基于虛擬決策單元的排序模型

基于虛擬決策單元的排序模型

汪云林1,3,韓偉一2,葛虹2

(1.北京大學政府管理學院,北京100871;2.哈爾濱工業(yè)大學經濟與管理學院,黑龍江哈爾濱150001;3.北京大學科技開發(fā)部,北京100871)

摘要：本文給出了一種新的決策單元排序方法。基于經典的C2R模型，通過引入一個虛擬的決策單元，形成了一個新的排序模型，按照相對效率值的大小實現(xiàn)了決策單元的排序。實驗表明，新排序方法不僅能較好地反映C2R模型的計算結果，而且可避免超效率方法造成的相對效率值偏大的弊端。新的排序方法依據充分、簡單方便，同時體現(xiàn)了整體的決策效率。

關鍵詞：數據包絡分析;排序;決策單元;虛擬;有效單元

收稿日期：2014-03-02

基金項目：國家自然科學基金資助項目(71101037);中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助(HIT.HSS.201406)

作者簡介：韓偉一(1974-),男,副教授,碩士生導師。

中圖分類號：O221;N224.0文章標識碼：A

Ranking Model Based on the Virtual Decision-making Unit

WANG Yun-lin1,3, HAN Wei-yi2,*, GE Hong2

(1.SchoolofGovernment,PekingUniversity,Beijing100871,China; 2.SchoolofEconomicandManagement,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China; 3.OfficeofScience&Technology,PekingUniversity,Beijing100871,China)

Abstract:In the paper, a ranking method is presented for decision-making units. Based on the classical C2R model, a new ranking model is obtained by introducing a virtual decision-making. According to the value of relative efficiency, all decision-making units can be ranked. Experiments show that the ranking method can reflect the computational result of C2R model better. Moreover，it can’t make the value of relative efficiency too large like the super-efficiency method. Not only does the method provide a sufficient basis, but it is very simple. It is deserved to note that it has embodied the systemic efficiency.

Key words:data envelopment analysis; rank, decision-making unit; virtue; efficient unit

0引言

數據包絡分析(DEA)作為一種基于線性規(guī)劃的非參數評價方法，已被廣泛地應用到軍事、教育、物流、科研、環(huán)境保護等眾多領域。然而，根據相對效率值，C2R、BC2等經典的DEA模型僅能把決策單元區(qū)分為有效單元和非有效單元[5,6]。由于有效單元的相對效率值均為1，因而無法實現(xiàn)對決策單元的完全排序。近年來，對決策單元進行排序一直是DEA領域的研究熱點，已經涌現(xiàn)了大量的科研成果。1986年Sexton等人利用交叉系數矩陣嘗試對決策單元進行排序[8]。1993年Anderson和Petersen給出了超效率的排序方法[9]。1995年Khouja提出了兩階段法[7]。1996年Torgersen提出了基準點排序方法[10]。2002年Adler等人把所有的排序方法歸納為五種類型[11]，對決策單元排序的相關研究進行了總結。國內在決策單元排序方面也涌現(xiàn)了一些研究成果，參見文獻[1～5]。總體來看，這些排序方法都存在明顯的不足之處。本文無意克服這些方法的不足，而是將從一個全新的角度提出一種新的排序方法。這種排序方法基于經典的C2R模型，通過引入一個特殊的決策單元，最終實現(xiàn)所有決策單元的排序。這個引入的決策單元反映了總產出與總投入的比值關系，能夠體現(xiàn)整體決策效率。

1經典的C2R模型

設DEA系統(tǒng)中有n個決策單元，每個決策單元有m個投入指標、s個產出指標。所有決策單元的投入指標構成投入矩陣X，所有決策單元的產出指標構成產出矩陣Y, 如下

其中xij為第i個決策單元的第j個投入指標，yik為第i個決策單元的第k個產出指標。為了表述方便，特稱向量Xi=(xi1,xi2,…,xim)T為決策單元i的投入向量，向量Yi=(yi1,yi2,…,yis)T為決策單元i的產出向量。下面給出經典的C2R模型，如下:

maxZ=ωY0

(1)

