3種方法破解繩牽連模型中的加速度問題

3種方法破解繩牽連模型中的加速度問題

孫翔

(安徽省宣城中學(xué)安徽 宣城242000)

摘 要：本文闡述了分解法解決繩牽連模型中加速度問題的錯(cuò)誤，并采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法、極坐標(biāo)法、速度關(guān)系求導(dǎo)法解決了繩牽連模型中的加速度問題.

關(guān)鍵詞：繩牽連模型運(yùn)動(dòng)的合成與分解相對(duì)運(yùn)動(dòng)極坐標(biāo)求導(dǎo)

收稿日期：(2014-12-17)

1問題的提出

貴刊2012年第3期刊載的 “分解法解決繩牽連模型中的加速度問題嘗試”一文嘗試通過運(yùn)動(dòng)的分解去尋找繩牽連模型中兩個(gè)物體加速度的關(guān)系[1].筆者認(rèn)為用運(yùn)動(dòng)的分解去解決這類問題是不妥的，得出的結(jié)論存在錯(cuò)誤.

如圖1所示，文獻(xiàn)[1]把質(zhì)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，第一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是N繞O點(diǎn)的變速圓周運(yùn)動(dòng)；第二個(gè)分運(yùn)動(dòng)是沿繩方向ON段的徑向運(yùn)動(dòng)．

圖1

N的第一個(gè)分運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)加速度，即切向加速度aτ和向心加速度an；第二個(gè)分運(yùn)動(dòng)有沿著繩子方向的徑向加速度ar，對(duì)比圖2和圖3可得

aNcosθ=ar-an

(1)

aNsinθ=aτ

(2)

圖2 圖3

筆者認(rèn)為式(2)是錯(cuò)誤的，aN的切向分加速度并不只有變速圓周運(yùn)動(dòng)中的切向加速度aτ.那么問題出在什么地方呢？筆者認(rèn)為是此題方法選擇得不對(duì)，此類問題不能用運(yùn)動(dòng)的分解來解決，我們不妨先來看一個(gè)相類似的例子.如若運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解來處理，也同樣會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【例題】如圖4所示，圓盤半徑為R，以勻角速度ω繞垂直于盤心O的軸線轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)點(diǎn)沿徑向以恒定速度u自盤心向外運(yùn)動(dòng)，試求質(zhì)點(diǎn)的加速度各分量的量值[1].

圖4

錯(cuò)解：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)槽的運(yùn)動(dòng)及與槽一起轉(zhuǎn)動(dòng)兩者之合運(yùn)動(dòng).質(zhì)點(diǎn)相對(duì)槽做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故這個(gè)分運(yùn)動(dòng)的加速度為零；與槽一起轉(zhuǎn)動(dòng)，是以O(shè)點(diǎn)為圓心的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度只有向心加速度，設(shè)某一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動(dòng)到與O相距為r的位置，其向心加速度為

an=-ω2r

所以質(zhì)點(diǎn)的加速度為

a合=-ω2r

正解：設(shè)某一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動(dòng)到與O相距為r的位置A，槽在盤上的方位記為y方向，質(zhì)點(diǎn)在位置A的速度是其對(duì)槽速度u(沿y方向)與槽的A點(diǎn)速度v=ω×r(沿切線方向)的矢量和.為了求質(zhì)點(diǎn)在A處的瞬時(shí)加速度，我們?nèi)∫恍《螘r(shí)間Δt，在時(shí)刻t+Δt，若盤不動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B位置，其與盤心O相距r+uΔt，但因盤是以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)的，在Δt時(shí)間內(nèi)，盤轉(zhuǎn)過了角度Δθ=ωΔt，故質(zhì)點(diǎn)隨槽移動(dòng)一段弧長(zhǎng)，實(shí)際應(yīng)在位置B′，如圖5所示．

圖5

質(zhì)點(diǎn)在B′處的速度是質(zhì)點(diǎn)對(duì)槽的速度u(沿OB′方向)與槽上B點(diǎn)速度v=ω×(r+uΔt)(垂直于OB′方向)的合成，在Δt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿y方向速度增量為

(3)

質(zhì)點(diǎn)沿x方向速度增量為

(4)

則

-ω2r

(5)

2ωu

(6)

這個(gè)加速度是由于參考系(圓盤)轉(zhuǎn)動(dòng)及質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，方向可由矢量公式a科氏=2ω×u確定，通常稱之為科里奧利加速度.

為什么不能用運(yùn)動(dòng)的分解去解決這類問題呢？因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的合成與分解所研究的運(yùn)動(dòng)其分運(yùn)動(dòng)都必須是相對(duì)于同一個(gè)參考系的.例如平拋運(yùn)動(dòng)可以把它看成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)都是以地面為參考系的.而上述槽中質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，它們分別是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)槽的運(yùn)動(dòng)與槽相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)，并不能看成是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地面的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng).再如本文當(dāng)中N的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，第一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是繞O點(diǎn)的變速圓周運(yùn)動(dòng)，這是以地面作為參考系的；第二個(gè)分運(yùn)動(dòng)是沿繩方向上的直線運(yùn)動(dòng),這個(gè)運(yùn)動(dòng)并不是以地面作為參考系的，它是以轉(zhuǎn)動(dòng)的繩作為參考系的.在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，物體在做牽連運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，沿旋轉(zhuǎn)半徑做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，由牽連運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)交互耦合會(huì)形成額外的一個(gè)加速度，稱為科里奧利加速度.所以這類問題用運(yùn)動(dòng)的合成與分解是不正確的.

