法簡單源于對摩擦力“周邊知識”的精細推究，本題分析出平衡問題的“類型”后沒有停留在常規的解法上，而是繼續分析得出推不動的本質原因，這是對知識點的進一步“深化”，接著再分析得出推力變化但合力的方向不變這一特征，這已經是對原知識點的“升華”了，使之由一道普通例題，演變成與之相關的更深入的其他問題.若在講授每個知識點時，教師都像這樣力求窮盡其理“充類至盡”，展示出知識的豐富外延，那么學生就能細究緣由“觸類旁通”，養成良好的思維習慣.遇到類似問題時，學生也就能做到舉一反三，聞一知十.