其中Y0和X0為所評價決策單元i0(1≤i0≤n)的產出向量和投入向量，向量ω=(ω1,ω2,…,ωs)中的各分量均為變量，為產出向量的權重向量，向量ε=(ε1,ε2,…,εm)中的各分量均為變量，為投入向量的權重向量。

由C2R模型可以得到各個決策單元的相對效率值，當值為1時相應的決策單元為有效單元，否則為非有效單元。對于非有效單元，可以根據相對效率值的大小進行排序。而對于有效單元，由于相對效率值均為1無法實現(xiàn)排序。

2新的排序模型

既然很多排序方法可以按照相對效率值的大小對非有效的決策單元進行排序，那么只需把要評價的n個決策單元全部轉換為非有效的決策單元即可。基于這個思路，本文將在原有n個決策單元的基礎上，新引入一個決策單元。在新提出的排序模型中，這個新引入的決策單元將是唯一的有效單元，原有的n個決策單元均為非有效單元。問題的關鍵是，這樣的決策單元如何定義才能不影響原有決策單元的效率順序，或更好地反映原有評價系統(tǒng)的總體關系。

對引入的決策單元作如下定義，設該單元的產出向量為Yt，投入向量為Xt，令

Yt=Y1+Y2+…+Yn,Xt=(X1+X2+…+Xn)/a

(2)

或Yt=(Y1+Y2+…+Yn)*a,Xt=X1+X2+…+Xn

(3)

這里α為足夠大的正實數。無疑ωYt/εXt反映了總投入和總產出的決策效率。

新的排序模型如下:

maxZ=ωY0

(4)

對于新模型，只要a足夠大，原來所有的決策單元均將成為非有效單元，因為新引入的決策單元將以非常小的投入獲得原有的產出，或以原有的收入獲得非常多的產出，結論是顯然的。

由于新引入的決策單元可采取兩種定義，因而有必要證明二者的計算結果是相同的，證明如下

定理1在新排序模型中，新引入的決策單元無論采取式(2)的定義，還是采取式(3)的定義，對于所評價決策單元i0(1≤i0≤n)，經計算得到的相對效率值是相同的。

maxZ=ωY0

(5)

由式(3)得到的模型為

maxZ=ωY0

(6)

模型(5)和模型(6)顯然等價。因此，對于決策單元 由兩個模型計算所得的相對效率值必然相同。命題得證。

新模型具有如下重要的性質：

定理2對于新排序模型，引入的決策單元為唯一的有效單元，如果當a取值為b時，決策單元i0的相對效率值為ω*Y0，那么當a為hb(h>1)時，決策單元i0的相對效率值為ω*Y0/h。

證明對于新排序模型，設引入的決策單元采取式(3)的定義。它的對偶模型如下

maxZ=θ

(7)

其中對偶變量λi對應原問題中的約束條件ωYi-εXi≤0，對偶變量λt對應原問題中的約束條件ωYt-εXt≤0，對偶變量θ對應原問題中的約束條件εX0=1。

根據定理2，可得如下重要的推論：

推論1在新排序模型中，假定引入的虛擬決策單元為唯一有效單元，對于不同的a，原有的、任意兩個不同的決策單元的相對效率值的比值總是恒定的。

證明對于原有的兩個決策單元i1和i2，設a取值為b時，相對效率值分別為d1和d2，比值為d1∶d2。當a取值為hb(h>1)時，根據定理2，相對效率值分別為d1/h和d2/h, 比值仍為d1∶d2。命題得證。

定理2和推論1說明, 本文給出的排序方法是穩(wěn)定的。

誠然，只要新引入決策單元的產出向量足夠大，投入向量足夠小，均能保證原有的決策單元在新模型中為非有效單元。新引入的決策單元是不是具有任意性呢？答案顯然是否定的，因為不同的決策單元將會得到不同順序的計算結果，這將在下一部分的實驗中加以驗證說明。

