基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的梯級泵站優(yōu)化調(diào)度研究

專祥濤，李明龍

（1.武漢大學(xué) 動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院，武漢 430072；2.湖北省流體機(jī)械與動(dòng)力工程裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072）

我國水資源在時(shí)間和空間上的分布極不均勻，因此全國各地興建了多種類型的泵站以調(diào)度水資源從而滿足各地區(qū)的飲水、灌溉、排澇等需求。其中，在大型調(diào)水工程中應(yīng)用最廣的為梯級泵站。

梯級泵站運(yùn)行過程中耗費(fèi)巨大的電能，電費(fèi)成為了梯級泵站的主要運(yùn)行成本。據(jù)統(tǒng)計(jì)，全國泵機(jī)組的電能消耗占全國電能總耗的21%以上[1]，而梯級泵站所耗電能占據(jù)了其中很大的比例。因此，對梯級泵站進(jìn)行優(yōu)化調(diào)度以減少其電能消耗與電費(fèi)開支，不僅能降低其運(yùn)行成本，而且有助于我國資源節(jié)約型社會(huì)的建設(shè)。

傳統(tǒng)上用于求解梯級泵站優(yōu)化調(diào)度問題的方法多為動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，如文獻(xiàn)[2]建立了級間無分水任務(wù)的梯級泵站優(yōu)化調(diào)度的動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，提出通過改善級間流量配合來減小棄水量、降低供水成本；文獻(xiàn)[3]以梯級泵站總能耗最小為目標(biāo)函數(shù)建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，并采用模擬算法求解級間揚(yáng)程優(yōu)化配合問題；文獻(xiàn)[4]以滿足供水任務(wù)下整個(gè)梯級系統(tǒng)的總能耗最小為準(zhǔn)則建立了確定各級站的最優(yōu)揚(yáng)程分配的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，并結(jié)合非線性規(guī)劃模型對問題進(jìn)行求解。但文獻(xiàn)[2-4]均未考慮峰谷分時(shí)電價(jià)制度對泵站運(yùn)行電費(fèi)的影響。文獻(xiàn)[5]采用大系統(tǒng)分解-協(xié)調(diào)模型，對梯級泵站聯(lián)合運(yùn)行時(shí)的優(yōu)化方案進(jìn)行了求解。而近年來一些新興的優(yōu)化算法不斷被引入到梯級泵站的優(yōu)化調(diào)度問題上來，如遺傳算法[6]、模擬退火粒子群算法[7]、模糊控制算法[8]以及克隆選擇算法[9]等，文獻(xiàn)[10]則將動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法與模擬退火算法相結(jié)合以用于求解梯級泵站系統(tǒng)水資源優(yōu)化配置問題。這些新興的優(yōu)化算法在求解相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型時(shí)具有各自的優(yōu)點(diǎn)，但也同時(shí)存在早熟或收斂速度慢等缺點(diǎn)，而且其建模與求解過程相對比較復(fù)雜，所以其應(yīng)用受到了一定限制。

本文將采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法對一座三級泵站進(jìn)行優(yōu)化控制，同時(shí)考慮峰谷分時(shí)電價(jià)制度對電費(fèi)造成的影響。文中，以各級泵站所耗電費(fèi)總和最小為目標(biāo)，各集水池水位為約束條件，分梯級泵站級間流量無延時(shí)和級間流量有延時(shí)2種情況分別建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型進(jìn)行求解。

1 梯級泵站無延時(shí)模型優(yōu)化

梯級泵站級間流量無延時(shí)模型是指忽略水流在各級泵站之間流動(dòng)時(shí)所消耗的時(shí)間，理想地認(rèn)為對每級泵站中水泵抽水策略的控制都能實(shí)時(shí)地影響前后集水池中水位的變化。此種模型適用于各級泵站之間相距較近的情形。

本節(jié)首先根據(jù)梯級泵站級間流量無延時(shí)物理模型建立數(shù)學(xué)模型，然后利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法對該模型進(jìn)行求解以得到優(yōu)化結(jié)果，并對結(jié)果進(jìn)行分析。

1.1 模型概況

某梯級泵站無延時(shí)簡化物理模型如圖1所示。

圖1 梯級泵站簡化無延時(shí)物理模型Fig.1 Simplified physical model of cascade pumping stations without consideration of flow delay time

