用托盤天平測量物體質量過程中的幾個問題

用托盤天平測量物體質量過程中的幾個問題

羅臘春

(宣城市第六中學安徽 宣城242000)

摘 要：托盤天平的橫梁是一個復式杠桿，在物體或砝碼偏離盤中心位置時，搖桿產生的約束反力力矩與托盤支架上所受的附加力矩抵消，天平不會失去平衡；測量前，通過調節平衡螺母讓杠桿在水平位置平衡，使杠桿的重心處于橫梁豎直對稱軸線上的支點正下方，這樣就消除了因杠桿自身重而產生的系統誤差；只有橫梁自動回到水平位置平衡時，才是穩定平衡，這時砝碼的質量才等于物體質量.

關鍵詞：重心系統誤差約束力力矩

收稿日期：(2014-12-15)

對生活中的杠桿進行分類時，我們都會將測量中的托盤天平橫梁歸為等臂杠桿，這就激發了學生對天平再認識和思考的興趣，并站在杠桿的角度對天平提出了一些問題，可歸納為：

(1)天平橫梁既然是等臂杠桿，測量前為何還要調平衡螺母使其在水平位置平衡？

(2)測量中，當待測物體的質量與砝碼質量相等時，為何橫梁總會自動回到水平位置平衡？

(3)物體或砝碼放在盤中的位置為何不影響測量結果?

下面將對這些問題進行討論.

1砝碼與待測物體質量相等的條件

橫梁自動回到水平位置平衡時，砝碼的質量才與待測物體的質量相等.

如圖1所示的示意圖是我們教學中常用的簡圖，它表示調好的天平的橫梁是一個等臂杠桿，它的支點就在橫梁的刀口O點，橫梁的重心與支點重合.當天平的橫梁偏至與水平線成θ角時，左右兩邊力的力矩分別為

M1=m物gl1cosθ

M2=m碼gl2cosθ

圖1　托盤天平的示意圖

由于l1=l2，且兩項都有cosθ因子，很明顯在m物=m碼時，無論θ多大總有M1=M2，就是說當砝碼的質量與待測物體質量相等時，橫梁可平衡在任意位置，應出現“隨遇平衡”的現象.這就是學生推導所得的結論.如果想使杠桿回到水平位置平衡，只要用手將杠桿從現在的位置緩慢轉到水平位置即可.然而，實際的操作中橫梁會自動回到水平位置后靜止下來，處于“穩定平衡”狀態.

理論的推導與實際的現象為何不一致呢？問題出在天平橫梁這一實際杠桿與托盤天平示意圖的結構差異上.對天平橫梁稍加觀察就會發現，調好后的天平橫梁重心并不與支點重合，而在支點O的正下方.托盤天平橫梁的形狀是不規則的，為了討論簡單起見可借用圖2予以說明.

圖2　天平橫梁偏離水平方向時，靠杠桿自身重力矩恢復平衡

圖2中的O是橫梁的支點，O1是復式杠桿的重心位置，經過測量前的橫梁水平調節，OO1的連線在橫梁的豎直對稱軸上.當橫梁水平時，杠桿自身重力的作用線通過支點，產生的力矩為零.而在橫梁偏離水平方向與豎直方向夾角為θ時，杠桿自身重力的作用線不通過支點，此時的橫梁有3個力矩的共同作用，若平衡應滿足

r1×F1=r2×F2+ r0×G0

(1)

即

m物glsinθ=m碼glsinθ+G0·OO1sinβ

(2)

另外存在的關系有

OA=OB=l

β=θ-90°

則

(3)

由式(3)可以看出，當m物-m碼=0，即m物=m碼時，θ=90°，橫梁平衡于水平位置；當m物≠m碼時，則θ≠90°，即橫梁平衡于水平位置以外的其他地方，兩盤中的質量一定不等.

由此可見，平衡后的天平橫梁因為擾動而偏離水平位置時，杠桿自身重力的力矩就不為零，橫梁在該力矩作用下回到水平位置的穩定平衡狀態.

