GPS高程擬合應用精度分析

朱純強 張欣杰 張善廷

（山東科技大學，測繪科學與工程學院，山東 青島266590）

1 引言

GPS是一種空間定位技術，其應用完全不同于傳統(tǒng)的用于分別觀測地面水平位置和高程的方法，可以確定出一個物體的三維位置［1］。但GPS確定的高程的參考物質是一個固定的橢球，即所謂的水平高，而不是我們在實際工程中所表述的正高或正常高。這需要我們在平時工作中把測量得到的絕對標高轉換為相對標高，即將觀測的水平高通過計算得出正高或正常高［2］。

隨著GPS定位技術的應用越來越廣泛，導致GPS高程擬合受到了工程測量人員的廣泛關注。其擬合的原理就是通過已知點所具有的高程異常值ξ及其擁有的位置關系得出函數(shù)模型，通過內插法可以得出其他GPS定位點的高程異常值。具體的方法有平面擬合法、移動多項式法、多面函數(shù)法等［3］，但是在實際應用中每一種高程擬合方面都是基于數(shù)學模型建立起來的，并且都具有其各自獨有的適用范圍和特有的優(yōu)點和缺陷，所以根據(jù)觀測地區(qū)的范圍及地形，可以采用不同的GPS高程擬合方法以達到提高測量精度的目的。

2 GPS高程擬合方法

2.1 等值線內插法

高程異常值的確定最早采用的方法是等值線內插法是最早，這種方法是是最直接的計算方法。其思想是通過畫出高程異常值的等高線圖，其次采用內插法來確定未確定點的高程異常值。

具體方法是，在觀測范圍內選擇布置均勻的GPS點，使用GPS測量方法得到固定點的大地高，再利用我們通常使用的水準測量的方法來測定已選點的正常高，根據(jù)公式ξ=H-h求出位置點的高程異常值，使用合適的比例，將已測量點繪制在圖紙內，并且表示出高程異常值，再計算等高距，最終畫出高程異常值的等高線圖。從等高線圖上就可以通過內插法得出未知點的高程異常值，接著利用ξ=H-h求出位置測點的正常高。這種方法通常是在地勢平整的地方使用，高程精度可達到厘米級。然而對測區(qū)地形不平整，起起伏伏，較為復雜的地區(qū)，采用等值線內插法得出的高程異常值差距比較大。

這種方法有一定的局限性，其精度主要取決于兩個方面，分別是測量范圍內GPS點的分布均勻程度和密實程度以及對于獲取大地高、正常高的精確度［5］。如果測量范圍內GPS點的分布密度比較大，那么內插得出的正常高的精度就相對較高。如何提高已知點高程的異常值的精確性的前提是選擇更高等級的GPS測量和正常水準測量，進而才能采用內插法得出位置點高精度的高程異常值。

2.2 曲線擬合法

有時候，GPS點的布置屬于線性分布，可通過下述的曲線擬合的方法對GPS高程進行擬合，從而求出未知點的高程異常值。其基本思想是選擇合適的、呈線性分布的GPS點，通過曲線擬合的方法，得出類似大地水準面的曲線，再采用內插法得出未知點的高程異常值，從而得到未知點的正常高。

2.2.1 多項式曲線擬合

地面任意一點A（x，y）的高程異常值ξ與平面坐標的關系：

其中f（x）為高程異常值ξ的趨勢線，v為誤差。

設

當有n個已知點時，上式可寫成矩陣形式

其中

對于所有的已知點，均可以寫出以上的方程，據(jù)最小二乘的定理，在 ∑v2=min的條件下，B=（XTX）-1XTξ，可以求出模型轉換參數(shù)，再迭代回公式便可計算出未知點的高程異常值。

2.2.2 三次樣條曲線擬合

對于測量距離較大，已知點比較多的測量區(qū)域，適宜采用三次樣條曲線擬合方法［6］。三次樣條曲線的可以擬合成連續(xù)函數(shù)，把測線分成多個線段，并且將每段假設為三次多項式函數(shù)，然后將這些多項式函數(shù)組成三次樣條函數(shù)。為了保證計算的準確程度，在實際應用中要求得出的曲線函數(shù)在連接點處連續(xù)，且函數(shù)的一階導數(shù)和二階導數(shù)全部在連接點處連續(xù)。如此才能保證在分段之后得出的三次樣條函數(shù)在后期運算中能夠得出準確的高程異常值。

設過n個已知點，ξi和xi在區(qū)間［xi，xi+1］（i=1，2，...，n-1）上有如下三次樣條函數(shù)關系：

ζ（x）=ζ（xi）+ （x-xi）ζ（xi，xi+1）+ （xxi）（x-xi+1）ζ（x，xi，xi+1）式 中，x 為 未 知 點坐標：

ζ（xi，xi+1）為一階差商，ζ（xi，xi+1）= （ζi+1-ζi）（xi+1-xi）；

ζ（x，xi，xi+1）為二階差商，ζ（x，xi，xi+1）=1／6［ζ''（xi）+ζ''（x）+ζ''（xi+1）］；

ζ''（x）（i=1，2，...，n-1）滿足系數(shù)矩陣為對稱三角陣的線性方程組；

（xi-xi+1）ζ''（xi-1）+2（xi+1，xi-1）ζ''（xi）+（xi+1，xi）ζ''（xi+1）=6［ζ''（x，xi+1）-ζ（x，xi）］ζ（x0）=ζ''（xn）=0