該模型將梯級泵站簡化為3級泵站、2個(gè)集水池和1個(gè)蓄水池，每級泵站配備1臺調(diào)速泵，流量分別為Q1、Q2、Q3，功率分別為P1、P2、P3，2個(gè)集水池面積分別為A1、A2，蓄水池面積為A3。梯級泵站工作過程如下：第一級泵站從水源處（江河湖泊）將水抽至1號集水池，第二級泵站將水從1號集水池抽至2號集水池，第三級泵站從2號集水池抽水至蓄水池，最后由蓄水池向城鎮(zhèn)供水，供水量為 Qs（t）（Qs（t）隨時(shí)間t變化），且由于梯級泵站對沿途地區(qū)的用水調(diào)節(jié)功能的實(shí)際需要，在其運(yùn)行過程中，有不定量的水流入或流出，現(xiàn)假設(shè)1號集水池的沿途流入水量為Qi1，流出水量為Qo1；2號集水池的沿途流入水量為Qi2，流出水量為Qo2。

梯級泵站優(yōu)化調(diào)度的過程即通過控制各級泵站中水泵的啟停與轉(zhuǎn)速來控制每級泵站的抽水量，從而調(diào)節(jié)各級泵站間的集水池的水位變化，使其在滿足安全運(yùn)行的條件下實(shí)現(xiàn)各級泵站所耗電費(fèi)總和最小的目標(biāo)。而分時(shí)電價(jià)制度又使得水泵所耗電費(fèi)會(huì)因其啟停時(shí)間段的不同而不同。圖2即為湖北省供電行業(yè)施行的全日峰谷電價(jià)計(jì)價(jià)樣本趨勢圖（其中，P表示平段電價(jià)）。

圖2 湖北省全日峰谷電價(jià)變化趨勢Fig.2 TOU electricity price of Hubei province

從圖2可以看出，欲降低梯級泵站運(yùn)行時(shí)的耗電費(fèi)用，則應(yīng)盡量使水泵在谷值與平段電價(jià)時(shí)段運(yùn)行，避免在峰值電價(jià)時(shí)段運(yùn)行，從而達(dá)到“移峰填谷”的作用。

1.2 數(shù)學(xué)模型

該梯級泵站的運(yùn)行總耗電費(fèi)用可表示為

式中：J為泵站一天所耗的總電費(fèi)，元；P1，P2，P3分別為各級泵站中水泵的功率，kW；u1（t），u2（t），u3（t）分別為各級泵站中的水泵在t時(shí)刻的控制決策（取0或1，0表示水泵停止，1表示水泵運(yùn)行）；C（t）為t時(shí)刻的電價(jià)，元/（kW·h）。

1號集水池t時(shí)刻的水位狀態(tài)可表示為

式中：h1為1號集水池初始水位，m；A1為1號集水池面積，m2；Q1為1級泵站中水泵抽水流量，m3/h；Q2為2級泵站中水泵抽水流量，m3/h；Qi1為沿途流入1號集水池的水流量，m3/h；Qo1為沿途流出1號集水池的水流量，m3/h。且H1（t）必須滿足如下約束條件：

其中，Hl1，Hu1分別為1號集水池允許達(dá)到的最低水位和最高水位，m。

2號集水池t時(shí)刻的水位狀態(tài)可表示為

式中：h2為2號集水池初始水位，m；A2為2號集水池面積，m2；Q3為3級泵站中水泵抽水流量，m3/h；Qi2為沿途流入2號集水池的水流量，m3/h；Qo1為沿途流出2號集水池的水流量，m3/h。且H2（t）必須滿足如下約束條件：

式中：Hl2，Hu2分別為2號集水池允許達(dá)到的最低水位和最高水位，m。

蓄水池t時(shí)刻的水位狀態(tài)可表示為

式中：h3為蓄水池初始水位，m；A3為蓄水池面積，m2；Qs（t）為城市供水流量，m3/h。且H3（t）必須滿足如下約束條件：

式中：Hl3，Hu3分別為蓄水池允許達(dá)到的最低水位和最高水位，m。

1.3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

根據(jù)前文建立的梯級泵站數(shù)學(xué)模型，可建立其動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。

階段變量如果以梯級泵站的運(yùn)行時(shí)間作為優(yōu)化全過程，則可將整個(gè)過程劃分為以每1個(gè)小時(shí)或每2個(gè)小時(shí)為1個(gè)時(shí)間段的多個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間即可稱為階段k（k=1，2，3，…，n）。

決策變量以各級泵站中水泵在第k階段的啟停情況作為決策變量，即［u1（k），u2（k），u3（k）］。

狀態(tài)變量以梯級泵站的2個(gè)集水池和1個(gè)蓄水池的水位作為狀態(tài)變量以判斷系統(tǒng)是否運(yùn)行

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

式中，dt為每階段持續(xù)的時(shí)間，h。

目標(biāo)函數(shù)如下：

根據(jù)此動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，即可編寫程序進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，從而得出優(yōu)化結(jié)果。

