ARMA模型在變形監(jiān)測中的應(yīng)用

韓曉冬 黃 磊 于海東 沈石凱

（1.山東科技大學測繪科學與工程學院，山東 青島266590；2.聊城市測繪院，山東 聊城252000）

1 引言

一切物體都具有自己的幾何形狀，由于某種原因改變了原幾何形狀可稱為變形。自然界或生活過程中，變形危害的現(xiàn)象很普遍，如地震、滑坡、地表沉陷、潰壩、前梁與建筑物的倒塌等。為了避免這些變形給社會和人民生活帶來不必要的損失，科學、準確、及時的分析和預(yù)報各種建筑物和地質(zhì)構(gòu)造的變形狀況極為重要。目前形變監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析理論主要有：靜態(tài)形變分析、動態(tài)形變分析、形變的力學機理分析等［1］。時間序列分析是一種動態(tài)的數(shù)據(jù)處理方法，它的特點在于：可以利用觀測數(shù)據(jù)之間的自相關(guān)性建立相應(yīng)的數(shù)學模型來描述客觀現(xiàn)象的動態(tài)特征，未來數(shù)值可以由過去觀測資料來預(yù)測［2］。本文基于平穩(wěn)時間序列分析理論，建立變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的時間序列模型ARMA（p，q），并將該模型應(yīng)用到工程實例中，對一組實測變形數(shù)據(jù)進行分析、預(yù)測，取得預(yù)測值與實測值較好擬合效果和較高預(yù)測精度，具有很強的實際應(yīng)用參考價值。

2 ARMA時間序列模型

時間序列分析的基本思想是：對于平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列｛xt｝，若xt的取值不僅與其前p步的各個取值xt-1，xt-2，…xt-p有關(guān)，而且還與前q步的各個干擾at-1，at-2，…at-q有關(guān)（p，q=1，2…），則按多元線性回歸的思想，可得到最一般的ARMA模型：

式（1）稱為xt自回歸滑動平均模型，記為ARMA（p，q）

特殊的，當θ1=0時，模型（1）變?yōu)?/p>

式（2）稱為p階自回歸模型，記為AR（p）

當φ1=0時，模型（1）變?yōu)?/p>

式（3）稱為q階滑動平均模型，記為MA（q）

ARMA時間序列模型建立的步驟：

數(shù)據(jù)樣本應(yīng)滿足平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的條件，因此對實際的沉降序列進行時間序列分析前應(yīng)進行平穩(wěn)化和均值化處理。

① 數(shù)據(jù)獲取與預(yù)處理

② 模型識別

③ 模型參數(shù)估計

④ 模型適用性檢驗

⑤ 確定預(yù)報模型，進行預(yù)報

2.1 模型識別

通過模型識別判別出數(shù)據(jù)序列符合哪一種時間序列模型。主要是利用其自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的變化趨勢，來判別模型的種類和階數(shù)。AR（p）模型的階數(shù)p可以通過時間序列的偏相關(guān)函數(shù)的截尾性來確定；MA（q）模型的階數(shù)q可以由時間序列的自相關(guān)函數(shù)的截尾性來確定［3，4］。通過上述方法我們只能大概的確定模型的類型和階此，進一步的準確階次我們一般采用AIC準則和BIC準則來定階。AIC準則指的是最小信息量準則，BIC準則指的是貝葉斯信息量，對于ARMA模型來說公式為：

其中，n為樣本容量，σε由p和q通過參數(shù)估計得到，模型的階此p和q在AIC或BIC取得最小值時得到。

2.2 模型的參數(shù)估計和模型檢驗

在模型識別確定模型階數(shù)后，我們可以通過時間序列的自相關(guān)系數(shù)對模型參數(shù)進行初步估計。

（1）p階自回歸模型參數(shù)的初步估計P階自回歸模型AR（p）的公式為：

可通過著名的Yule-Walker方程（7）求得φ1，φ2，…φp。

（2）q階滑動平均模型參數(shù)的初步估計

q階滑動平均模型MA（q）的公式為：

可通過公式（9）求得θ1，θ2，…θq

所建的ARMA模型優(yōu)劣的檢驗，是通過對原始時間序列與所建的ARMA模型之間的誤差序列εt進行檢驗來實現(xiàn)的［5］。若誤差序列εt具有隨機性，則模型應(yīng)用于預(yù)測是合適的；若誤差序列εt不具有隨機性，則所建模型還有進一步改進的余地，應(yīng)重新建模。博克斯-皮爾斯Q統(tǒng)計量法是一種簡單且精度較高的模型檢驗法，Q統(tǒng)計量可按下式計算：