2科學(xué)的解法

那么如何解決此類繩牽連物體模型中的加速度問題呢？筆者認(rèn)為以下3種方法比較科學(xué).

2.1相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

相對(duì)運(yùn)動(dòng)是分別在靜止參考系K和運(yùn)動(dòng)參考系K′下研究物體的運(yùn)動(dòng)，其速度變換關(guān)系為

v絕對(duì)=v相對(duì)+v牽連

例如，在小船渡河的問題中，速度變換關(guān)系為v船岸=v船水+v水岸，其中v船岸是絕對(duì)速度，即船相對(duì)靜止參考系K(河岸)的速度,v船水是相對(duì)速度，即船相對(duì)運(yùn)動(dòng)參考系K′(河水)的速度， v水岸是牽連速度，即運(yùn)動(dòng)參考系K′(河水)相對(duì)靜止參考系K(河岸)的速度.而在平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下加速度變換關(guān)系較之于速度變換關(guān)系要復(fù)雜得多，加速度變換關(guān)系

a絕對(duì)=a相對(duì)+a牽連+a科氏

其中a絕對(duì)為質(zhì)點(diǎn)在靜止坐標(biāo)系K中的加速度；a相對(duì)是質(zhì)點(diǎn)在平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系K′中的加速度;a牽連為牽連加速度是運(yùn)動(dòng)參考系K′相對(duì)靜止參考系K的加速度，a牽連由3部分構(gòu)成,一項(xiàng)是運(yùn)動(dòng)參考系K′的原點(diǎn)相對(duì)于靜止參考系K的加速度,另一項(xiàng)是向心加速度an,第三項(xiàng)是切向加速aτ;a科氏為科里奧利加速度.

在繩拉船的例子當(dāng)中，如圖6所示，我們?nèi)〉孛孀鰠⒖枷担設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸，建立靜止坐標(biāo)系K，同樣以O(shè)點(diǎn)為圓心，以繩長(zhǎng)方向建立x′軸，垂直方向?yàn)閥′軸，建立平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系K′.

圖6

則 a絕對(duì)就是小車相對(duì)于地面的加速度aN，a相對(duì)就是N在平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系K′中的加速度，這個(gè)加速度方向沿x′軸，大小等于貨物M的加速度aM，由于K與K′系原點(diǎn)重合，所以牽連加速度為向心加速度an和切向加速度aτ，還存在科里奧利加速度a科氏，將a絕對(duì)=a相對(duì)+a牽連+a科氏寫成標(biāo)量式

aNcosθ=aM-an

(7)

aNsinθ=aτ+a科氏

(8)

可見式(7)與式(1)相同，但式(8)更正了式(2)的錯(cuò)誤.

2.2極坐標(biāo)系法

取滑輪處作為極點(diǎn)(滑輪可視為質(zhì)點(diǎn))，水平方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系,如圖7所示.

圖7

N的速度有徑向分量和橫向分量

M的速度與N速度的徑向分量相等，即

vM=vr=vNcosθ

N的加速度有徑向分量和橫向分量

(9)

(10)

(11)

其中

所以此式與式(7)相同.切向加速度

aθ=aNsinθ

2.3速度關(guān)系求導(dǎo)法

因?yàn)槔K不能伸長(zhǎng)，所以兩物體沿繩方向的速度相等，即

vM=vNcosθ

(12)

式(12)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(13)

其中

所以式(13)與式(7)相同.

2.4進(jìn)一步討論

圖7中ON的長(zhǎng)度可表示為

繩繞定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

(14)

(15)

(16)

(17)

將式(15)～(17)分別代入式(7)、(8)可得

(18)

(19)

化簡(jiǎn)式(19)，可得

(20)

式(20)再次證明了式(8)是正確的.

3結(jié)束語

由上面討論可以看出繩子牽連的兩個(gè)物體之間的速度關(guān)系比較簡(jiǎn)單，但加速度問題相對(duì)復(fù)雜，涉及到平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下加速度的變換，存在著科里奧利加速度，是不能簡(jiǎn)單地運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解進(jìn)行討論的，其實(shí)這3種方法中都包含了高等數(shù)學(xué)求導(dǎo)的方法，這也是高中物理教學(xué)中回避繩牽連模型中的加速度問題的原因.

參 考 文 獻(xiàn)

1徐海鵬.分解法解決繩牽連模型中加速度問題的嘗試.物理通報(bào)，2012(3)：57～58

2周衍柏.理論力學(xué)教程.北京：高等教育出版社，1985.243