用追趕法解上面方程組，可求出ζ''（xi）和ζ（xi，xi+1），而

這種方法有以下幾個優(yōu)點：計算簡單，具有多項式的好處，彌補了多項式的不足。多項式的不足是單個多項式會有不靈活不穩(wěn)定的現(xiàn)象。由于三次樣條曲線的各種優(yōu)點，使得在實際中遇到測線長已知點多的情況下采用此方法擬合高程。

2.3 曲面擬合

當GPS點的分布為面狀分布時，適合采用曲面擬合法，由此擬合出的區(qū)域和大地水準面更加類似，然后通過計算該區(qū)域內的高程異常值，進而求出正常高。曲面擬合的主體原理和曲線擬合類似，不同是一個主要針對線狀，一個主要針對面狀。其操作順序是利用測量范圍內已知點的GPS大地高以及通過水準測量得出的正常高，利用公式求得已知點的高程異常值，然后采用已知點的坐標（x，y）和高程異常值ζ建設數(shù)學模型，并且通過擬合，得出最為接近于該測量范圍內的類似大地水準面，最后內插出未知點的高程異常值ζ，最終求出未知點的正常高。

2.3.1 多項式曲面擬合

當GPS點布設成網(wǎng)狀時，可以用數(shù)學多項式通過曲面擬合方法求出未知點的正常高h。地面任意一點A（x，y）的高程異常值與平面坐標的關系：

式中f（x，y）為高程異常ξ的趨勢面，v為誤差。

設

式中如果取x，y的一次項成為平面擬合，取兩次項為二次曲面擬合，取三次項為三次曲面擬合，取四次項為四次曲面擬合，以此類推。

當有n個已知點時，上式也可寫成矩陣形式

式中

對于每個已知點，都可以列出上述方程，根據(jù)最小二乘原理，在∑v2=min的條件下，B=（XTX）-1XTξ，可以求出模型轉換參數(shù)，再帶回公式可計算出未知點的高程異常值。

2.3.2 多面函數(shù)擬合

多面函數(shù)出發(fā)點是幾何觀念，從而使得由諸多數(shù)據(jù)點得出的一個平差的數(shù)學曲面的問題得到解決。其理論原理為：任一圓滑的數(shù)學表面總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學表面總和，以任意的精度逼近。

設GPS點的高程異常值ξ與x，y存在以下函數(shù)關系：

式中，核函數(shù)一般采用正雙曲面函數(shù)：

Q（x，y，xj，yj）= ［（x-xj）2+ （y-yj）2+δ2］1／2

δ2為光滑因子，通常取一小正數(shù)或零，j=1，2，...，n為所選的節(jié)點號，共有n個節(jié)點。若有m個擬合點，則：

當m=n時，方程有唯一解，當m＞n時，可得誤差方程：

其中

Qij= ［（xi-xj）2+ （yi-yj）2］1／2

其中i=1，2，...，m；j=1，2，...n

根據(jù)最小二乘原理，在∑v2=min條件下，A=（MTM）-1MTξ，可以求出模型轉換參數(shù)，再帶回公式可計算出未知點的高程異常值。

3 提高GPS高程擬合精度的方法

為了改善GPS高程擬合的精度，可以選擇以下的方法。

（1）提高GPS在外作業(yè)的數(shù)據(jù)點采集質量的方法。選擇合適的采集參數(shù)；采用適當?shù)臏y點；保證監(jiān)測采集質量。

（2）提高測點確定大地高的精度。提高局部GPS起算點坐標的精度，應盡可能的選擇國家A、B級GPS點為局部GPS網(wǎng)的計算起點。

（3）提高轉換參數(shù)的精度利用已有的VLBL、SLR站的地心坐標轉換參數(shù)，或利用國家A、B級GPS網(wǎng)點來推算轉換參數(shù)。

（4）提高擬合計算的精度。

①根據(jù)測量區(qū)域的情況，合理的分布已知點，并選取足夠數(shù)量的已知點。

②根據(jù)不同的測量區(qū)域，選用適當?shù)臄M合模型。對高差較大（比如大于100m）的測量區(qū)域，通常要考慮地形的影響，對測量值進行改正。

③對具有不同趨勢的大范圍測量區(qū)域，可考慮分區(qū)計算的方法。

④計算時，坐標可以精確到1m或10m，但高程異常值應精確到mm。計算出結果后，由計算機畫出測量范圍內的高程異常值的等值線圖，以更清楚的分析測量區(qū)域內高程異常值的變化情況，提高更高的擬合計算精度。