1.4 實(shí)例分析

將如下實(shí)例數(shù)據(jù)代入上述模型進(jìn)行仿真求解：各級泵站中的水泵流量分別為Q1=2000 m3/h、Q2= 2400 m3/h、Q3=2800 m3/h；功率分別為P1=280 kW、P2=320 kW、P3=360 kW。1號集水池面積為A1=2600 m3，允許的水位變化范圍為18 m≤H1≤22 m，沿途流入水量為Qi1=400 m3/h，流出水量為Qo1=200 m3/h，初始水位為20 m；2號集水池面積為A2=2800 m3，允許的水位變化范圍為38 m≤H2≤42 m，沿途流入水量為Qi2=650 m3/h，流出水量為Qo2=350 m3/h，初始水位為40 m；蓄水池面積為A3=3000 m3，允許的水位變化范圍為58 m≤H3≤62 m，初始水位為60 m；蓄水池向城鎮(zhèn)供水流量變化趨勢Qs（t）如圖3所示。

圖3 蓄水池供水流量變化柱形圖Fig.3 Column chart of reservoir water flow

通過計(jì)算機(jī)仿真得出其優(yōu)化結(jié)果如圖4～圖6所示（以一天24 h作為全過程進(jìn)行優(yōu)化，每階段時(shí)間為1 h）。其中圖4為1號集水池水位受一、二級泵站控制的變化情況；圖5為2號集水池水位受二、三級泵站控制的變化情況；圖6為蓄水池水位受第三級泵站控制的變化情況。

圖4 一號集水池水位變化情況Fig.4 Water level change of the No.1 catchment tank

圖5 二號集水池水位變化情況Fig.5 Water level change of the No.2 catchment tank

圖6 蓄水池水位變化情況Fig.6 Water level change of the reservoir

如圖4所示，圖（a）為1號集水池水位變化情況，其初始水位為20 m；圖（b）和（c）中的實(shí)線分別為第一、二級泵站的控制決策變化 （其取值僅有0和1兩種情況），其中一級泵站從外面往集水池里抽水，二級泵站從集水池里往外抽水，虛線則為分時(shí)電價(jià)變化趨勢圖。從該圖中可以看出，在時(shí)間t=0至t=1時(shí)段，一級泵站控制決策為1而二級泵站控制決策為0，即只有水泵往集水池里抽水，故池內(nèi)水位處于上升狀態(tài)；而在t=1至t=8時(shí)段，兩級泵站的控制決策均為1，但由于二級泵站的水泵流量大于一級泵站水泵流量，故其水位呈緩慢下降趨勢；其后時(shí)段集水池水位一直隨著兩級泵站控制決策的變化而變化，直至整個(gè)過程結(jié)束。

從圖4中可以看出，兩級泵站的控制決策在峰值電價(jià)時(shí)段內(nèi)均為0，只有在非峰值時(shí)段才會(huì)開啟，且大多數(shù)時(shí)間運(yùn)行于谷值電價(jià)時(shí)段，這與削峰填谷的目標(biāo)一致。

若縮短每階段時(shí)間間隔，則一天內(nèi)對水泵的控制階段會(huì)增多，這將使得對水泵的控制更加靈活，因而能得到更好的優(yōu)化結(jié)果。當(dāng)然，由于泵站每天的運(yùn)行情況還與當(dāng)天各集水池初始水位有關(guān)，故僅取一天的運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行比較沒有足夠的說服力。為了使運(yùn)行過程更貼近實(shí)際，讓梯級泵站從初始狀態(tài)開始連續(xù)運(yùn)行30天，且要求兩集水池與蓄水池的最終水位回到初始狀態(tài)，取階段時(shí)間間隔為dt=1 h與dt=0.5 h 2種情況進(jìn)行仿真，取平均每天所耗的電費(fèi)作為優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較，比較結(jié)果如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果比較（運(yùn)行30天）Tab.1 Comparison of optimization results（30 days）

從表1中可以看出，將一天分為24階段與48階段2種情況下所耗的電量相同，但后者所需的電費(fèi)比前者少了1.15%，這說明分的階段越細(xì)節(jié)省的電費(fèi)越多。當(dāng)然，從表中還可以看出將后者所耗的計(jì)算時(shí)間比前者長了許多，這說明階段分得越細(xì)會(huì)使算法變得越復(fù)雜，因此在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該找到兩方面的最佳平衡點(diǎn)來進(jìn)行優(yōu)化。

