關于兩等量同種點電荷中垂線上場強最大值的再思考

關于兩等量同種點電荷中垂線上場強最大值的再思考

陳一垠

(南京師范大學教師教育學院江蘇 南京210097)

摘 要：兩等量同種點電荷連線中垂線上的電場強度存在一極大值點，高中階段學生由于數學知識不足,無法求出該極大值點.本文通過代數求導法以較為簡潔的步驟精確地求出該極大值點的位置以及場強的最大值.

關鍵詞：點電荷等量電場強度最大值

收稿日期：(2014-12-19)

在高中物理“電場強度”這一節內容中，有這樣一個問題：真空中的兩個位置分別放有兩等量同種點電荷，從兩點電荷連線的中點開始沿其中垂線向外，電場強度的大小怎樣變化？

對于這個問題我們首先可以進行定性的判斷，即這兩個點電荷中點處的電場強度為零，而無窮遠處的電場強度也為零，但是中垂線上的其他位置通過矢量疊加可知電場強度的大小并不為零，那么就可以知道從這兩點電荷連線的中點開始沿其中垂線向外，電場強度的大小變化情況為先變大后變小.在高中階段，學生能夠做出這樣的回答已經是令人滿意的了,但對于已經修過《普通物理》和《高等數學》的物理學科教學工作者而言，這樣的定性解答似乎仍意猶未盡，我們不禁要追問一句：在這兩個等量同種點電荷連線中垂線上電場強度的最大值究竟在何處？其最大值又是多少？

貴刊2010年第9期“兩等量同號點電荷中垂線上場強的極大點”[1]一文用一種類似于數學中的二分法的求解思路求出了電場強度最大值所在的近似位置，方法雖妙，但過程略顯繁瑣，且沒能得到電場強度最大值的準確值，還是有點遺憾.現將文獻[1]的計算步驟歸納如下.

圖1

如圖1所示，假定兩等量同種點電荷的距離為2L.計算可得A,B兩點電荷在其中垂線上某點P的合場強為

(1)

積化和差，式(1)轉化為

(2)

其中，Q為點電荷所帶的電荷量，k為靜電力常量，α為點電荷到P點的連線與兩點電荷連線的夾角.

為求場強的最大值點，對式(2)求導后得

(3)

式(3)為零時求得的α可能為極值的位置.采用無限逼近的方法來確定最大值的位置，即

3cos3α+cosα=0

(4)

由于這里的自變量α的取值范圍為0～90°，要滿足式(4)，則3α必須超過90°，說明α必定大于30°.然后通過合理選取α的值，以期得到方程(4)的近似解，具體的取值過程如表1所示.

表1　求解式(4)時 α的取值

可見，最終得到的近似解為α=35.265°，將該值代入到式(2)后可得

由于上述解法較為繁瑣，筆者提出一種較為簡潔的解法.

現假設題設條件仍如圖1所示，并取兩點電荷連線的中點為O點，設OP=x，則

將這兩式代入式(1)后可得

(5)

且這里令x≥0.若要求得場強的最大值，則只要求出函數

(6)

的最大值即可.對式(6)求導得

(7)

令y′=0可解得

將其代入式(5)后可得

這也進一步驗證了文獻[1]中的近似解已經相當精確，相比而言，第二種解法可以求出場強的最大值的準確值且步驟較為簡潔.但由于高中生數學知識的儲備有限，這種方法并不需要高中階段的學生掌握，他們僅需知道在兩等量同種點電荷連線的中垂線上存在著兩個對稱的場強最大值點即可.

參 考 文 獻

1楊雄生.兩等量同號點電荷中垂線上場強的極大點.物理通報，2010(9)：97

Rethink on the Maximum Electric Field Strength in

the Perpendicular Bisector of Two Same Point Charges

Chen Yiyin

(College of Teacher Education, Nanjing Normal University， Nanjing, Jiangsu210097)

Abstract:there exists a maximum electric field strength in the midperpendicular between the two point charges of the same kind and with equal quantity, which high school students can't solve because of lacking knowledge in Mathmatics. This paper used the method of derivation to figure out the position of the maximum point and the maximum electric field strength succinctly and accurately.

Key words: point charge; equal quantity; electric field strength; maximum