既然新引入決策單元不具有任意性，因此必須要滿足一定的原則。C2R模型的本質是盡量實現(xiàn)每一個決策單元的效率最大化，它考慮了個體的局部利益。作為一個決策系統(tǒng)，從整體上也希望實現(xiàn)全局效率最大化。這樣一來，在保證整體效率最大化的前提下，再體現(xiàn)個體效率最大化，無疑是一個非常自然的思路。本文對新引入決策單元的定義正是基于上述思路。新引入決策單元不僅將作為唯一的有效單元，而且它的產出向量Yt與投入向量為Xt之比恰是全局效率的體現(xiàn)。

3模型實驗

本文將開展3個方面的實驗：(1)使用C2R模型計算各決策單元的相對效率，并區(qū)分有效單元和非有效單元，為后面的實驗提供參考; (2)引入兩個不同的決策單元，再使用本文提出的排序模型進行實驗，第一個決策單元由本文的定義給出，另外一個決策單元的投入向量和產出向量任意取定，通過比較以說明本文定義的合理性; (3)選用超效率方法和本文的方法進行比較。

3.1采用C2R模型進行實驗

由C2R模型計算得到的各決策單元的效率值如下:

表1　采用C 2R模型的計算結果

根據表1，決策單元1和2為有效單元，而決策單元3和4為非有效單元。

3.2采用新排序模型進行實驗

在第二個實驗中，首先引入新的決策單元5。它的投入向量為(2.2, 1.9)T, 產出向量為(16, 23, 19)T。顯然，它的產出向量為四個決策單元的總產出，投入產量經四個決策單元的總投入除以10得到，也就是a取值為10。采用本文的排序模型，計算結果見表2。

表2　采用排序模型和決策單元5的計算結果

根據表2，按照相對效率值大小排序，可得四個決策單元的順序為：2, 1, 3, 4。這個結果和C2R模型計算結果基本吻合。

再引入新的決策單元6進行實驗。它的投入向量為(2.2, 1.9)T, 產出向量為(30, 30, 30)T。顯然這樣的決策單元是隨意定義的。采用本文的排序模型，計算結果見表3。

表3　采用排序模型和決策單元6的計算結果

根據表3，按照相對效率值大小排序，可得四個決策單元的順序為：2, 3, 1, 4。這個結果與C2R模型計算結果顯然是相悖的。決策單元3原為非有效，決策單元1原為有效，當前的計算結果反而顛倒了二者的順序。

實驗2的兩個計算結果表明，本文所定義的引入決策單元是合理的。

3.3采用超效率方法進行實驗

相對于C2R模型，超效率方法在計算各個決策單元的相對效率時，采用如下的模型

maxZ=ωY0

(8)

其中Y0和x0分別為決策單元i0(1≤i0≤n)的產出向量和投入向量，ω=(ω1,ω2,…,ωs)向量為產出向量的權重向量，向量ε=(ε1,ε2,…,εm)為投入向量的權重向量，ω和ε的各分量均為變量。

采用超效率方法的計算結果，見表4。

表4　采用超效率的計算結果

根據表4，按照相對效率值大小排序，可得四個決策單元的順序為：1, 2, 3, 4。這個結果和采用新排序模型給出的順序并不一致。

表5　歸一化的計算結果

把表2和表4的計算結果進行歸一化處理，分別把四個決策單元的相對效率值除以最大的相對效率值，則得到歸一化的計算結果，見表5。

根據表4和表5，有效單元的相對效率值相對偏大，這印證了超效率方法可能高估一些決策單元的相對效率值的說法。理所當然，超效率方法因為高估一些決策單元的相對效率值，將不能正確給出各決策單元的排列順序。表2和表5的結果說明，本文的方法相對于超效率方法將更合理些。

4結論

本文從強調整體效率最優(yōu)出發(fā)，通過引入一個特殊的虛擬單元，基于經典的C2R模型，提出了一種新的決策單元排序方法。新排序方法具有如下兩個特點：(1)新方法依據充分、簡單方便，能夠正確反映C2R模型的計算結果，相對于超效率方法的計算結果更趨合理；(2)定理2和推論1說明新方法可靠穩(wěn)定。

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