對數學變換方法在物理學中應用的探索

對數學變換方法在物理學中應用的探索

李 燕

(雅安職業技術學院四川 雅安625000)

摘 要：在研究某些復雜的物理問題時，可用數學方法把復雜的物理問題轉化成簡單的問題.常用的數學變換方法有平均值法、微元分析法和非線性的線性化方法等.本文分類探討了這些數學變換方法在物理學中的應用.

關鍵詞：平均值法微元分析法非線性的線性化方法

收稿日期：(2015-08-06)

作者簡介：李燕(1970-),女,碩士,副教授,主要從事物理學教學研究.

數學是研究客觀事物的數量關系和空間形式的科學，也是進行理論思維的有效手段.由于數學方法有抽象性、邏輯性和辯證性等特性，所以在物理學研究的各個領域得到了充分的運用，物理學研究中的數學方法是解決和分析物理問題必不可少的理論工具.

1數學方法在物理學中的作用

首先,數學方法為物理學提供了量化研究的工具.例如伽利略在進行實驗研究時，就用了數學定量分析方法去整理歸納從實驗獲得的感性材料，把實驗方法和數學方法緊密地結合起來；德國天文學家開普勒運用數學方法研究天體力學理論，成功地運用數學公式來表達關于行星運動的三大定律；麥克斯韋通過數學類比及推理，用一組偏微分方程系統地描述了電磁運動的基本規律，把光學、電學和磁學結合在一起了，他采用了矢量分析這樣的數學方法，把靜電場推廣到一般電磁場.

其次,數學方法導致物理新規律的發現和新理論的建立.例如麥克斯韋在用數學方法推導出電磁場方程組的基礎上預言了電磁波的存要；愛因斯坦在用數學方法推導出質能關系的基礎上預言可以研制原子彈和氫彈.

2數學中的變換方法

在研究某些復雜的物理問題時，有時可把復雜的問題轉化成簡單的問題，也即是采用迂回手段來達到目的的數學方法稱為數學變換方法.常用的數學變換方法有平均值法、微元分析法和非線性的線性化方法等.

2.1平均值法

所謂平均值法就是把變化因素導致的復雜過程簡化為常量因素的簡單過程的方法.如在統計物理學中，為了在描述微觀粒子的運動規律中獲得宏觀量如溫度、壓強、體積、內能和熵等而采用統計平均的方法.這樣,統計物理學的任務就是把微觀量Ai及系統的分布函數ρ(t)確定后，宏觀量A就可表示成微觀量Ai的統計平均值，即

又如碰撞過程研究也是應用平均值方法估算沖力的平均值的，因為沖力是個變力，它隨時間而變化的關系比較難確定，所以只能估算沖力的平均值，表示如下

這樣當求得微觀粒子系統的波函數Ψ(r,t)，利用上式就可算出所有相關物理量在Ψ(r,t)描述的微觀狀態上的宏觀效應.例如以下是粒子坐標的平均值和動量的平均值

動能以及角動量的平均值也可如此表示.由此可見平均值思想在量子力學理論中具有非常重要的作用.

2.2微元分析法

如果研究的對象連續分布，例如分布于一定空間內的彈性體(如細桿、細弦、膜等)或流體(一定量的液體或氣體),有一定空間分布的能量場(如電場、磁場、流體速度場、物質濃度場、溫度場等).由于連續體處于不同空間的部分，其運動狀況不同，所以我們可應用微元分析法選取無窮多個不同空間位置的質點作為研究對象.

對于連續體，建立運動方程時要采用微元分析法.微元分析法將系統中所有微元分為非邊界微元和邊界微元兩部分，我們要研究的是：

(1)系統中任一非邊界位置處的微元(例如空間的線元、面元、體積元、點電荷元或質量元等)在某時刻的運動.

(2)邊界面上所有微元在任意時刻的運動(邊界條件)及初始時刻系統所有微元的運動(初始條件).

