三參數威布爾分布模型在系統的可靠性評估中的應用

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(1.西北工業大學，陜西 西安 710072；2.東方航空公司西安維修基地，陜西 西安 712000)

Estimation the System Reliability based on 3-Parameter Weibull Distribution Model

WANG Haitao1，CHEN Xing1， DUAN Feifei2

(1.Northwestern Polytechnical University，Xi’an，710072，China；2.China Eastern Xibei Maintenance Base， Xi’an 712000，China)

三參數威布爾分布模型在系統的可靠性評估中的應用

王海濤1，陳星1，段斐翡2

(1.西北工業大學，陜西 西安 710072；2.東方航空公司西安維修基地，陜西 西安 712000)

Estimation the System Reliability based on 3-Parameter Weibull Distribution Model

WANG Haitao1，CHEN Xing1， DUAN Feifei2

(1.Northwestern Polytechnical University，Xi’an，710072，China；2.China Eastern Xibei Maintenance Base， Xi’an 712000，China)

摘要：威布爾分布是目前可靠性領域內最流行的模型之一，在此，采用三參數威布爾分布模型建模，用相關系數法求得位置參數，通過最小二乘法求得形狀參數和尺度參數，運用WQS軟件擬合出最小二乘回歸直線，得出相關的可靠性數據。并且通過對渦輪葉片可靠性分析的實例，驗證了三參數威布爾模型比兩參數模型擁有更高的精確度。

關鍵詞：三參數威布爾分布；相關系數法；最小二乘法；可靠性

中圖分類號：O213.2

文獻標識碼：A

文章編號：1001-2257(2015)03-0078-03

收稿日期：2014-12-10

Abstract：The Weibull distribution is one of the most popular models in the field of reliability. This article use the 3-parameter Weibull distribution model，get the positional parameter by using the correlation coefficient method and solve the shape parameter &scale parameter by using the least squares method. Through analysis the data of turbine fan we prove that the 3-parameter Weibull distribution has the higher accuracy than 2-parameter model. Computation is made using ‘Windchill Quality Solution 10.1 Tryout’ software.

作者簡介：王海濤(1972-)，男，黑龍江哈爾濱人，博士，副教授，中國航空學會會員，西北工業大學航空學院民航工程系系主任，研究方向為起落架主動控制、飛機適航等。

Key words：3-parameter weibull distribution；correlation coefficient method；least squares；reliability

0引言

在壽命數據分析中，使用最廣泛的就是威布爾分布，它的主要優點是利用有限的數據樣本，就能夠給出精確的分析和預測結果。從產品的早期階段、使用階段和疲勞階段獲得的數據都可以使用它進行分析。它廣泛應用于機械、化工、電氣、電子和材料的失效研究。威布爾模型是研究機械零部件可靠性的最適合的模型之一。標準的威布爾分布能夠擬合各種類型的壽命數據，當其形狀參數分別取特定的數值時，它接近于指數分布、正態分布等分布類型。用威布爾分布可以擬合各種可靠性數據，計算產品的可靠性指標，為故障樹分析、可靠性設計、可靠性預計與分配等工作提供了統計學依據。

余國林等提出了兩參數威布爾分布在可靠性評估中的應用，但是兩參數的威布爾分布忽略了位置參數，這意味著沒有考慮產品或者系統的最低可靠性時間，與現實情況不符，并容易產生計算精度的誤差。

1三參數威布爾分布建模

1.1　三參數威布爾分布函數

威布爾分布的壽命分布函數為：

(1)

t為時間；γ為位置參數；η為尺度參數；β為形狀參數。

對式(1)整理得：

(2)

則式(2)可簡化為：

y=ax+b

(3)

設可靠性壽命試驗的樣本數量為n，失效樣本的壽命時間分別(順序統計量)為t1≤t2≤…≤tn，對應的累計失效概率(經驗分布函數)為F(t1)≤F(t2)≤…≤F(tn)，其中到第i個產品的累計失效概率F(ti)可用中位秩算法求得，即

(4)

1.2　最大相關系數優化法

x與y間的相關系數R(x，y)為：

(5)

