拔河比賽中的力學問題

拔河比賽中的力學問題

管 靖

(北京師范大學物理學系北京100875)

王春鳳

(北京師范大學物理學系北京100875；北京師范大學學報自然科學版編輯部北京100875)

摘 要：本文分別利用質點模型和剛體模型來對拔河問題建立模型并進行了受力分析.采用質點模型得到的結論是，在摩擦因數相同的條件下，體重較大者占優勢.采用剛體模型得到的結論是，在體重相同的條件下，選拔拔河比賽的隊員時要優先選用身材較高的，在比賽中還要求隊員盡力保持身體的伸展．

關鍵詞：拔河比賽質點模型剛體模型受力分析

收稿日期：(2015-01-09)

圖1[1]和圖2是正式拔河比賽的照片，他們拔河的姿勢和我們民間拔河有不小的差別.看起來隊員都身材高大、體態矯健，男女隊員拔河的姿勢有共同之處——身體舒展向后傾斜．為什么拔河時運動員身體要向后傾斜？他們為什么盡量保持身體的伸展呢？

圖1

圖2

兩隊之間的拔河涉及比賽技巧和團隊合作等等問題，難以作力學分析，下面我們先簡化為兩個人之間的拔河，建立質點模型進行分析討論．

1質點模型

圖3是小孩與成人拔河的示意圖，二人的質量分別為m1和m2，先選用最簡單的模型，把兩人均視為質點，所以圖中把人畫成什么樣子和人采用什么姿勢都沒有什么關系，如果畫成模型化的圖則如圖4所示．

圖3

圖4

拔河所用的繩子模型化為不可伸長的柔軟輕繩，盡管成人力氣大，但他不可能對繩施加大于小孩施加的拉力，輕繩兩端的拉力總是大小相等的．拔河勝負不直接取決誰的力氣更大，而是取決于兩個人受到的、由地面施與的最大靜摩擦力的大小，當某人受到的繩的拉力大于由地面施與的最大靜摩擦力時，他就被對方拉動，他的比賽就輸掉了．摩擦力采用庫侖模型，Ff0≤μ0FN，考慮到人所受地面支撐力FN與重力W平衡，所以不難想象，若小孩站在普通地面上，而成人站在冰面上，比如μ10≈10μ20，小孩會是勝方．若雙方的鞋子相同，站在同樣的地面上，μ10=μ20，則大人(體重較大者)獲勝．

這種以質點模型來分析拔河的方法肯定過于簡單，很不盡人意，但得到了一個結論：在摩擦因數相同的條件下，體重較大者占優勢．當然，僅根據這個結論來推斷拔河比賽的勝負是不行的，果真如此，只要稱稱體重就可以判斷勝負了，還要比賽干什么？但是，這個用最簡單的模型得到的結論是最基礎的和非常重要的，成為拔河比賽中分級的基礎，在正式拔河比賽中，每隊8人，依照8人的總體重分級，比賽在體重級別相同的情況下進行，以保證比賽的公平．

2剛體模型

本章我們前進一步，用最簡單的剛體模型繼續拔河問題的討論．設甲、乙二人體重相等、身高相同，把兩個人都簡化為均勻直桿剛體模型．圖5為二人相持的平衡狀態，每個人所受地面支撐力FN與重力W平衡，靜摩擦力Ff0與繩拉力FT平衡，設靜摩擦力已接近最大值．根據轉動剛體處于平衡的條件，以人腳處為轉動的軸，人為保持平衡必須向后傾斜身體，使重力對腳(軸)的力矩與繩拉力對腳的力矩平衡．因二人體重相等、身高相同，故二人向后傾斜的角度也相同．

圖5

圖6所示為在保持繩長不變、二人腳的位置不變的條件下，由于某種原因甲后傾減少而乙后傾加劇的狀態．由圖6可見，甲所受繩拉力FT1有豎直向下的分力，而乙所受繩拉力FT2有豎直向上的分力，這使得甲所受地面支撐力FN1比乙所受地面支撐力FN2大，仍設摩擦因數相等，故乙所受地面的最大靜摩擦力小于甲所受地面的最大靜摩擦力．由于FT1=FT2，所以和甲相比，乙的腳會先發生滑動(向左)．一旦滑動則滑動摩擦力小于最大靜摩擦力，因此乙可能失?。珡膱D6還可見，因二人體重相同W1=W2，重心高度相同，乙向后傾斜得更厲害，所以乙所受重力W2對腳的力臂大于甲所受重力W1對腳的力臂，因此乙所受重力W2對腳的力矩大于甲所受重力對腳的力矩，二人都有可能順時針轉動，于是乙也有獲勝的可能．如果考慮到人不是簡單的均勻直桿剛體，雙方均有變換姿式的可能，所以用簡單的力學方法推斷其勝負仍然是困難的．

圖6

但是，參照上述分析，如果甲、乙二人體重相同，甲的身材比乙的身材更高，如圖7所示，仍考慮摩擦因數相等，則甲所受地面的最大靜摩擦力大于乙所受地面的最大靜摩擦力．二人向后傾斜角度相同，因甲的重心更高，甲所受重力對腳的力矩大于乙所受重力對腳的力矩，因此二人都會逆時針轉動．于是可知，甲會獲勝．所以我們可以得到另一個結論，在體重相同的條件下，身材較高者在拔河比賽中占優勢．雖然拔河比賽中兩隊間的繩長較長(4 m)，因此雙方身高對比賽的影響較小，但這個結論也在實際的拔河比賽中有所體現：在選拔拔河比賽的隊員時要優先選用身材較高的，在比賽中還要求隊員盡力保持身體的伸展．

圖7

3小結

參照拔河比賽的現場照片，拔河隊員的姿勢和直桿剛體模型較為接近，所以我們的討論可以到此為止了，更進一步的復雜細致的工作可以留給運動力學的研究者去做.很多人認為物理學很復雜，這是不對的，物理學總是用簡化的理想模型，研究最基本、最基礎的問題，物理學崇尚簡約，比起更注重實際應用的技術學科要簡單許多．

實際的拔河比賽是兩隊人之間的比賽，技術、戰術的運用，特別是團隊協作精神的發揮起著重大作用．只要雙方體重在同一級別內，比賽就是公平的，其勝負也無法用力學方法預測．培養團隊協作精神是基礎教育的重要環節之一，在人類的科技活動中，協作精神也有至關重要的作用．

參 考 文 獻

1搜狐體育. 全國體育大會拔河比賽首日結束遼寧露出霸主相.(20100524)http://sports.sohu.com/20100524/n272316341.shtml