2 梯級泵站有延時(shí)模型優(yōu)化

梯級泵站的有延時(shí)模型是指考慮水流在各級泵站之間流動(dòng)時(shí)所消耗的時(shí)間問題。如果各級泵站之間相距較遠(yuǎn)，水從一級泵站流向下一級泵站所耗的時(shí)間較長，此時(shí)對該級泵站所做的決策將不能實(shí)時(shí)地影響集水池的水位變化，即稱之為有延時(shí)的控制過程。

2.1 模型概況

在考慮水流在梯級泵站級間流動(dòng)所耗時(shí)間的前提下，某梯級泵站可簡化為如圖7所示的模型。

圖7 梯級泵站簡化有延時(shí)物理模型Fig.7 Simplified physical model of cascade pumping stationsunder consideration of flow delay time

該模型將梯級泵站簡化為三級泵站、2個(gè)集水池和1個(gè)蓄水池，每級泵站配備1臺調(diào)速泵。水從第一級泵站流至1號集水池的時(shí)間為T1，從第二級泵站流至2號集水池的時(shí)間為T2，第三級泵站與蓄水池之間無延時(shí)，其它參數(shù)均與無延時(shí)情況下的梯級泵站模型相同，忽略沿途流入1、2號集水池的水的延時(shí)影響。對一、二級泵站進(jìn)行的操作將要在分別經(jīng)過時(shí)間延遲T1、T2之后才對1、2號集水池的水位造成影響，因此此時(shí)的最優(yōu)控制序列將與上節(jié)所述的無延時(shí)模型的最優(yōu)控制序列不同。

2.2 數(shù)學(xué)模型

該梯級泵站各級泵站運(yùn)行耗電總費(fèi)用計(jì)算公式與式（1）相同，而1號集水池在t時(shí)刻的水位狀態(tài)可表示為

蓄水池水位狀態(tài)變化與式（4）相同。

2.3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解與結(jié)果分析

梯級泵站級間流量有延時(shí)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型中，階段變量、決策變量、狀態(tài)變量以及目標(biāo)函數(shù)與無延時(shí)模型相同，只有狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程存在差異。

本文取兩級泵站的延時(shí)時(shí)間相等的情況進(jìn)行討論，且令T1=T2=dt，則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下：

蓄水池水位H3（k+1）的變化情況與式（7）相同，而其目標(biāo)函數(shù)與式（8）相同。

圖8 一號集水池水位變化情況（有延時(shí)模型）Fig.8 Water level change of the No.1 catchment tank（Time-delay model）

圖9 二號集水池水位變化情況（有延時(shí)模型）Fig.9 Water level change of the No.2 catchment tank（Time-delay model）

圖10 蓄水池水位變化情況（有延時(shí)模型）Fig.10 Water level change of the reservoir（Time-delay model）

代入實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真可得其優(yōu)化結(jié)果如圖8～圖10所示（以一天24 h作為全過程進(jìn)行優(yōu)化，每階段時(shí)間為1 h）。其中圖8為1號集水池水位受一、二級泵站控制的變化情況；圖9為2號集水池水位受二、三級泵站控制的變化情況；圖10為蓄水池水位受第三級泵站控制的變化情況。

從圖8～圖10中可以看出，各級泵站的控制決策在峰值電價(jià)時(shí)段內(nèi)均為0，在非峰值時(shí)段才會(huì)開啟，且大多數(shù)時(shí)間運(yùn)行于谷值電價(jià)時(shí)段，這與削峰填谷的目標(biāo)一致。

同樣令梯級泵站從初始狀態(tài)開始連續(xù)運(yùn)行30天，且要求兩集水池與蓄水池的最終水位回到初始狀態(tài)，取階段時(shí)間間隔為dt=1 h與dt=0.5 h 2種情況進(jìn)行仿真，取平均每天所耗的電費(fèi)作為優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較，比較結(jié)果如表2所示。

表2 有延時(shí)模型優(yōu)化結(jié)果比較（運(yùn)行30天）Tab.2 Comparison of optimization results with time-delay model（30 days）

從表2中可以看出，將一天分為24階段與48階段2種情況下所耗的電量相同，但后者所需的電費(fèi)比前者少了1.43%，計(jì)算時(shí)間也比前者長了許多，這與對表1的分析結(jié)果相同。

3 結(jié)語

從本文對梯級泵站級間流量無延時(shí)模型和有延時(shí)模型的仿真優(yōu)化結(jié)果可以看出，各集水池與蓄水池的水位均在各自允許的范圍內(nèi)變化，而各級泵站中的水泵均運(yùn)行于非峰值電價(jià)時(shí)段，在峰值電價(jià)時(shí)段是停止的，這與“移峰填谷”的預(yù)想相一致，從而證明了本課題優(yōu)化方法的可行性。

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