整理可得：

(6)

滿足式(6)的γ即為所求的位置參數。

威布爾分布的可靠度函數為：

(7)

失效率函數為：

(8)

威布爾分布概率密度的平均故障時間為：

(9)

1.3　三參數威布爾分布參數求解

在工程應用中可用中位秩法計算出F(ti)后得到yi，如果(xi，yi)數據上大體沿一條直線分布，則故障時間可以用三參數威布爾分布建模，并且如果相關系數R(x，y)越大，證明數據擬合度越好，計算結果越精確。式(6)所表示的方程十分復雜，解該方程一般是通過編程，用數值解法求出位置參數，然后再通過最小二乘法或其他方法求解形狀參數和尺度參數。

運用WQS軟件通過實例分別應用兩參數威布爾模型和三參數威布爾模型建模仿真，得出各個參數的估計值，并通過計算比較兩種模型的優劣。

1.4　參數估計優劣的評價標準

對于同一個樣本，若采用不同的估計方法，將得到不同的結果，為了定量表示應用不同方法，對同一試驗樣本進行擬合的精確程度，統計學中常用均方根誤差(RMSD)和相對均方根誤差(NRSME)2種評價指標。

(10)

(11)

2WQS對設備可靠性評估

2.1　數據模擬

WQS(windchill quality solutions 10.1)是一款可靠性分析軟件，它擁有多個模塊可以對產品或系統的可靠性做出全面的分析。運用其中的weibull分布模塊對參考文獻中某型號發動機渦輪葉片故障數據進行分析，具體數據如表1所示。

表1　渦輪葉片失效數據表

分別通過兩參數和三參數威布爾模型建模，選取中位秩法進行仿真，通過計算機軟件仿真可以得到，可靠度與時間關系圖以及失效率與時間關系如圖1和圖2所示。

圖1　可靠度與時間

圖2　失效率與時間

2.2　結果和討論

通過計算得到對于兩參數威布爾分布，形狀參數β1=2.618 9，尺度參數η1=4 085.3 相關系數R(x，y)1 =0.973 3。對于三參數威布爾分布，形狀參數β2=1.208 8，尺度參數η2=2 517.2，位置參數γ=1 391.4，相關性系數R(x，y)=0.987 1。其他數據如表2所示。

表2　使用不同模型的參數估計結果

從以上計算得出，三參數威布爾模型的相關系數要大于兩參數的模型，而均方根誤差RMSD和相對均方根誤差NRMSE的值均小于兩參數模型，同時從圖1看出三參數模型比兩參數模型的擬合度更好，由此可見，考慮了位置參數的三參數威布爾模型在實際應用中更加精確，誤差更小。而從圖2中可以看出，兩參數威布爾分布的失效率曲線增長過快，與實際情況不符，應用后可能產生很大誤差。

3結束語

用三參數威布爾分布對飛機部件的使用可靠性進行了分析，通過相關系數法計算相關參數，應用WQS可靠性分析軟件驗證了其在處理機械部件故障概率上可用性。通過與兩參數威布爾分布的比較看出，應用三參數威布爾分布模型的計算結果更加精確，對于工程應用更有幫助。該方法還可用于飛機整機設備、發動機的可靠性評估。評估結果可直接作為可靠性監控的依據，進而實現對飛機的維修大綱和航空公司的維修方案，進行動態管理和有效控制，保持其正確、完整、有效和實用，為科學維修和新機研制提供參考。

參考文獻：

[1]凌丹. 威布爾分布模型及其在機械可靠性中的應用研究. 西安：電子科技大學，2011.

[2]余國林，吳海橋，丁運亮. 威布爾分布在飛機系統使用可靠性評估中的應用. 航空維修與工程，2006(2)：49-51.

[3]Hines W W， Montgomery D C. Probability and statistics in engineering and management science. New York： John Wiley&Sons， 1990.

[4]李書明，董成利，黃燕曉，等. 基于威布爾的發動機渦輪葉片壽命可靠性評估. 中國民航大學學報，2008，26(4)：14-17.