EQ—代數上模糊集的相關性質

段喆杰

摘要：EQ-代數是一種重要的邏輯代數，它與剩余格有密切的關系，但也存在本質的差別，研究EQ-代數對經典邏輯和模糊邏輯有重要意義。繼Vilem Nover 提出了EQ-代數并在EQ-代數中引入濾子后，許多學者針對EQ-代數中濾子理論，做了大量的工作。本文以EQ-代數為研究對象，為主要工具，以水平截集為橋梁，在EQ-代數和模糊集的基礎上，引入了EQ-代數模濾子的定義，討論了EQ-代數模糊濾子的相關性質。

關鍵詞：EQ-代數 模糊集 模糊準濾子

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）01（c）-0000-00

美國控制專家Zadeh，在1965年發表了論文《Fuzzy sets》，標志著模糊數學這門學科的誕生。自從Zadeh在他的論文Fuzzy sets中提出了模糊集的概念后，吸引了一大批科學家的注意力。1971年，Rosenfeld引入模糊子群，標志著模糊代數研究的開始.Das用水平子群來刻畫模糊子群。

1 EQ-代數的相關定義

定義1.1 一個 型代數 ，如果滿足：

（1） 是一個 半格且有最大元1，如果 ，記 ；（2） ；

（3） 是一個有單位元1的半群且 保序； （4） ：

（5） ；（6） ；（7） ；

則稱 是一個EQ-代數。

注：運算 是一個取下確界的運算， 被稱為積和～被稱為一個模糊等式.顯然， 是偏序關系且對任意的 ，我們定義 ， 。

定義1.2設 是一個可分的EQ-代數， ，如果對任意的 ，

（ⅰ） ； （ⅱ） 如果對 ， ，則 .則 就稱為 的準濾子。

如果對任意的 且 有 和 ，則準濾子被稱濾子。

2 可分EQ-代數的模糊準濾子的概念及性質

定義2.1設 為一個可分的EQ-代數， 為 上的模糊子集，如果

（1） ，對任意的 ；（2） ，對 ，

則稱 是 的模糊準濾子.如果對任意的 ，有 和 ，則模糊準濾子稱模糊濾子.

定理2.2 設 為可分的EQ-代數 上的模糊準濾子，對任意的 ，如果 ，則有 .

證明：設 且 ，由定理1.1知 ，所以 .證畢.

為了討論可分EQ-代數 上模糊準濾子和準濾子的關系，我們給出模糊集的水平截集的概念.設 為一個可分EQ-代數， 為 上的一個模糊子集.對 ，定義 ，稱 為 的一個模糊水平截集.

定理2.3 為可分的EQ-代數 上的一個模糊準濾子的充要條件是對任意 且 ，則 為準濾子.

證明：必要性.設 是一個模糊準濾子，且對 。則 ，使 .由定義2.1知 ，所以 .如果 ，則 ，再由定義2.1知A（ ，所以 .由準濾子定義知 為準濾子.

充分性.設對任意 且 有 為準濾子.對任意 ，令 .則 .由題設條件， 是 的準濾子.由準濾子定義知1 ，故 .設 ， ，令 ，則 ， .故 為 的一個準濾子.由準濾子定義 .所以 .證畢.

3 結論

本文用EQ-代數系統模糊化方法和模糊集水平截集方法把EQ-代數上的前濾子模糊化，并且得到EQ-代數上模糊前濾子和前濾子的關系。通過這種模糊化方法可以有效簡化代數結構的復雜性。

參考文獻

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