2測量前使橫梁在水平位置平衡的必要性

很明顯，如果測量前未調節橫梁兩端的平衡螺母使橫梁在水平位置平衡，橫梁這一杠桿的重心一定會偏離橫梁的豎直對稱軸線，向左或右端平移.如圖3所示的是重心偏至P點的情況，P點位置與橫梁上平衡螺母的位置有關.

圖3當橫梁水平時，杠桿自身重力的作

用線不通過支點會帶來系統誤差

當在右盤中增、減砝碼，使橫梁在水平位置平衡時，由杠桿原理可得

m物gl+G0·OPsinα=m碼gl

(4)

式(4)中α是OP與OO1的夾角，G0是杠桿的自身重.這個表達式與希望獲得的m物=m碼是有差距的，G0·OPsinα一項其實也屬于實驗的系統誤差，但它可以通過實驗調節而被消除.為了消除這一項系統誤差，必須滿足

G0·OPsinα=0

即

OPsinα=0

而

得

OO1tanα=0

這說明在有α=0的關系時，也就是當P與O1重合時，由重力矩產生的系統誤差被完全消除.可見，測量前調節平衡螺母使橫梁在水平位置平衡，表面看來是讓杠桿的重心在橫梁豎直對稱軸支點的正下方，實質是為了消除杠桿自身重力力矩帶來的系統誤差.所以，這一調節過程是不可或缺的.

3物體或砝碼在托盤中的位置不影響測量結果

測量過程中，待測物體放左盤，在右盤中加砝碼，待天平平衡時改變待測物體或砝碼在盤中的位置，發現天平的平衡狀態不發生改變.因此，自然產生這樣的問題：天平實質是一個等臂杠桿，平衡后的天平，當改變物體或砝碼在盤中位置時，力臂大小也隨之改變，由杠桿原理，天平的平衡應被破壞，可實際上并沒有這樣，原因又是什么呢?

要弄清這個問題，我們必須探究托盤天平的內部結構.托盤天平并不是一個簡單杠桿，而是一個復式杠桿，每個托盤支架下固定著一根豎桿，托盤支架和豎桿不是固定在橫梁上，而是通過活動刀口支撐的，就是說，托盤支架和豎桿也是一根以活動刀口A，B為支點的杠桿；每根豎桿的下端還提供鉸鏈與各自的搖桿相連，左右搖桿的另一端固定在底座O′上，搖桿只能繞O′轉動而不能發生平動，它始終與橫梁平行.如圖4(a)所示，托盤天平的內部結構是一個矩形結構，這種結構在其他衡量器中也有應用，叫做“羅伯爾矩形結構”.天平橫梁在水平位置平衡時，結構為矩形，當橫梁傾斜時就變為平行四邊形.

圖4　天平的內部結構及托盤受力圖

將等質量的物體和砝碼放在左、右盤中心位置時，其重力通過托盤架加在橫梁上，砝碼盤中砝碼的重力產生的力矩成為順時針方向的主力矩，砝碼盤中物體的重力產生的力矩成為逆時針方向的主力矩，此時豎桿下端的搖桿沒有力的作用；但當將砝碼在右盤中外移時，其重力就要產生附加力矩ΔM，此力矩沒有加在橫梁上，而是加在了托盤支架和豎桿構成的杠桿上，因為托盤支架與豎桿這根杠桿與橫梁是通過活動刀口連接的.附加力矩想讓這根杠桿繞活動刀口B沿順時針轉動，豎桿下端D通過鉸鏈對搖桿產生作用力，搖桿對D的約束反力矩就會將附加力矩平衡掉.當然此時橫梁也會受到附加力F的作用，但只要搖桿與橫梁平行，那么該力作用線就一定通過橫梁的固定支點，不會產生轉動力矩.如圖4(b)所示為托盤支架和豎桿上力的作用情況，當整體處于平衡狀態時

由杠桿的平衡原理

F′y=Gx=ΔM

即約束反力矩與附加力矩總是大小相等，其作用相互抵消，故而附加力矩不再影響天平的平衡.

當砝碼向內移時，除了砝碼的重力G和托盤支架的支持力N不變外，其他的力和相關力矩方向與圖4(b)所示相反，但其原理與前面是相同的.

參 考 文 獻

1李樹煥,楊來五,戴澤墩.理論力學.北京：北京理工大學出版社,1986.8