“矩陣相似”等價于“特征矩陣等價”的證明

袁書萍，程家興

(安徽新華學院 信息工程學院，安徽 合肥 230088)

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“矩陣相似”等價于“特征矩陣等價”的證明

袁書萍，程家興

(安徽新華學院 信息工程學院，安徽 合肥 230088)

摘要：兩個數域上的數字矩陣的相似問題可以轉化為其相應的特征矩陣等價的命題來解決。很多教科書對這一問題的證明過于簡單，沒有真正的區分數字矩陣和多項式矩陣之間的不同。數字矩陣與多項式矩陣的區別就在于數字矩陣經過加法、減法、乘法、除法后還是數字矩陣，但多項式矩陣不能無條件的進行除法運算后還是多項式矩陣。所以，我們在證明多項式矩陣的有些問題時，不能直接套用數字矩陣的一些命題和定理。本文對“數字矩陣相似”等價于“特征矩陣等價”這一問題進行了詳細論述。

關鍵詞：矩陣相似；數字矩陣；特征矩陣；多項式矩陣

設A,B是數域上的n階矩陣，則A～B的充分必要條件是λI-A?λI-B。目前很多的教科書上對這一問題的證明比較簡單，該命題的必要性很顯然，充分性的證明有些是這樣：因λI-A?λI-B，故存在n階數字矩陣P和Q，使得：λI-A=λPQ-PBQ,比較兩邊的λ的同次冪的系數矩陣，有PQ=I,A=PBQ,由此得Q=P-1，A=PBP-1，故A～B。我們認為這樣的證明沒有真正的區分數字矩陣和多項式矩陣之間的不同。

在教學過程中，我們把這一問題這樣描述:數域上的兩個n階矩陣A,B相似的問題可以轉化為其相應的特征矩陣λI-A和λI-B等價來解決[1]，即

A～B?U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

因為這里λI-A,λI-B為多項式矩陣，它們的等價是指對λI-A實行一系列的多項式矩陣的初等行(列)變換后變成λI-B，而不是數域上的行(列)初等變換，所以這里的U(λ)，V(λ)是單模矩陣。下面將對這一問題進行詳細論述。

為了證明上述問題，引入一些定義和定理及它們的證明。

定義1對多項式矩陣A(λ)施行的下列三種變換稱為多項式矩陣的初等行(列)變換：

(1)交換A(λ)的任意兩行(列)；

(2)數k(k≠0)乘A(λ)的某一行(列)；

(3)A(λ)的某一行(列)的φ(λ)倍加到另一行(列)上去，其中φ(λ)是λ的一個多項式；

定義2設A(λ)為n階多項式矩陣，如果存在一個n階的多項式矩陣B(λ)，滿足A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I，則稱A(λ)是可逆的，或稱是單模矩陣，這里的I是n階單位陣。

定理1單模矩陣可以寫成初等矩陣的乘積

此定理所說的初等矩陣是指對單位陣I經過多項式矩陣的三種初等行(列)變換得到的相應三種多項式矩陣的初等矩陣。

證明設U(λ)是n階單模矩陣，則U(λ)可逆，|U(λ)|=C(常數)≠0，U(λ)的秩為n，所以U(λ)的n階行列式因子Dn(λ)=1，根據Smith標準型的遞推公式：

d1(λ)d2(λ)…dn(λ)=Dn(λ)=1

(1)

di(λ)(i=1,…,n)為U(λ)的不變因子。觀察(1)式：n個λ多項式乘積是1，左右兩邊比較系數法，推導出：di(λ)=1,i=1,…,n，即單位模陣的Smith標準型為單位陣I，Smith標準型的含義就是多項式矩陣在初等變換下得到一種重要的標準型，于是可以寫成下式：

Ps(λ)Ps-1(λ)…P1(λ)U(λ)·

Q1(λ)…Qt(λ)=I

(2)

其中t,s為自然數，Pi(λ)，Qj(λ)(i=1,…,s;j=1,…,t)均為多項式矩陣的初等矩陣，變換(2)式則有

(3)

即

(4)

初等矩陣的逆仍為初等矩陣，根據(4)式單模矩陣可以寫成初等矩陣的乘積得證。

定義3多項式次數的定義：設A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，A0,A1,…,Ar均為數字矩陣，且Ar≠0，則稱A(λ)的次數為r，記為：?(A(λ))=r，零多項式的次數無意義。

定理2若A(λ)是m階非零多項式矩陣，B(λ),C(λ)是m行n列非零多項式矩陣，A(λ)B(λ)=C(λ)，A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，Ai(i=0,…,r)為m階數字矩陣且Ar可逆，則有?(A(λ))+?(B(λ))=?(C(λ))。

證明設A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，B(λ)=B0+B1λ+…+Bsλs，其中Ai(i=0,…,r)為m階數字矩陣，Bj(j=0,…,s)為m×n的數字矩陣，則

C(λ)=(A0+A1λ+…+Arλr)(B0+B1λ+…+Bsλs)=C0+C1λ+…+Cr+sλr+s

(5)

其中Cr(k=0,…,r+s)為m×n的數字矩陣，比較(5)式左右兩邊最高項系數有Cr+s=ArBs，當Ar可逆時，它們的次數是可以相加的，即

?(A(λ))+?(B(λ))=?(C(λ))

定理3設A(λ)是m階非零多項式矩陣，A(λ)=A0+A1λ+…+Arλr，Ai(i=0,…,r)為m階數字矩陣且Ar可逆,B(λ)=B0+B1λ+…+Btλt是m×n的多項式矩陣，Bj(j=0,…,t)為m×n的數字矩陣，則存在唯一的Q(λ)和R(λ)多項式矩陣，使得：

