量子突發糾錯乘積碼的構造

白姍姍，陳丙亞，周曉娜

(安徽理工大學 理學院，安徽 淮南 232007)

Foundation Item:Natural Science Foundation of Anhui Province(No.1408085MA05)

摘　要：量子突發糾錯碼是以CSS量子碼的糾錯原理和構造技術為基礎，在量子計算和量子通信中有著十分重要的作用。首次利用GF(q)上的任意線性碼q和滿足對偶包含關系的BCH碼q,來構造乘積碼C1?C2和(C1?C2)⊥,當滿足n2>2k1k2時，在CSS構造的基礎上便可構造參數為[[n2,n2-n]]的量子突發糾錯乘積碼，并給出其突發糾錯能力。

關鍵詞：線性碼；BCH碼；乘積碼

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2015.06.004

量子突發糾錯乘積碼的構造

白姍姍，陳丙亞，周曉娜

(安徽理工大學 理學院，安徽 淮南 232007)

Foundation Item:Natural Science Foundation of Anhui Province(No.1408085MA05)

摘要：量子突發糾錯碼是以CSS量子碼的糾錯原理和構造技術為基礎，在量子計算和量子通信中有著十分重要的作用。首次利用GF(q)上的任意線性碼q和滿足對偶包含關系的BCH碼q,來構造乘積碼C1?C2和(C1?C2)⊥,當滿足n2>2k1k2時，在CSS構造的基礎上便可構造參數為[[n2,n2-n]]的量子突發糾錯乘積碼，并給出其突發糾錯能力。

關鍵詞：線性碼；BCH碼；乘積碼

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2015.06.004

收稿日期：Received date:2015-01-01；Revised date：2015-04-20

基金項目：安徽省自然科學基金(No.1408085MA05)

中圖分類號：TP393.08

文獻標志碼：碼：A

文章編號：號：1002-0802(2015)06-0648-05

Abstract：Quantum burst-correcting codes based on the elegant structure of CSS codes play an important role in quantum computation and quantum communication. Let C1=[n,k1,d1]q denote an arbitrary linear code and C2=[n,k2,d2]q be a BCH code over GF(q) C1 and C2 are used for the first time to construct the C1?C2 and (C1?C2)⊥ product codes. If n2>2k1k2, then based on CSS construction, the quantum burst-correcting product codes with parameter [[n2,n2-n]] can be constructed. Moreover, its ability in constructing the quantum burst-correcting codes is also given.

作者簡介：

Constructions of Quantum Burst-Correcting Product Codes

BAI Shan-shan，CHEN Bing-ya，ZHOU Xiao-na

(College of Science, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232007 China)

Key words：linear code; BCH code; product code

0引言

量子編碼是信息論領域的一個有著重大意義的理論成果。一方面，通過量子編碼，人們對克服退相干性充滿了希望，進而使得量子計算機和量子傳輸等可以由理想轉變為現實。另一方面，有利于量子編碼定理的推廣。

上述工作主要針對錯誤獨立同分布出現的理想情形。但是在很多實際情況下，由于各種問題的干擾造成的錯誤，不是單個地，而是成串成群地出現，因此一個錯誤的出現，往往會引起前后碼元的錯誤(即突發錯誤)出現，表現為錯誤之間的相關性。針對這個情況，Vatan[4]等人第一次給出了量子突發糾錯碼這一概念。利用計算機，Tokiwa[5]等人構造出一系列n≤51的量子突發糾錯碼。Kawabata[6]提出了基于古典交錯技術的突發量子糾錯碼的構造模型。Guo[7]等人構造了一個不僅可以維護多量子隨機錯誤，而且可以有效的減少量子突發錯誤發生的量子糾錯碼。

應用本文所給方法進行構造時，可以很快地得出量子突發糾錯乘積碼的參數以及糾正突發錯誤能力，并且經計算碼率較高，有效性強。

1基本概念介紹

BCH碼是糾正多個隨機錯誤的循環碼。首先，介紹一下循環碼和BCH碼。

定理2[11]：(BCH限)BCH碼的最小距離dBCH至少為δ。

乘積碼是利用線性分組碼實現長碼的代表，最早由Elias[13]提出的，能糾正大量的突發錯誤和隨機錯誤，當以Turbo碼的思想實現乘積碼的迭代譯碼時，具有一般編碼無法達到的糾錯能力，可獲得很高的譯碼增益。

乘積碼的構造方法有很多，下面給出一種乘積碼的構造方法。

2量子突發糾錯乘積碼的構造

首先，我們利用兩個循環碼的生成多項式來表示乘積碼的生成多項式。

由上面的定理3，我們得到下面引理。

C=C1?C2=[n2,k1k2,d1d2]q

對于BCH碼，空間的維數由k的取值決定。故這個乘積碼總體空間的維數為n2，C1?C2的維數為k1k2。

由對偶碼的定義知C⊥的空間的維數k⊥=n2-k1k2。 因此C⊥的參數為C⊥=[n2,n2-k1k2,d⊥]q，其中d⊥=min{n-d1,n-d2}。

證畢

在由文獻[15]，利用經典的糾錯碼構造量子糾錯碼的方法。

用類似的方法，利用CSS量子構造，便可構造出量子突發糾錯碼。

下面我們具體給出突發糾錯乘積碼的構造方法。

其中C1?C2=[n2,k1k2,d1d2]q(C1?C2)⊥=[n2,n2-k1k2,d⊥]q，d⊥=min{n-d1,n-d2} 。

令C1?C2=C⊥,則(C1?C2)⊥=C。有關系C⊥?C，此時有n2>2k1k2。

再由定理5可知便可構造參數為[[n2,n2-n]]的量子突發糾錯乘積碼。

證畢。

最后，我們給出量子突發糾錯乘積碼的糾突發錯誤的能力。

于是，結合定理5得出量子突發糾錯乘積碼的糾突發錯誤能力。

則C1?C2的最小距離為d1d2，能糾正長為b1≤max(nt1,nt2)個突發錯誤。

證畢。

由定理6知可構造參數為[[225,210]]的量子突發糾錯乘積碼。

在表1中，我們具體給出了幾種量子突發糾錯乘積碼的構造及參數。

表1　幾種量子突發糾錯乘積碼

3結語

量子突發糾錯碼不僅可以在理想的狀態下產生，而且可以在更加切合實際的信號傳輸通道中產生，也可將較為復雜的信道干擾情況考慮在內。利用本文給出的方法可以很容易的構造出量子突發糾錯乘積碼，并得出其糾正突發錯誤的能力。碼率高，有效性強，得到的碼字更接近原始碼字，出錯率低。目前，對量子突發糾錯碼的研究還處于初級階段，對研究者來說，如何設計出性能好的量子糾錯碼是未來編碼研究的一個重要部分，而對計算機研究者來說，如何在實際的計算機背景下對這些量子碼實現應用，也是十分關鍵的。

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白姍姍(1989—)女，碩士，主要研究方向為糾錯碼編碼理論；

陳丙亞(1990—)女，碩士，主要研究方向為糾錯碼編碼理論；

周曉娜(1989—)女，碩士，主要研究方向為糾錯碼編碼理論。