探討假設檢驗的基本問題

白梅花 唐駿 羅寧 翟麗麗 劉興薇

基金項目：內蒙古教育廳項目--《數學教育工學結合人才培養模式的建構與實踐》（2013nmjg029）

摘 要 ：本文以一個簡單例子探討了統計中統計推斷的一項重要內容--假設檢驗及其相關的基本問題。假設檢驗是利用樣本對總體進行某種推斷的方法。文中給出了對總體參數如何提出假設；再如何利用樣本數據判斷這個假設成立與否；以及假設檢驗方法可能犯的錯誤等。

關鍵詞 ：假設檢驗；統計量；拒絕域；錯誤

中圖分類號：O21 文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2015）01（c）0000-00

1.前言

假設檢驗是統計推斷的重要組成部分，是利用樣本對總體進行某種推斷的方法。它先對總體參數的值提出一個假設，然后利用樣本信息去檢驗這個假設是否成立。那么如何利用樣本信息，對假設成立與否作出判斷的一套程序是本文探討的內容。

在現實生活中有大量的事例可以歸結為假設檢驗的問題。本文從下面例子談起。

2.假設檢驗的一個例子

例：由統計資料得知，2008年某地新生兒的平均體重為3190克，現在從2010年的新生兒中隨機抽取100個，測得其平均體重為3210克，問：2010年的新生兒與2008年相比，體重有無顯著差異？

解：從結果看，2010年新生兒平均體重比2008年新生兒平均體重增加了20克，但這20克的差異可能產生于抽樣的隨機性或可以理解為抽樣隨機性不可能造成20克這樣大的差異，新生兒體重確實有增加。那么，這20克的差異說明了什么？下面我們可以采取假設的方法。

（1）提出假設： 表示2010年新生兒平均體重； 表示2008年新生兒平均體重。假設2008年和2010年新生兒的體重沒有顯著差異，則原假設和備擇假設分別為

，

原假設與備擇假設互斥，肯定原假設，意味著放棄備擇假設；否定原假設，意味著接受備擇假設。

（2）確定檢驗統計量及檢驗法：原假設是否成立呢？我們要借助樣本統計量進行統計推斷，這個統計量被稱為檢驗統計量。選擇哪個統計量作為檢驗統計量需要考慮一些因素，例如，樣本是大樣本還是小樣本，總體標準差 已知還是未知，等等。

假定已知總體的標準差 ，樣本量 ， ， ，所以采用 統計量：

，

由抽樣分布原理知統計量 服從標準正態分布，故檢驗用 檢驗法。

（3）確定拒絕域：

如果顯著水平 ，則95%的 應當落在區間 內，即 內。那么，我們把相應的區間

即

稱為拒絕原假設的拒絕域。如果原假設成立，那么在一次實驗中 落入拒絕域： 內的概率只有0.05，這個概率是很小的。如果這個情況真的出現，我們有理由認為總體的真值不是3190克，也即拒絕原假設，接受備擇假設。

這利用的是小概率原理，小概率原理是指發生概率很小的隨機事件在一次實驗中是幾乎不可能發生的。根據這一原理可以作出是否拒絕原假設的決定。但是什么樣的概率才算小呢？概率0.05夠小嗎？著名的英國統計學家費希爾把小概率的標準定為0.05，雖然費希爾并沒有對為什么選擇0.05給出充分的解釋，但人們還是沿用了這個標準，把0.05或比0.05更小的概率看成小概率。

（4）檢驗假設做出決策：把已知數據 ， ， ， 代入 算得

，落入拒絕域，所以拒絕原假設，認為與2008年相比，2010年新生兒的體重有顯著差異。

3.假設檢驗兩類錯誤

對原假設提出的命題，我們依據樣本提供的信息需要做出真與偽的判斷，也就是由部分來推斷總體。因而判斷有可能正確，有可能不正確，也就是說，我們面臨著犯錯誤的可能。所犯的錯誤有兩種類型，一類錯誤是原假設 為真卻被我們拒絕了，這種錯誤稱為棄真錯誤；另一類錯誤是原假設 為偽我們卻沒有拒絕，這種錯誤稱為納偽錯誤。

自然，人們希望犯這兩類錯誤的概率越小越好。那么只能增大樣本量 ，才能做到犯這兩類錯誤的概率都很小。但樣本量不可能沒有限制，否則就會使抽樣調查失去意義。但對于一定的樣本量 ，我們做不到犯這兩類錯誤的概率同時都很小。一般只能把帶來嚴重后果的一類錯誤作為首要的控制目標即可。

4.拒絕域檢驗的優缺點

上面進行檢驗的方法是根據檢驗統計量落入的區域作出是否拒絕原假設的決策。在確定顯著水平 以后，拒絕域的位置也就相應確定了，其好處是進行決策的界限清晰，但缺點是進行決策面臨的風險是籠統的。在上例子中，計算的 ，落入拒絕域，我們拒絕原假設，接受備擇假設。這時犯棄真錯誤的概率為0.05。如果計算的 ，同樣落入拒絕域，我們拒絕原假設面臨的風險也是0.05。那么0.05是通用的風險概率，這是用拒絕域表示的弱點。

5.結束語

在實際問題的檢驗中，我們不可能對問題的背景都有所了解，如何提出假設，并沒有統一的標準，假設的確定通常與所要檢驗的問題的性質，檢驗者所要達到的目的有關系，也與檢驗者的經驗和知識水平有關。

另外，通常在假設檢驗中把希望證明的命題放在備擇假設上，而把原有的、傳統的觀點放在原假設上，這樣我們的目的就是希望能夠用事實推翻原假設，而接受備擇假設。由于推翻原假設需要檢驗統計量落入拒絕域，所以在一次實驗中原假設是具有優勢的，由小概率原理，備擇假設在一次實驗中不容易出現，但一旦發生，我們就有充分的理由推翻原假設，這意味著新結論的誕生。但是沒有拒絕原假設，并不意味著備擇假設是錯誤的，只是說還沒有足夠的證據證明原假設不成立。所以說我們接受備擇假設一定意味著原假設錯誤；沒有拒絕原假設并不能表明備擇假設一定是錯的。

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