式中，m為ARMA模型中所含的最大時滯；n為時間序列的觀測值的個數(shù)［6］。

對于給定的置信概率1-α，將Q與χ2α（m）比較。

2.3 模型的預(yù)測

時間序列模型的預(yù)測是通過前期的觀測值或前期的預(yù)測殘差推算下一步的預(yù)測值。對于自回歸模型AR（p）模型，通過前p個觀測值預(yù)測第p+1個值或者其后的值：

對于滑動平均模型MA（q）預(yù)測的步數(shù)受到了限制，只能預(yù)測q步；

對ARMA（p，q），預(yù)測時同樣要考慮向前預(yù)測步數(shù)，具體如下：

以上的擬合預(yù)測時在一次或者一次以上的差分基礎(chǔ)上進行的，所以還需通過差分運算的逆運算還原得到原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測值。

3 工程實例

以濟南天橋區(qū)某一基坑沉降監(jiān)測點J1監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，共進行52期數(shù)據(jù)觀測，以前48期數(shù)據(jù)進行時間序列建模，后4期數(shù)據(jù)作為預(yù)測。

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

時間序列建模的前提是數(shù)據(jù)序列須滿足平穩(wěn)、正態(tài)、零均值等條件，有圖1可知原始序列不滿足平穩(wěn)性的要求，因此需要對其進行平穩(wěn)化和均值化的預(yù)處理。這里，我們進行了二次差分處理，由圖2可知原始數(shù)據(jù)經(jīng)過二次差分后已經(jīng)達到了時間序列建模的要求。

3.2 模型識別

對上述二次差分后的數(shù)據(jù)序列做零均值化處理，這樣就可以用此數(shù)據(jù)序列進行時間序列的建模。采用數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)識別判斷數(shù)據(jù)序列應(yīng)該屬于的時間序列模型。

從J1點的相關(guān)函數(shù)結(jié)果看出兩個函數(shù)都是拖尾的，那么數(shù)據(jù)序列應(yīng)屬于自回歸滑動平均模型，自回歸函數(shù)從第二階開始震蕩減少，可以初步判定AR部分為AR（1）或者AR（2），滑動平均函數(shù)從第二階開始震蕩減少，可以初步判定MA部分為 MA（1）或者 MA（2），這只是ARMA模型的初步定階，仍需通過AIC和BIC準則精確定階，通過計算得J1點的數(shù)據(jù)適合采用ARMA（1，1）模型。經(jīng)計算得到的模型參數(shù)φ=-0.5702，θ=-0.7053，然后可確定序列模型。利用殘差進行模型適用性檢驗，置信概率為0.95，計算得到的統(tǒng)計量Q=6.13，查表得到的χ2α=9.49，即Q≦χ2α（m）該模型是適合的，可用于預(yù)測。

通過上述建立好的ARMA模型進行預(yù)測，得到的預(yù)測結(jié)果經(jīng)過差分逆運算和均值化的反向處理得到J1點的數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果：

表1 J1點預(yù)測結(jié)果比較

J1點實測值與預(yù)測值比對圖形如下：

圖中紅線為實測值，藍線為預(yù)測值。由上可知時間模型的預(yù)報能夠較好的反應(yīng)變形的未來變化趨勢，并且預(yù)報精度較高。

4 結(jié)論

（1）工程實例應(yīng)用表明，ARMA（p，q）模型預(yù)測精度較高，且具有較高的可靠性和可行性。

（2）該模型可作為其他各類變形監(jiān)測工程數(shù)據(jù)的處理及預(yù)報，科學、準確、及時的分析和預(yù)報建筑物的變形狀況，為人類的生命財產(chǎn)安全提供保障服務(wù)。