求一個有限網絡電路的電阻

求一個有限網絡電路的電阻

龍 亮

(寧波市鄞州高級中學浙江 寧波315194)

收稿日期：(2015-01-12)

請看下面一道試題：

圖1是一個由41個電阻連接而成的電路，其中R0=5 Ω,R1=R3=R5=…=R39=50 Ω,R2=R4=R6=…=R40=10 Ω, 求A,B間的電阻大小.

圖1

初看這道題可能有人會覺得很簡單.但請您注意：(1)奇數號電阻的阻值是50 Ω，而不是5 Ω；(2)這不是無窮多個網格，且R0的阻值和其他偶數號電阻的阻值不同.

如果奇數號電阻的阻值都是5 Ω，我們很容易算出A,B間的電阻RAB=5 Ω；若是無窮多個網格，我們可以這樣算.

設RAB=RCD=Rx，則

即

解得

8.541 019 662 496 85 Ω

現在這道題既不是無窮網格，所給的數值又不好算.那么怎么解決這道題呢？我們必須從最右邊的網格開始一直往左邊算，直到求出結果.顯然，這樣帶來的計算量是很大的.下面筆者想介紹一種用Excel表格來計算此題的方法，希望可以給以后遇到類似情況的各位同仁提供些許借鑒.

打開Excel工作薄，如圖2，在表格第一行輸入對應列數據含義的文字描述(如果覺得沒必要也可以省去這一步)；在A2單元格輸入55(因為電路右邊第一網格R0與R39串聯的結果是55 Ω，故在A2單元格輸入55)；在B2單元格輸入10；在C2單元格輸入公式“=SUM(A2:B2)”；在D2單元格輸入公式“=A2*B2/C2”,這樣D2單元格就顯示出右邊第一單元格兩輸出端(即圖1中E，F兩端)的等效電阻；然后再在A3單元格輸入公式“=D2+50”；接下來我們只需將鼠標分別移動到A3，B2，C2，D2單元格右下角，待鼠標變成十字架后按住鼠標左鍵不動往下拉到所需要的行數，就能很快地算出從右邊開始第n個單元格兩輸出端的等效電阻(即D列數據)，非常方便和快捷.

圖2

在這種方法中，為了提高精度，我們還可以選擇所需的數據，右擊選擇“設置單元格格式”，調整數值小數點后的位數.如圖3是筆者選擇了小數點后位數為15位的結果.

圖3

通過圖3的結果我們會發現：當從右邊開始算到第3個網格后，等效電阻變化很小；算到第10個網格后，等效電阻能在小數點后14位保持不變，并且此時等效電阻與前面看成無窮網格計算的結果一致.

通過這種Excel表格來計算的方法，我們還會發現一個有趣的現象：如果賦予R0與R39串聯后的不同阻值(無論多小或多大)，即改變A2單元格的數值，經過10～11個網格后，算出來的等效電阻值還是與前面看成無窮網格計算出來的結果在小數點后14位保持一致.這告訴我們，此題A，B間的電阻值與R0無關.

為何會出現這種現象呢？讓我們先從數學上來分析一下(注：以下均為數學方程，其中的字母均為數值).

設電路第n網格兩端的等效電阻為Rn，前一網格兩端的等效電阻為Rn-1，則

(1)

設一個常數k，式(1)兩邊同時減去k，即

此式可化為

(2)

將k1,k2代入式(2)，得到下列兩式

(3)

(4)

式(3)除以式(4)得到

所以

其中R0=5 Ω.即

由此解得Rn的通項表達式為

其中R0=5 Ω.

其實，出現這樣一個結果也不奇怪.讓我們再從物理上來分析一下.如圖4，將R0改成一個滑動變阻器，假設這個滑動變阻器可以從零調到無窮大.顯然，當R0從零開始增大時，A,B間的等效電阻應該是增大的,但由于最后要與R2并聯，而并聯的總電阻是小于任一分電阻的，所以A,B間的等效電阻永遠不可能超過R2，肯定要趨于小于R2的一個有限阻值.

圖4

經過上面的分析，筆者希望通過本文能給您帶來以下借鑒和參考：

(1)本題的網絡電路經過若干個網格后，等效電阻會趨于某一值，并且與電路最后一格R0的阻值無關；另外，就物理上而言，題中加不加無限網格的條件已無差別.

(2)Excel是一個簡單而強大的計算工具.以后遇到類似的情況，可將Excel作為物理上的數學計算、驗證工具，這樣可以避免大量的計算或計算器操作，也可避免用高端編程工具去求結果；用Excel去驗證結果和處理數據既簡單，又可以一目了然地看出數據變化，還可以很方便地調節數據的精確度(小數點后的位數).

(3)Excel中各行數據的變化，有助于學生理解數學上的無窮收斂和物理上的相等之間的聯系.