下面通過對弦振動方程的推導說明微元分析法的應用.

【例題】如圖1所示，一長為l的柔軟、勻質的細弦(重力忽略)，在切向應力T的作用下做微小的橫振動，求它的微小橫振動運動方程.

sinβ≈tanβsinα≈tanα

則微元在弦長方向受力為T2cosα-T1cosβ，橫向受力為T2sinα-T1sinβ.

圖1　弦振動方程推導用圖

由牛頓運動定律，振動位移運動方程如下

T2cosα-T1cosβ=0

因為是微小振動，所以有

cosα≈cosβ≈1

(1)

若約定用下標來表示求偏導數，則式(1)可簡化如下

utt(x,t)=a2uxx(x,t)

(2)

若弦上每一微元還受到外力dF=f(x,t)dm作用，則弦橫向微小振動方程為

utt(x,t)=a2uxx(x,t)+f(x,t)

(3)

定解條件略.

從上例可知微元分析法是在無窮多個微元中任選一個非邊界微元，應用力學、流體力學、熱力學、電學、電動力學等學科知識建立所選非邊界微元的運動方程達到描述系統中每一個微元運動的目的.

2.3非線性的線性化方法

物質世界里反映物理量間的關系主要是非線性關系，在物理學理論及實驗中可引入非線性物理系統的線性研究方法，即對有非線性關系的一對物理量，可在理論上或實驗中限制其中一個物理量在一個宏觀小的范圍內變化，則兩個物理量的關系可近似為線性關系，通過數學或其他手段確定出兩個量間的比例系數后就可確定這一對物理量在給定范圍內的線性關系.

例如三極管的輸入特性和輸出特性都是非線性的，因此對放大電路進行定量分析時，主要矛盾是解決三極管的非線性問題.常用微變等效電路法來解決此問題，其實質是在靜態工作點附近一個比較小的變化范圍內，近似地認為三極管的特性是線性的，由此導出三極管的等效電路以及一系列的微變等效參數，從而將非線性問題轉換為線性問題，這樣便可以對三極管電路進行求解.

下面用微變等效電路法分析晶體管在共發射極接法下的輸入特性和輸出特性.

由于三極管是在小信號(微變量)情況下工作，因此，在靜態工作點附近小范圍內的特性曲線可用直線近似代替.如圖2(a)所示.在輸入特性的Q點附近，基極加入一個很小的變化量ΔuBE，便得到一個電流變化量ΔiB,可以認為ΔiB隨ΔuBE作線性變化，其晶體管的動態輸入電阻可按歐姆定律求得，即

rbe稱為晶體管的動態輸入電阻，對于小功率三極管，小信號時rbe為常量.

從圖2(b)看，假定在Q點附近輸出特性曲線是水平的，則ΔiC與ΔuBE無關，只取決于ΔiB，而數量關系上ΔiC比ΔiB大β倍.所以從輸出端看進去，可以用一個大小為βΔiB的恒流源來代替三極管.當iB為常量時，ΔuBE與ΔiC之比為晶體管的輸出電阻.

圖2　三極管等效參數的求法

小信號條件下，rce為常量.若把晶體管輸出電路看作電流源，rce為電流源內阻，在等效電路中與恒流源βib并聯.rce阻值很高，約為幾十千歐到幾百千歐，微變等效電路中都把它忽略不計.這樣圖3(a)所示的三極管可以用圖3(b)所示的電路去等效.當ib=0時，ic=βΔib也為零，所以不是獨立電源，而是受輸入電流控制的受控電源，如圖3(b)所示.

圖3　簡化的三極管等效電路

總之，數學是表述和論證物理概念和物理規律的最簡練、最系統的語言，也是研究物理學不可缺少的工具，數學方法已成為人們探索物理世界秘密的“金鑰匙”.

參 考 文 獻

1王瑞旦，宋善炎．物理方法論．長沙：中南大學出版社，2002