B(λ)=A(λ)Q(λ)+R(λ)且R(λ)=0或者?(R(λ))

證明顯然，當R(λ)=0時即是“除盡”了，當?(R(λ))

“存在性”當?(B(λ))

?(R(λ))=?(B(λ))

圖1

即R(λ)=0 或者?(R(λ))

“唯一性”(反證法)若存在兩組不同的商和余式，則B(λ)可以寫成(6)

B(λ)=A(λ)Q(λ)+R(λ)=

A(λ)Q～(λ)+R～(λ)

(6)

改寫(6)式有

A(λ)(Q(λ)-Q～(λ))=R～(λ)-R(λ)

(7)

根據定理2則有

?(A(λ))+?(Q(λ)-Q～(λ))=

?(R～(λ)-R(λ))

(8)

(8)式可以寫成

r+max(?(Q(λ)),?(Q～(λ)))=

max(?(R～(λ)),?(R(λ)))

(9)

而根據“存在性”證明知道：?(R(λ))

max(?(R(λ)),?(R～(λ)))

顯然r+max(?(Q(λ)),?(Q～(λ)))≥r，從而得到(9)是個矛盾式，故唯一性得證。

有了上述基礎知識的準備，就可以證明：數域上的兩個n階矩陣A,B相似問題可以轉化為其相應的特征矩陣λI-A和λI-B等價來解決,即

A～B?U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

(10)

這里的U(λ)，V(λ)是單模矩陣，它們可以寫成初等矩陣的乘積。

“必要性”由A～B，則存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B,取U(λ)=P-1,V(λ)=P,有

U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B，即

A～B?U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B

“充分性”我們根據定理3把U(λ)寫成：

U(λ)=(λI-B)Q(λ)+R(λ)

(11)

其中R(λ)=0或者?(R(λ))<1=?(λI-B),即R(λ)=0或者R(λ)為n階的數字矩陣R。

U(λ)(λI-A)=(λI-B)V-1(λ)

(12)

把(11)式帶入(12)得：

((λI-B)Q(λ)+R)(λI-A)=(λI-B)V-1(λ)

(13)

改寫(13)式得：

R(λI-A)=(λI-B)[V-1(λ)-Q(λ)(λI-A)]

(14)

令S=V-1(λ)-Q(λ)(λI-A),由定理2，S必須為n階數字矩陣，即

R(λI-A)=(λI-B)S

(15)

進而R=S，下面只要證明R可逆就可以了。

因為U(λ)是單模矩陣，則U-1(λ)也是n階多項式矩陣，則U-1(λ)可以寫為

U-1(λ)=(λI-A)Q～(λ)+R～

(16)

結合(11)式和(16)式則有：

U(λ)U-1(λ)=[(λI-B)Q(λ)+R]·

[(λI-B)Q～(λ)+R～]=I

(17)

化簡(17)式得：

(λI-B)SQ～(λ)+RR～=

I-(λI-B)Q(λ)U-1(λ)

(18)

化簡(18)式得：

RR～=I-(λI-B)[Q(λ)U-1(λ)+SQ～(λ)]

(19)

根據定理3，RR～=I，即R可逆，則有RAR-1=B，即A～B。

即U(λ)(λI-A)V(λ)=λI-B?A～B

綜合上述證明過程，(10)式命題得證。

本文針對“數域上的兩個n階矩陣A,B相似的問題可以轉化為其相應的特征矩陣λI-A和λI-B等價來解決”命題的證明，沒有真正區分數字矩陣和多項式矩陣在某些問題證明時的不同。本文就這一問題，引入了一些相應的定義和定理及其證明，最后對這一命題進行了詳細深入的論述和證明。

參考文獻:

[1]朱元國,等.矩陣分析與計算[M].北京：國防工業出版社，2013.

[2]王貴松,等.廣義逆矩陣及其應用[M].北京：北京工業大學出版社，2006.

[3]曹志浩.變分迭代法[M].北京：科學技術出版社，2006.

[4][美]戈盧布GH,范絡恩CF.矩陣計算[M].袁亞湘，等譯.北京：科學技術出版社，2005.

[5]HornRA,JohnsonCR..矩陣分析[M].楊奇，譯.北京：機械工業出版社，2005.

[6]王志偉，鄒超英.應用型理工類本科人才創新教育的研究與實踐[J].黑龍江高教研究，2010(11)：126-127.

The Proof of “Matrix’s Similarity” Equivalent

to “The Equivalence of Characteristic Matrix”

YUAN Shu-ping，CHENG Jia-xing

(Institute of Information Engineering, Anhui Xinhua University, Hefei 230088, China)

Abstract:The problem about digital matrix’s similarity can be solved with the equivalence of the corresponding characteristic matrix. In many textbooks the proof of this problem is too simple; they haven’t made a distinction between the digital matrix and the polynomial matrix. The difference between digital matrix and polynomial matrix is that the digital matrix is still digital matrix through the operation of addition, subtraction, multiplication, and division, but the polynomial matrix is not. So, when we prove some problems about polynomial matrix, it can not be used directly with the digital matrix’s definitions and theorems. This article has discussed in detail this problem that "digital matrix’s similarity” is equivalent to “the equivalence of characteristic matrix”.

Key words:Matrix’s similarity, digital matrix, characteristic matrix, polynomial matrix

文章編號：1007-4260(2015)02-0019-03

中圖分類號：G47

文獻標識碼：A

作者簡介：袁書萍，女，安徽懷寧人，碩士，安徽新華學院信息工程學院講師，研究方向為信號處理與模式識別、數值計算。

基金項目：安徽省高等學校省級教學研究項目(2012jyxm578)。

收稿日期：2014-12-18